高等數(shù)學(上)期末復習

1、高等數(shù)學（上）復習目錄第一章 極限與函數(shù)3第二章 導數(shù)與微分8第三章 微分中值定理與導數(shù)應用11第四章 不定積分13第五章 定積分17第六章 定積分的應用19高等數(shù)學（上）期末復習第一章 極限與函數(shù)一、重點概念1.數(shù)列Xn有界是數(shù)列Xn收斂的必要條件。數(shù)列Xn收斂是數(shù)列Xn有界的充分條件。即：數(shù)列Xn收斂數(shù)列Xn有界（以上說明收斂的數(shù)列一定有界，有界的數(shù)列不一定收斂。另外，如果數(shù)列不僅有界，并且是單調(diào)的，那么這數(shù)列的極限必定存在。）2.(x)在x0的某一去心臨域內(nèi)有界是存在的必要條件。存在是(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的充分條件。即：存在(x)在x0的某一去心臨域內(nèi)有界3. (x)當時的右

2、極限(x0+)及左極限(x0-)都存在且相等是存在的充分必要條件。4.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。（）如出現(xiàn)sin或者cos。做題時要配有說明。(注：y=arctanx為有界函數(shù))5.復合函數(shù)的極限運算法則：6.與是等價無窮小的充分必要條件為=+o()7.間斷點的類型：第一類間斷點為左右極限都存在的間斷點；第二類間斷點為左右極限至少有一個不存在的點。（注：找間斷點找沒有意義的點）8.有界性與最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。9.零點定理：設函數(shù)(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且（a）與(b)異號，那么在開區(qū)間至少存在一點,使()=010.介值定

3、理：設函數(shù)y= (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值，(a)=A及(b)=B。那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點，使得()=C (ab)。11二、題型方法總結1.求極限：（）第一步就是判斷極限的類型。特別要注意的是極限的條件。共有8種不定式。()型不定式求極限步驟：a. 因式分解，有理化消掉零因子。b. 變量代換c. 乘除運算利用等價無窮小d. 洛必達法則（有些極限中帶有積分的注意用此法）e. 泰勒公式（不常用）補充：等價無窮小公式 當x0時()sinxx tanxx (1-cosx) arcsinxx arctanxxln(1+x) x (

4、ex-1) x loga(1+x) （ax-1）xlna (1+x)-1 x洛必達法則 若函數(shù)和滿足下列條件： ,； 在點a的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導，且； （可為實數(shù)，也可為 ）則 （）型不定式求極限步驟a. 同除無窮大量b. 洛必達法則注：0和-不定式可以轉(zhuǎn)化為以上兩種不定式。重點是出現(xiàn)分母?。ǎ?型不定式求極限步驟a. 底數(shù)必須出現(xiàn)數(shù)字“1”，如果沒有“1”則加“1”減“1”。b. 底數(shù)中除了“1”以外的數(shù)配倒數(shù)。e之外的極限最好單獨算。運用的重要極限為：計算此類問題的技巧：先配出來，再寫原式，要寫過程，防止出錯。2.極限，連續(xù)，可導，間斷點問題。 某點何時有極限？驗證左右極限是否相等 何

5、時連續(xù)？左極限=函數(shù)值，右極限=函數(shù)值，同時成立。 何時可導？連續(xù)，左導數(shù)=右導數(shù) 間斷點？分母為零的點，左右極限都存在即第一類間斷點，否則，第二類間斷點。三、本章補充知識點：1.反三角函數(shù)圖像2.冪指函數(shù)的變換： 3.指數(shù)函數(shù)的特殊性：對于要注意。第二章 導數(shù)與微分一、概念和求導題型1. 函數(shù)在一點處的導數(shù)：2. 導函數(shù)：3. (x)在點x0可導是(x)在點x0連續(xù)的充分條件。(x)在點x0連續(xù)是(x)在點x0可導的必要條件。即：如果函數(shù)y=(x)在點x處可導，則函數(shù)在該點必連續(xù)。另一方面，一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點可導。4. 函數(shù)(x)在點x0處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)都存

6、在且相等。5. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（）（tanx）sec2x (cotx)=-csc2x(ax)=axlna (logax)=(arcsinx)= (arctanx)=（注：千萬不要記混啊?。?. 反函數(shù)的求導法則：-1（x）=7. 高階導數(shù):一些基本初等函數(shù)n階導數(shù) 萊布尼茨公式：(uv)(n)= u(n)v + nu(n-1)v+u(n-2)v +u(n-k)v(k)+ uv(n)8.冪指函數(shù)的導數(shù)根據(jù)定義：對數(shù)求導法（另對于復雜的根式計算也可使用此法）9.參數(shù)方程求導：對于的求導法則為 （參數(shù)方程求導無論幾階導分母都為）10.函數(shù)的微分: 千萬不要忘記dx 總結:冪函數(shù)、三角函數(shù)、指

7、數(shù)函數(shù)的導數(shù)仍分別為冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)。11.微分近似計算: 12.(x)在點x0可導是(x)在點x0可微的充分必要條件。13.求單調(diào)區(qū)間時，單個區(qū)間全閉，多個區(qū)間注意不要重疊。14.求最值：先求極值點，后于端點值比較。二、本章補充知識點關于“1”的等式：（）（）那些關于和or差公式： 那些“完全”的公式 第三章 微分中值定理與導數(shù)應用一、重點概念及解題步驟1.拉格朗日中值定理：若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：在上連續(xù)；在上可導則至少有一個，使得。2.如果函數(shù)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，那么在區(qū)間I上是一個常數(shù)。3.泰勒公式： 佩亞諾余項： 拉格朗日余項： 麥克勞林展開：即令a=04.通常稱導數(shù)

8、等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點）5.曲線的凹凸性與拐點：曲線凹凸性的定義凹凸性的判定（易忘） 拐點定義：連續(xù)曲線上凹凸的分界點成為曲線的的拐點。拐點的求法：a.求出的根b.求出導數(shù)不存在的點c.對于所求的點來判斷兩側的凹凸性d.看兩側符號，得出結論6.函數(shù)的極值問題：第二充分條件設函數(shù)(x)在x0處具有二階導數(shù)且（x）=0，（）那么（1）當（x0）0時，函數(shù)(x)在x0處取得最小值。第四章 不定積分一、重要概念和公式1.連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。2.基本積分表中易忘公式： 3.換元積分法：第一類換元法:“湊”第二類換元法三角代換去除整體代換根號4.補充積分公式： 5.分部積分法：uvdx

9、=uv-uvdx6.有理函數(shù)的積分：有理真分式有理假分式二、 題型方法總結1. 計算不定積分思考步驟綜述：a. 有理函數(shù)積分b. 第二類換元法c. 分部積分法d. 第一類換元法2. 第一類換元法中的規(guī)律： 對于sin2k+1xcosnx或sinnxcos2k+1x（其中kN）型函數(shù)的積分，總可依次做變換u=cosx或u=sinx 對于sin2kxcos2lx（k、lN），可降冪升角。 對于sinmx和cosmx m為奇數(shù)，提出一個湊微分m為偶數(shù)，則降冪升角 對于tannxsec2kx或tan2k-1xsecnx（kN+）可依次作變換u=tanx或u=secx 利用三角函數(shù)的積化和差公式3. 第

10、二類換元法：a.注意輔助三角形的運用b.注意定義域c.用整體代換時的標準為唯一解d.三角代換常見為根號下二次函數(shù)4.分部積分法：湊微分的先后順序：三角函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)優(yōu)于 優(yōu)于 反三角函數(shù)對于這類的積分要用兩次分部積分。同時兩次分部積分中湊微分函數(shù)相同。4. 有理函數(shù)的積分的一般方法 有理函數(shù)化成多項式與有理真分式之和-綜合除法 有理真分式化成簡單分式之和a. 分解因式b. 待定系數(shù)法 簡單分式積分：a.b.c. (p24q) 當A=0時，分母配方當A0時，湊分母導數(shù)三、 本章補充知識點有關三角變換的公式1.兩角和差公式 2.積化和差公式 3.二倍角公式 第五章 定積分一、基本概念及

11、重要公式1.微積分基本公式之原函數(shù)存在定理的推論例：注：極限問題出現(xiàn)積分變限函數(shù)，就考慮導數(shù)，利用洛必達法則。2.牛頓-萊布尼茨公式：若(x)在a,b上可積，且F(x)是(x)的一個在a,b上的原函數(shù)，則。3.定積分的換元法：注意“三換”。積分區(qū)間換，被積函數(shù)換，積分變量換。4.定積分的可加性：5.奇、偶函數(shù)的定積分：a.當 為偶函數(shù)時,。b.當 為奇函數(shù)時,。6.周期函數(shù)的定積分公式：8. 定積分的分部積分法： 二、計算不定積分的思考步驟1.判斷是瑕積分還是有界積分2.對稱區(qū)間（考慮是否為奇偶函數(shù)）3.有理函數(shù)積分4.無理函數(shù)積分5.第二類換元法（根式）6.分部積分（五大類初等函數(shù)乘積）7.

12、第一類換元法（湊微分）第六章 定積分的應用一、定積分在幾何上的應用1.平面圖形的面積判斷X型區(qū)域orY型區(qū)域及計算公式X型區(qū)域： Y型區(qū)域： X型區(qū)域和Y型區(qū)域判定：在x軸上任取一點x，過該點作一條垂直于x軸的直線去穿區(qū)域，與D的邊界曲線之交點不多于兩個，即一進一出，此區(qū)域為X型區(qū)域。類似的，在y軸上任取一點y，過該點作一條垂直于y軸的直線去穿區(qū)域，與D的邊界曲線之交點不多于兩個，即一進一出，此區(qū)域為Y型區(qū)域。2.極坐標下曲邊扇形的面積公式： 3.空間立體的體積：a.旋轉(zhuǎn)體體積（繞坐標軸旋轉(zhuǎn)）： b.平行截面面積為已知的立體的體積： 4.平面圖形的弧長：a. 直角坐標下曲線的弧長： b參數(shù)方程

13、下曲線的弧長： （已知）b. 極坐標方程下曲線的弧長： (已知) 二、本章補充知識點 1.極坐標：在極坐標中, 。 2.參數(shù)方程： 圓的參數(shù)方程 x=a+rcos y=b+rsin(0，2)）(a,b)為圓心坐標，r為圓半徑, 為參數(shù)，(x,y) 為經(jīng)過點的坐標。橢圓的參數(shù)方程 x=acos y=bsin（0，2），a為長半軸長，b為短半軸，為參數(shù)。3.扇形計算公式：弧長：面積：there shall be no deformation. 3, and process description: put line process: familiar understand drawings req

14、uirements, check drawings whether has not clear of place, whether has lane not understand of problem prepared all of workers apparatus, do prepared work, and in construction site find associate by Ravel of location, and in key layer playing horizontal, and looking for auxiliary layer playing horizontal, and find vertical box put line positioning