全國初中數(shù)學競賽試題及答案

1、2013 年全國初中數(shù)學競賽試題一、選擇題（共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分. 每道小題均給出了代號為a，b， c，d 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0 分）a 2b+ 3c 0ab+bc+ ca）1 非零 數(shù) a， b， c， 足則22 2 的 （2a 3b+ 4c0a +b +c1（ b） 0（ c）1（d ）1（ a ） 222已知 a， b， c 是 常數(shù)，關于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 有兩個非零 根x1， x2， 下列關于 x的一元二次方程中，以11）2，2 兩個 根的是（x1x2（ a ）

2、 c2x2+( b2 2ac)x+a2=0（ b） c2x2 (b2 2ac)x+a2=022222222（ c） c x +(b 2ac)xa =0（ d） c x (b 2ac)x a =03如 ， 在 rt abc 中，已知 o 是斜 ab 的中點， cd ab，垂足 d，de oc，垂足 e，若 ad ，db ， cd 的 度都是有理數(shù)， 段od， oe， de ， ac 的 度中，不一定是有理數(shù)的 （）（ a ） od（ b） oe（ c） de（ d）ac4如 ，已知 abc 的面 24，點 d 在 段 ac 上，點 f 在 段 bc 的延 上， 且 bc=4cf，dcfe是平行四

3、 形， 中陰影部分的面 （）（ a ） 3（ b） 4（ c） 6（d ）83x3y+3 x2y2+xy3+45，5 于任意 數(shù)x，y， z，定 運算“ * ” ： xy = (x+1) 3+( y+1) 360且 x y z=（ xy） z ， 2013 2012 32 的 （）607（ b） 1821（ c） 5463（d ）16389（ a） 9679679679676 a= 3 3 ，b 是 a2 的小數(shù)部分， (b+2) 3 的 _ 7如 ，點d ，e 分 是 abc 的 ac，ab 上的點，直 bd 與 ce 交于點 f，已知 cdf ， bfe ， bcf 的面 分 3， 4，5

4、， 四 形 aefd 的面 是 _ 8已知正整數(shù)a， b， c 足 a+b2 2c 2=0， 3a2 8b+c=0 ， abc 的最大 _ 22的兩根 9 數(shù) a， b，c， d 足：一元二次方程 x +cx+d=0 的兩根 a，b，一元二次方程 x +ax+b=0c， d， 所有 足條件的數(shù) （a， b， c， d） _ 10小明某天在文具店做志愿者 筆， 筆每支售4 元， 珠筆每支售7 元開始 他有 筆和 珠筆共 350 支，當天 然筆沒有 完，但是他的 售收入恰好是2013元， 他至少 出了 _支 珠筆aacdeeedadobbc fbc（第 3 題 )（第 4 題 )（第 7題 )三、

5、解答題（共4 題，每題 20 分，共 80 分）11如 ，拋物 y=ax2+bx 3， 點 e， 拋物 與x 交于a， b 兩點，與 y 交于點c，且ob=oc=3oa，直 y=1x2+1 與 y 交于點 d ，求 dbc cbe y3dxaobce二、填空題（共5 小題，每小題 7 分，共 35 分）12 abc 的外心，垂心分 o，h，若b， c，h ，o共 ， 于所有的abc，求 bac所有可14如果將正整數(shù)m 放在正整數(shù)m 左 ，所得到的新數(shù)可被7 整除，那么稱m 為m 的“魔 數(shù)” （例能的度數(shù)如，把86 放在415 的左 ，得到的數(shù)86415 能被7 整除，所以稱86 為415 的

6、魔 數(shù)）求正整數(shù)n的最小 ，使得存在互不相同的正整數(shù)a1， a2， an， 足 任意一個正整數(shù)m，在a1， a2，an 中都至少有一個 m 的魔 數(shù)13 a，c是素數(shù)， x=b+c ， ，當2， ，a， b ，c能否bay=c+a bz=a+b cz =yxy=2構成三角形的三 ？ 明你的 2013 年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題1【答案】 a【解答】由已知得abc (2 a3 b4 c)( a 2b3c)，0故 (ab c)20 于是1222abbcca1 ab bc ca2 (abc )，所以 a2b2c222【答案】 b【解答】由于 ax2bxc0 是關于 x 的一元二次方程，

7、 則 a0 因為 x1 x2b ，x1x2c ，aa且 x1x2 0 ，所以 c0 ，且11 (x1x2 )22 x1 x2 b22a c 1 1a2，x12x22x12 x22c2，c2x12 x22于 是 根 據(jù) 方 程 根 與 系 數(shù) 的 關 系 ， 以1，1為 兩 個 實 根 的 一 元 二 次 方 程 是x12x222b22acxa22x2(b22ac) x20 xc20，即 cac3【答案】 d【解答】 因 ad， db ，cd 的長度都是有理數(shù)，所以，oa oboc adbd 是有理數(shù)于是，od oa ad 是有理數(shù)2由 rt doe rtcod ，知 oeod 2dc do都是

8、有， deococ（第 3 題）（第 3題答題）理數(shù)，而 ac adab 不一定是有理數(shù)4【答案】 c【解答】 因為 dcfe 是平行四邊形，所以 de /cf ，且 ef/dc 連接 ce ，因為 de/cf，即 de/bf，所以 s deb = s dec，因此原來陰影部分的面積等于ace 的面積連接 af ，因為 ef/cd，即 ef/ac，所以 sace = s acf因為bc4cf，所以 sabcacf故陰影部分的面積為6= 4s5【答案】 c【解答】 設201320124m ，則（第 4 題）2013 201243 m 33m33 3m29m27459，m33m23m16460于是

9、201320123292393239222923455463 1033360967二、填空題6【答案】 9【解答】 由于 1 a2 a23 ，故 b a223( 3 9) 39 9 2 ，因此 (b 2)32047【答案】13【解答】 如圖，連接af，則有：s aef4 = s aefs bfebfs bcf5，s afds afdfds cdf3s afd3s afds cdfcfs bcf5，s aefs aeffes bef4解得 s aef108， s afd961313（第 7 題答題）所以，四邊形 aefd 的面積是 204 138【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c2

10、0， 3a28bc0 消去 c，并整理得b826a2a 66 由a為正整數(shù)及6a2a66，可得 1 a3若 a1 ，則 b2598，無正整數(shù)解；若 a2 ，則 b2408，無正整數(shù)解；若 a3 ，則 b29，于是可解得 b11， b5 8（ i）若 b11，則 c61 ，從而可得 abc 311612013；（ ii）若 b5 ，則 c13，從而可得 abc3513195 綜上知 abc 的最大值為 2013 9 【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （ t 為任意實數(shù)）（第 4 題答題）abc，【解答】 由韋達定理得abd，cda，cdb由上式，可知 bacd 若 b d

11、 0 ，則 ad1， cb1，進而 b da c2 bdbc 3 2 ， ce 2 ， be 2 5 因為 bc 2 ce2 be2，所以， bce 為直角三角形，bce 90因此 tancbe = ce =1 又 tan dbo= od1，則 dbocbe cb3ob3所以，dbccbedbcdboobc45 若 b d0 ，則 ca ，有(a，bcd) (t，0t，0) （ t 為任意實數(shù)） 經(jīng)檢驗，數(shù)組 (1， 2，1， 2)與 (t，0， t，0)（ t 為任意實數(shù)）滿足條件10【答案】 2074x7 y 2013，【解答】 設 x， y 分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則y 3

12、50，x所以 x2013 7 y(503y142 y)，4于是 y1 是整數(shù)又20134( x y)3y4 350 3y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值為 207，此時 x141 12設 abc 的外心，垂心分別為 o， h ，若 b，c ，h ，o所有可能的度數(shù)【解答】 分三種情況討論（ i）若 abc 為銳角三角形因為bhc180a，boc2a ，所以由bhcboc ，可得 180a2a ，于是共圓，對于所有的abc ，求baca60 三、解答題如圖，拋物線yax2bx3，頂點為，該拋物線與x軸交于，11eab 兩點，與 y 軸交于點 c，且 ob oc 3oa直線 y1 x1與

13、y 軸交3于點 d求 dbc cbe【解答】 將 x 0分別代入 y1 x1， yax2bx3 知， d(0，31) ，c(0， 3 )，所以 b(3， 0)， a(1， 0)直線 y1 x1過點 b（第 11 題）3將點 c(0， 3 )的坐標代入 ya( x1)( x3) ，得 a1拋物線 yx22x3 的頂點為 e (1，4 )于是由勾股定理得（第 12 題答題（ i）（第 12 題答題（ ii ）（ ii）若 abc 為鈍角三角形當 a90 時，因為bhc180a， boc2 180a ，所以由bhcboc180，可得 3180a180 ，于是 a 120 。當a90 時，不妨假設b9

14、0 ，因為bhca，boc2a ，所以由bhcboc180 ，可得 3a180 ，于是a60 （ iii ）若 abc 為直角三角形當 a 90 時，因為 o 為邊 bc 的中點， b， c， h ， o 不可能共圓，所以a 不可能等于90 ；當a90 時，不妨假設b90 ，此時點 b 與 h 重合，于是總有 b， c， h ， o 共圓，因此a可以是滿足0a90 的所有角綜上可得，a 所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120 （第 11 題答題）13 a ， b ， c 是素數(shù)， xbca， ycab， zabc，當 z2y,xy2 ， a ， b ， c 能否構成三角形的三 ？ 明你的 【解答

15、】 不能依 意，得 a1 ( yz)， b1 ( x z)，c1 ( xy) 222因 y z2 ，所以 a1 ( yz)1 ( z2z)z( z1)222又由于 z 整數(shù)， a 素數(shù)，所以z 2 或3 ， a3當 z2 ， yz24， x(y2)216 而， b9 ， c10 ，與 b ， c 是素數(shù)矛盾；當 z3 ， abc0，所以 a ， b ， c 不能構成三角形的三 14如果將正整數(shù)m 放在正整數(shù)m 左 ，所得到的新數(shù)可被7 整除，那么稱m 為 m 的“魔 數(shù)”（例如，把86 放在 415 的左 ，得到的數(shù)86415 能被 7 整除，所以稱86 為 415 的魔 數(shù)）求正整數(shù)n的最小 ， 使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2， ，an ， 足 任意一個正整數(shù)m，在 a1，a2， ，an中都至少有一個 m 的魔 數(shù)【解答】 若n 6，取m1， 2， 7，根據(jù)抽 原理知，必有a1， a2，an 中的一個正整數(shù)m 是 i，j (1 i7的公共的魔 數(shù)，即