變分法與最優(yōu)控制【稻香書(shū)屋】

1、第二講 變分法與最優(yōu)控制,1,學(xué)習(xí)幻燈,主要內(nèi)容,2.1 變分法概述 2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題 無(wú)約束固定端點(diǎn)泛函極值必要條件 無(wú)約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問(wèn)題 求解綜合型（波爾扎）問(wèn)題,2,學(xué)習(xí)幻燈,2.1 變分法概述 1、泛函定義 2、泛函的連續(xù)性 3、泛函的極值 4、線性泛函 5、泛函的變分 6、泛函變分的求法 7、泛函變分的規(guī)則 8、泛函極值的條件,3,學(xué)習(xí)幻燈,2.1 變分法概述,1、泛函定義 定義： 如果變量y對(duì)于某一函數(shù)類(lèi)中的每一個(gè)函數(shù)x(t)，都有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)變量y為依賴(lài)

2、于函數(shù)x(t)的泛函，記為：y=J x(t,說(shuō)明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解為“函數(shù)的函數(shù),4,學(xué)習(xí)幻燈,例2.1】 是一個(gè)泛函。 變量J的值是由函數(shù)x(t) 的選取而確定。 當(dāng) 時(shí), 有 。 當(dāng) 時(shí), 有,5,學(xué)習(xí)幻燈,例2.2】曲線的弧長(zhǎng) 求：平面上連接給定兩點(diǎn)A(x0，y0)和B(x1，y1)的曲線的弧長(zhǎng) J。 A、B兩點(diǎn)間的曲線方程為：y=f(x) A、B兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)為,6,學(xué)習(xí)幻燈,泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個(gè)函數(shù)的泛函的情況，例如,求一般函數(shù)極值 微分法 求泛函極值 變分法,7,學(xué)習(xí)幻燈,2、泛函的連續(xù)性,函

3、數(shù)相近(零階相近) 當(dāng)函數(shù)x(t)與 x0(t)之差的絕對(duì)值，即 x(t)-x0(t) , t1t t2 對(duì)于x(t)的定義域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小時(shí)，稱(chēng)函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是相近的，也稱(chēng)為零階相近,8,學(xué)習(xí)幻燈,一階相近 當(dāng)函數(shù)x(t)與 x0(t)之差的絕對(duì)值以及它們的一階導(dǎo)數(shù) 和 之差的絕對(duì)值，即 t1 t t2 都很小，稱(chēng)函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是一階相近的,注意：一階相近的兩個(gè)函數(shù)，必然是零階相近，反之不成立,K階相近 當(dāng) t1 t t2 都很小時(shí)，稱(chēng)函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是k階相近的,9,學(xué)習(xí)幻燈,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不

4、同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,顯然，式（2.1）定量地表示兩個(gè)函數(shù)之間的零階相近度，而式（2.1）定量地表示兩個(gè)函數(shù)之間的k階相近度,2.1,2.2,零階距離,零階距離,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中

5、，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,2.1,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函

6、數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間

7、a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義

8、距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,零階距離,零階距離,函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個(gè)函數(shù)間的距離定義為,10,學(xué)習(xí)幻燈,泛函的連續(xù)性 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，可以找到這樣一個(gè)0，當(dāng) dx(t)，x0(t) 時(shí)，存在 Jx(t)Jx0(t) 那么，就說(shuō)泛函J在點(diǎn)x0(t)處是連續(xù)的。 根

9、據(jù)所采用的函數(shù)之間距離定義的不同，對(duì)應(yīng)的泛函分別稱(chēng)為零階連續(xù)泛函(2.1)或k階連續(xù)泛函(2.2,11,學(xué)習(xí)幻燈,3、泛函的極值,如果是在與僅僅具有零階接近度的曲線的泛函中比較得出的極值，稱(chēng)為強(qiáng)極值。 如果是在與 具有一階或一階以上接近度的曲線 的泛函中比較得出的極值，則稱(chēng)為弱極值,12,學(xué)習(xí)幻燈,4、線性泛函,連續(xù)泛函如果滿足下列條件： （1）疊加原理 ： Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t) （2） 齊次性： Jcx(t)=c Jx(t,其中，c是任意常數(shù)，就稱(chēng)為線性泛函。 例如,都滿足上述兩個(gè)條件，故均為線性泛函,13,學(xué)習(xí)幻燈,5、泛函的變分,宗量的變分 若函數(shù)x

10、(t)是變量J的自變量函數(shù)，則稱(chēng)x(t)為泛函Jx(t)的宗量函數(shù)。 宗量的變分是指在同一函數(shù)類(lèi)中的兩個(gè)宗量函數(shù)間的差,14,學(xué)習(xí)幻燈,也就是說(shuō)，泛函的變分是泛函增量的線性主部。 當(dāng)一個(gè)泛函具有變分時(shí)，稱(chēng)該泛函是可微的,泛函的變分 當(dāng)宗量x(t)有變分時(shí)，泛函的增量可以表示為,其中，Lx(t)，x(t)是關(guān)于x(t)的線性連續(xù)泛函； rx(t)，x(t)是關(guān)于x(t)的高階無(wú)窮??； Lx(t)，x(t)稱(chēng)為泛函的變分，記為,線性主部,15,學(xué)習(xí)幻燈,6、泛函變分的求法,定理21 連續(xù)泛函J(x)的變分，等于泛函 對(duì)的導(dǎo)數(shù)在=0 時(shí)的值. 即,定理22 連續(xù)泛函J(x)的二次變分定義為,證明略,

11、證明略,16,學(xué)習(xí)幻燈,7、泛函變分的規(guī)則,17,學(xué)習(xí)幻燈,求泛函 的變分,例2.3,18,學(xué)習(xí)幻燈,8、泛函極值的條件,泛函極值的必要條件： 定理23 連續(xù)可微泛函J(x) 在x0(t)上達(dá)到極值的必要條件為：J(x)在x=x0處必有,泛函極值的充要條件： 定理24 設(shè)可微泛函J(x)存在二次變分， 則在x=x0處達(dá)到極小值的充要條件為： 同理，設(shè)可微泛函J(x)存在二次變分， 則在x=x0處達(dá)到極大值的充要條件為,19,學(xué)習(xí)幻燈,主要內(nèi)容,2.1 變分法概述 2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題 無(wú)約束固定端點(diǎn)泛函極值必要條件 無(wú)約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題 2.4 變分法

12、求解最優(yōu)控制問(wèn)題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問(wèn)題 求解綜合型（波爾扎）問(wèn)題,20,學(xué)習(xí)幻燈,2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題,1、無(wú)約束固定端點(diǎn)泛函極值必要條件,問(wèn)題 2-1,無(wú)約束固定終端泛函極值問(wèn)題為,其中, 及x(t)在t0,tf上連續(xù)可微， t0及tf固定,求滿足上式的極值軌線x*(t,x(t0)= x0，x(tf)= xf,21,學(xué)習(xí)幻燈,定理25 若給定曲線x(t)的始端x(t0)= x0和終端x(tf)= xf，則泛函,達(dá)到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程,其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)， 則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的,歐拉(Euler)方程,證明略,邊界條件,或,22,學(xué)習(xí)幻燈,

13、歐拉方程的全導(dǎo)數(shù)形式,在 中，第二項(xiàng) 為全導(dǎo)數(shù),令,得歐拉方程的全導(dǎo)數(shù)形式,或,23,學(xué)習(xí)幻燈,例2.4,求泛函 在邊界條件,下的極值曲線及極值,24,學(xué)習(xí)幻燈,幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解,被積函數(shù)L不依賴(lài)于 ，即 被積函數(shù)L不依賴(lài)于x， 即 被積函數(shù)L不依賴(lài)于t， 即 在這種情況下，歐拉方程的首次積分為 其中c是待定的積分常數(shù)。實(shí)際上，將上式左邊對(duì)t求全導(dǎo)數(shù)，有,被積函數(shù)L 線性地依賴(lài)于 ，即,25,學(xué)習(xí)幻燈,例2.5】 最速降線(又稱(chēng)捷線)問(wèn)題,設(shè)在豎直平面內(nèi)有兩點(diǎn)A和B，它們不在同一條鉛垂線上?，F(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)受重力的作用自較高的A點(diǎn)向較低的B點(diǎn)滑動(dòng)，如果不考慮各種阻力的影響，問(wèn)

14、應(yīng)取怎樣的路徑，才能使所經(jīng)歷的時(shí)間最短,在A、B兩點(diǎn)所在的豎直平面內(nèi)選擇一坐標(biāo)系，如上圖所示。A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，鉛垂線為y軸,結(jié)論:最速降線是一條圓滾線,26,學(xué)習(xí)幻燈,對(duì)于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不過(guò)是歐拉方程組（即向量歐拉方程,定理26 在n維函數(shù)空間中，若極值曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和終端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是給定的，則泛函,達(dá)到極值的必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程,其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而 則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的,向量歐拉方程

15、,或,27,學(xué)習(xí)幻燈,向量歐拉方程,向量歐拉方程,可寫(xiě)成標(biāo)量方程組,28,學(xué)習(xí)幻燈,例2.6】 求泛函 滿足邊界條件 的極值函數(shù),思考：能否利用MATLAB符號(hào)工具箱求解微分方程組,29,學(xué)習(xí)幻燈,當(dāng)極值曲線x*(t)的端點(diǎn)變化時(shí)，要使泛函 達(dá)到極小值， x*(t)首先應(yīng)當(dāng)滿足歐拉方程,若端點(diǎn)固定,可以利用端點(diǎn)條件,確定歐拉方程中的兩個(gè)待定的積分常數(shù),問(wèn)題：若端點(diǎn)可變，如何確定這兩個(gè)積分常數(shù),2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題,2、無(wú)約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件（橫截條件,30,學(xué)習(xí)幻燈,圖形分析, 都固定，圖a,即,即,固定, 自由 圖 b,即,因?yàn)?自由 所以,終端僅在 上滑動(dòng),求出最優(yōu),許多狀態(tài)軌

16、線,31,學(xué)習(xí)幻燈,自由， 固定 ，圖c 則橫截條件變?yōu)?始端僅在 上滑動(dòng),端點(diǎn)變動(dòng)的情況,自由端點(diǎn)，無(wú)約束條件的變分，如圖,始點(diǎn) 在曲線 上變動(dòng),終點(diǎn) 在曲線 上變動(dòng),32,學(xué)習(xí)幻燈,問(wèn)題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的，而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線,現(xiàn)在的問(wèn)題是：需要確定一條從給定的點(diǎn)A(t0，x0)到給定的曲線 上的某一點(diǎn)B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲線x(t) ，使得泛函,達(dá)到極小值,變動(dòng)，如右下圖所示,33,學(xué)習(xí)幻燈,橫截條件,定理2-7 若曲線x(t)由一給定的點(diǎn)(t0，x0)到給定的曲線x(tf)=(tf)上的某一點(diǎn)(tf，xf)，則泛函,達(dá)到

17、極值的必要條件是， x(t)滿足歐拉方程,和橫截條件,其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)， 則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而(t) 則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),證明略,34,學(xué)習(xí)幻燈,若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線,變動(dòng)，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件,定理2-7擴(kuò)展,35,學(xué)習(xí)幻燈,根據(jù)定理2-7和上式，可得到端點(diǎn)可變時(shí)，Lagrange問(wèn)題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件,1)始端、終端可變，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，則橫截條件為,2) 當(dāng)t0、 tf 可變，而x(t0) 與x(tf)固定時(shí)，則橫截條件為,3)當(dāng)t0、 tf 固定，而x(t0) 與x(tf)可變時(shí)，即始端

18、與終端分別在t=t0、t=tf上滑動(dòng)，則橫截條件為,橫截條件總結(jié),36,學(xué)習(xí)幻燈,定理2-7和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣到n維函數(shù)向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形,定理2-8在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 的始端 X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而終端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可變的，且在曲面X(tf)=(tf)上變動(dòng)，則泛函,達(dá)到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程,和橫截條件,37,學(xué)習(xí)幻燈,若曲線X(t)=x1(t),x2(t),x

19、n(t)T的始端不是固定的，而是可變的，并在給定的曲面,上變動(dòng)，其中 ，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件為,38,學(xué)習(xí)幻燈,例2.7,泛函求極值,若x(0)與x(2)任意，求極值曲線x*及極值J(x*,39,學(xué)習(xí)幻燈,例2-8】求固定點(diǎn)A（0，1）到給定直線 的弧長(zhǎng)最短的曲線方程,40,學(xué)習(xí)幻燈,主要內(nèi)容,2.1 變分法概述 2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題 無(wú)約束固定端點(diǎn)泛函極值必要條件 無(wú)約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問(wèn)題 求解綜合型（波爾扎）問(wèn)題,41,學(xué)習(xí)幻燈,回顧等式約束條件下函數(shù)極值問(wèn)題的解法,設(shè)有函數(shù),2

20、.2,現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在以下約束條件下的極值,2.1,1）消元法：從約束條件（2.2）中將y解出來(lái)。 用x表示y，即 y=y(x) 然后將y(x)代入g(x,y)中，得到 Z=gx, y(x) （2.3） 這樣，函數(shù)Z只含有一個(gè)自變量x,等式(2.2)約束條件下的函數(shù)(2.1)極值問(wèn)題,無(wú)約束條件的函數(shù)(2.3)極值問(wèn)題,存在兩個(gè)問(wèn)題： 從方程(2.2)中將y解出來(lái)往往很困難； 對(duì)x和y這兩個(gè)自變量未能平等看待,42,學(xué)習(xí)幻燈,2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 步驟如下： 作一個(gè)輔助函數(shù) F=g(x,y)+f(x,y) 式中， 是待定常數(shù)，稱(chēng)為拉格朗日乘子,2.4,聯(lián)立求解

21、方程（2.2）和（2.4），求出駐點(diǎn)（ x0 ，y 0）和待定常數(shù)值; 判斷（ x0 ，y 0）是否是函數(shù)g(x,y)的極值點(diǎn),2.2,約束條件,求輔助函數(shù)F的無(wú)條件極值，即令,Lagrange函數(shù),等式約束條件下的函數(shù)極值問(wèn)題,無(wú)約束條件的函數(shù)極值問(wèn)題,43,學(xué)習(xí)幻燈,2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor,擴(kuò)展： 1、拉格朗日乘子法對(duì)于求n元函數(shù) Z=g（x1，x2，xn） 在約束條件下的極值問(wèn)題，同樣適用。 2、拉格朗日乘子法對(duì)于求在多個(gè)約束方程 fi（x1，x2，xm） =0， i=1，2， ，m； 下的極值問(wèn)題，同樣適用。 3、m n是必要的,向量函數(shù),向量方程約束,44

22、,學(xué)習(xí)幻燈,2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題,1、等式約束固定終端泛函極值必要條件,問(wèn)題 2-2,等式約束固定端點(diǎn)泛函極值問(wèn)題為,情況下的極值軌線X*(t,2.5,求泛函,在約束方程為,和端點(diǎn)條件為,2.6,45,學(xué)習(xí)幻燈,解決方法,引入拉格朗日向量乘子，將等式約束泛函極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束泛函極值問(wèn)題。 步驟如下： （1）構(gòu)造輔助泛函 其中(t)= 1(t), 2(t), m (t)T是m維待定向量乘子,2.7,無(wú)約束條件的泛函（2.7）極值問(wèn)題,有約束條件（2.6）的泛函（2.5）極值問(wèn)題,46,學(xué)習(xí)幻燈,2）令 寫(xiě)出歐拉方程,3）聯(lián)立求解歐拉方程（2.8）和約束方程 （2.6），可以得到n維向量

23、函數(shù)X(t)和m維向量乘子 (t)。 （4）利用端點(diǎn)條件確定歐拉方程解中的2n個(gè)積分 常數(shù)，得到候選函數(shù)X*(t) 。 （5）檢驗(yàn)候選函數(shù)X*(t)是否使泛函（2.7）達(dá)到極值，以及是極大值還是極小值,2.8,47,學(xué)習(xí)幻燈,定理2-9 如果n維向量函數(shù) X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 能使泛函,在等式約束,條件下達(dá)到極值，這里f是m維向量函數(shù)， m n，必存在適當(dāng)?shù)膍維向量函數(shù) (t)= 1(t), 2(t), m (t)T 使泛函,達(dá)到無(wú)條件極值。即函數(shù)X (t)是上述泛函J0的歐拉方程,的解，其中,而X (t)和(t)由歐拉方程和約束方程共同確定,48,學(xué)習(xí)幻燈,無(wú)約束條

24、件的泛函J0極值問(wèn)題,有約束條件的泛函J極值問(wèn)題,等價(jià),證明,49,學(xué)習(xí)幻燈,取極小值。給定的邊界條件為,例2-9 已知受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標(biāo)泛函,50,學(xué)習(xí)幻燈,2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題,2、等式約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件,如何求解,51,學(xué)習(xí)幻燈,主要內(nèi)容,2.1 變分法概述 2.2 無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題 無(wú)約束固定端點(diǎn)泛函極值必要條件 無(wú)約束自由端點(diǎn)泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問(wèn)題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問(wèn)題 求解綜合型（波爾扎）問(wèn)題,52,學(xué)習(xí)幻燈,2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題,當(dāng)

25、狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即X(t)Rn，U(t) Rm時(shí)，最優(yōu)控制問(wèn)題是個(gè)在等式約束條件下求泛函極值的變分問(wèn)題，因此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘子法來(lái)求解。 在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，將引入哈密頓（Hamilton）函數(shù)，推導(dǎo)出幾種典型的最優(yōu)控制問(wèn)題應(yīng)滿足的必要條件,53,學(xué)習(xí)幻燈,2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題,1、引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問(wèn)題,2.10,初始條件,2.9,終端條件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函,2.11,給定系統(tǒng)狀態(tài)方程,要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X

26、(tf) ，并使性能泛函（2.11）達(dá)到極小值。這是拉格朗日問(wèn)題，又稱(chēng)為積分型最優(yōu)控制問(wèn)題,問(wèn)題 2-3,54,學(xué)習(xí)幻燈,解：將狀態(tài)方程 （2.9）改寫(xiě)為,2.12,最優(yōu)控制問(wèn)題 微分方程（2.12）在約束條件下求泛函 極值的變分問(wèn)題,55,學(xué)習(xí)幻燈,利用拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量 (t)= 1(t), 2(t), n (t)T (t)稱(chēng)為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對(duì)應(yīng),2.13,求泛函 在等式 約束條件下的極值問(wèn)題 求泛函（2.13）J0的無(wú)約束條件的極值問(wèn)題,構(gòu)造輔助泛函,56,學(xué)習(xí)幻燈,定義哈密頓（Hamilton）函數(shù)為,輔助泛函,標(biāo)量函數(shù),哈密頓函數(shù)與輔助函數(shù)之間關(guān)系為

27、,57,學(xué)習(xí)幻燈,將 代入歐拉方程，得,協(xié)態(tài)方程 （共軛方程,狀態(tài)方程,規(guī)范方程 （正則方程,控制方程,利用變分法寫(xiě)出輔助泛函 的歐拉方程,58,學(xué)習(xí)幻燈,初始狀態(tài)為,由于終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為,得,聯(lián)立求解規(guī)范方程 可以得到兩個(gè)未知函數(shù)X(t)和 (t)。 由邊界條件確定積分常量：混合邊界問(wèn)題或兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題,59,學(xué)習(xí)幻燈,求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題步驟,由控制方程 求得 U=UX(t)，(t)，t ； 將上式代入規(guī)范方程消去其中的U(t)，得到 利用邊界條件聯(lián)立求解方程以上方程，可得唯一確定的解X(t)和(t)； 將所求得的X(t)和(t)代入U(xiǎn)=UX(t)，(t

28、)，t ，求得相應(yīng)的U(t,說(shuō)明：利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制問(wèn)題，是將求泛函在等式約束條件下對(duì)控制函數(shù)U(t)的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求哈密頓函數(shù)H對(duì)控制變量U(t)的無(wú)條件極值問(wèn)題。這種方法稱(chēng)為哈密頓方法,60,學(xué)習(xí)幻燈,定理2-10 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,為將系統(tǒng)從給定的初態(tài),轉(zhuǎn)移到終端時(shí)刻 tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個(gè)終態(tài)，并使性能泛函,達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是,61,學(xué)習(xí)幻燈,1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制， X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(t) ，使得X(t)與(t) 滿足規(guī)范方程,其中

29、,2）邊界條件為,3）哈密頓函數(shù)H對(duì)控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即,62,學(xué)習(xí)幻燈,沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H對(duì)時(shí)間t求全導(dǎo)數(shù)，得,若H不顯含t時(shí)，則有 H(t)=常數(shù) tt0，tf; 也就是說(shuō)，當(dāng)H不顯含t時(shí)，哈密頓函數(shù)H是不依賴(lài)于t的常數(shù),63,學(xué)習(xí)幻燈,取極小值。給定的邊界條件為,解法2：哈密頓方法,例2-9 已知受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標(biāo)泛函,64,學(xué)習(xí)幻燈,取極小值。給定的邊界條件為,自由,例2-10 已知受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標(biāo)泛函,65,學(xué)習(xí)幻燈,由例2-

30、9哈密頓方法,由協(xié)態(tài)方程得,由控制方程得,由狀態(tài)方程得,66,學(xué)習(xí)幻燈,例2-11 已知 系統(tǒng)方程和邊界條件為,1）求使性能泛函,為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線,可以利用MATLAB符號(hào)工具箱求解微分方程,2）若終端條件為x1(1)=0，x2(1)自由，求該最優(yōu)控制問(wèn)題,67,學(xué)習(xí)幻燈,2.4 變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題,2、求解綜合型（波爾扎）問(wèn)題,2.10,初始條件,2.9,和性能泛函,2.14,給定系統(tǒng)狀態(tài)方程,要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函（2.14）達(dá)到極小值。這是波爾扎問(wèn)題，又稱(chēng)為復(fù)

31、合型最優(yōu)控制問(wèn)題,問(wèn)題 2-4,注意：給定的端點(diǎn)條件不同，上述最優(yōu)控制問(wèn)題的解將不同,68,學(xué)習(xí)幻燈,1. 終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf) 自由的情況 構(gòu)造輔助泛函為,若令哈密頓函數(shù)為,2.15,2.16,并對(duì)式（2.15）積分號(hào)內(nèi)第三項(xiàng)進(jìn)行分部積分，則輔助泛函變?yōu)?69,學(xué)習(xí)幻燈,2.17,求上式對(duì)狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得,2.19,由于泛函J0達(dá)到極值的必要條件為,2.18,由于X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，則由式（2.18）和（2.19）可得上述波爾扎型最優(yōu)控制問(wèn)題的解應(yīng),70,學(xué)習(xí)幻燈,終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf) 自由的

32、波爾扎型最優(yōu)控制問(wèn)題的解應(yīng)滿足的必要條件為,這些關(guān)系與拉格朗日型最優(yōu)控制問(wèn)題的完全相同，所不同的只是橫截條件，即協(xié)態(tài)變量的終端值,71,學(xué)習(xí)幻燈,2.終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf) 受約束的情況 設(shè)終端狀態(tài)受到如下等式的約束,2.20,其中為r（當(dāng)L=0，rn-1；當(dāng)L0，rn）維向量，即,這時(shí)，終端狀態(tài)X(tf)即不是固定的，也不是完全自由的，只能在終端流型（2.20）上變動(dòng)。在構(gòu)造輔助泛函時(shí)，應(yīng)考慮終端約束條件（2.20），為此，需要引入待定的拉格朗日乘子向量,72,學(xué)習(xí)幻燈,考慮到哈密頓函數(shù)為,2.21,并對(duì)式（2.21）積分號(hào)內(nèi)第三項(xiàng)進(jìn)行分部積分，則輔助泛函變?yōu)?構(gòu)造的輔助泛函為,73,學(xué)習(xí)幻燈,求J0對(duì)狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得,考慮到 J0=0, X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0