固體物理答案-第二章【高等教學】

1、第二章 晶體中原子的結合,2.1 由N個原子（離子）所組成的晶體的體積V可寫為 。式中， v為每個原子（離子）平均所占據(jù)的體積；R為粒子間的最 短距離；是和結構有關的常數(shù)。試求下列各種結構的值： (1).簡單立方點陣； (2).面心立方點陣； (3).體心立方點陣； (4).金剛石結構； (5).氯化鈉型結構,式中，V為晶體體積，N為晶體包含的原子數(shù)，v為每個原子平 均占據(jù)的體積。若以,表示晶體包含的晶胞數(shù),中每個晶胞的體積，n表示晶胞中所含的粒子數(shù)，則(1)式完全 等效于,解：題給,表示晶體,1,于是得,2,R為離子間的最短距離。題給的各種晶格均為立方格子，如令,其晶格常數(shù)為a，則有,可由式

2、(2)直接求出各種格子的,值。所得結果列表如下,2.2證明有兩種離子組成的、間距為 的一維晶格的馬德隆常數(shù),證明,選取負離子O為參考離子，相鄰兩離子間的距離用R表示,第j個離子與參考離子的距離可表示為,對于參考,離子O，它與其它離子的互作用勢能為,馬德隆常數(shù),且,即當,時,因為,解之有,1,因而,其次，對應于 處能量取極小值，應有,于是,把（1）式代入，即得,所以,這個結果表明，排斥力是短程力，與吸引力相比較，它隨原子間的距離的變化更陡峭,2.4 有一離子晶體，其總互作用勢能表示為,試問當離子電荷加大1倍時，平衡離子間距、互作用勢能和體積彈性模量將受何影響,解,按題給,由平衡條件,得到離子平衡

3、間距作為離子帶電狀態(tài)的函數(shù),從而晶體的內能也作為離子帶電狀態(tài)的函數(shù),1,2,由（1）、（2）兩式可知，當離子帶電量加倍時，則有,體積彈性模量可按下式求出,2.5 有一晶體在平衡時的體積為 ，原子間總的互作用能為 。若原子間互作用能由式 表述，試證明晶 體的體積彈性模量為,證明,設晶體共含有N個原子，則總能量為,由于晶體表面層的原子的數(shù)目與晶體內原子數(shù)目相比少得多,因此可忽略它們之間的差異,于是上式簡化為,設最近臨原子間的距離為R，則有,再令,得到,平衡時,則由已知條件,得,由平衡條件,得,由（1）、（2）兩式可解得,利用體積彈性模量公式,得,由于,因此,于是,2.6 已知有N個離子組成的NaC

4、l晶體，其結合能為,今若排斥項 由 來代替，且當晶體處于平衡時，這兩者對互作用勢能的貢獻相同，試求出n與 的關系,由,得,又,2,得,3,將（1）、（3）兩式代入（2）式,可得,即,2.7 立方ZnS的晶格常數(shù)a=5.41A，試計算其結合能,則,解,1,由,得,可知,2,對于面心立方，N個原子構成晶體體積,可得,由（1）中結果知,所以,可知,可得,3,體積彈性模量,4,抗張強度公式為,又面心立方結構,可知,又,所以抗張強度,2.9 設有一離子晶體,只計及最近鄰離子間的排斥作用時,其兩個 離子間的勢能具有如下的形式,其中,為參數(shù);R是最近鄰距離.試求平衡時晶體總的互作用勢能的表達式.晶體共包含2

5、N個離子,解,以負離子為參考離子,同號取“-”,異號取“,令最近鄰離子間距離為R,則,設最近鄰離子數(shù)目為Z,2.10 由兩種一價離子交替排列組成的一維晶體，若離子總數(shù) 為2N，試證明,1) 平衡時的互作用勢能為,2) 如果晶體被壓縮，使,則外力對每個離子,所作的功,可表示為,解：(1)計入排斥作用，晶體中任意兩離子i、j之間的互作用,式中，同號離子取“+”號。異號離子取“”號。若取負離 子i作為參考離子，并忽略表面效應，則總的互作用能為,能,括號內對正離子取“+”號，對負離子取“”號。以R表示最近 鄰離子間距，并令,則上式可寫為,式中,為馬德隆常數(shù),對于一維離子晶體,馬德隆常數(shù)為,所以,式中的

6、代定參量B可如下確定：因為平衡時,故有,由(1)、(2)兩式求得勢能的變化,2,3,于是(3)式可化簡為,能量的變化應等于外力所作的功。因為晶體一共由2N 個離子，由上式可知，外力對每個離子所作的功就是,2.11 金剛石是共價鍵晶體，試求其鍵間夾角的大小,解：金剛石中每個碳原子與其最近鄰的碳原子構成一個正四面 體，原子間靠共價鍵結合，四面體鍵之間的夾角等于立方體體 對角線間的夾角,式中,是直角坐標系,則矢量,中的方向單位矢量,2.12 實驗測得NaCl的晶體密度=2.16g/cm3,試求NaCl晶體中離子 間的平衡間距R0.(已知Na的原子量為23,Cl的原子量為58.5,解:設晶體共有2N0

7、個離子,晶體的體積,NaCl晶體,N0=6.0221023,與N0對應的質量應為,M=23+35.5=58.5(g,阿伏加德羅常數(shù),解,1)面心立方,最近鄰原子有12個,1)只計及最近鄰原子； (2)計及最近鄰和次近鄰原子,和 為參數(shù)； 是參考原子i與其它任一原子j的距離rij同最近鄰原子間距R的比值( )。試計算面心立方的A6和A12,2)計及最近鄰和次近鄰,次近鄰有6個,解：根據(jù)體積彈性模量K的定義,得,因而,即,于是,依題給,所以,2.15 試用埃夫琴法求由正負一價離子相間構成的二維正方格 子的馬德隆常數(shù),解：取如圖所示單元，采用電 荷中性組法進行計算。注意到 所取單元邊上的粒子僅1/2屬于 單元，角上的離子僅1/4屬于單元，容易驗證，所取的單元恰 好是一個電荷中性組,用R表示最近鄰離子間的距離,取中心的負離子為坐標原點，則其它離子的坐標為,這里,對圖中各離子，列表如下,為正負整數(shù)，該離子到原點,的距離,因此，所取單元中各離子與中心負離子的互作用勢能,2.16 NaCl的體積彈性模量K為2.401011dyncm-2,計算在0.2Mbar (106bar=1012dyncm-2)下最近鄰距離的變化分數(shù)(相對變化),假定K為恒量,解:對于NaCl晶體,V=NR3(N為正負離子總個數(shù)),R為最近鄰離子距離,晶體中最近鄰原子間的距離縮短了約24,2.17 采用