大學(xué)物理：第四課 概率 上

1、第四課：生活與物理中的概率（上,坐哪一輛公交車,有一個公交車站只有兩班車?？?。第一班車總是在整點到達車站；第二班車總是在整點過十分到達車站。如果薛老師沒有看時間就去車站等車，等到哪一班車的機會大一些？ 飛機上有炸彈的概率,如何定義概率（Probability）,一個事件可以分為“確定性事件”和“不確定性事件”。 確定性事件：太陽明天會從東邊升起。 不確定性事件：扔一枚硬幣哪一面朝上？明天下雨嗎？ 針對具有重復(fù)性的不確定性事件 概率=事件發(fā)生次數(shù)/總的實驗次數(shù) 氣象臺說，明天降水概率50%，請問這是什么意思？ 如果我們有時光倒流機器，使得“明天”可以重復(fù)發(fā)生100次，那么有50天左右是下雨的,如

2、何觀察和測量概率,扔硬幣的實驗中，重復(fù)扔N次，我們計算出現(xiàn)“花”的概率： 花 = 花 / 我們期待出現(xiàn)“花”或“字”的概率P花和P字都是1/2。 這個實測的概率等于1/2嗎,費曼先生測量P花的實驗,費曼先生測量P花的實驗：做30次實驗，計算P花（1）= N花/N。其中P花（1）表示第一組30次實驗。 做100組，每組30次實驗，得到100個不同的P花（i），其中i=1,2,3,4,100,費曼先生的實驗,可以看出，實際測量的概率與預(yù)期值1/2（15次）有較大的差別,我們自己來實驗一下,神奇的高爾頓板,實測概率的漲落（Fluctuation,氣象臺說，明天降水概率50%，請問這是什么意思？ 如果

3、我們有時光倒流機器，使得“明天”可以重復(fù)發(fā)生100次，那么我們期待有50天左右是下雨的。 但是如果有45天或者55天下了雨，甚至90天在下雨，也并不能說天氣預(yù)報不準。 如果“明天”可以重復(fù)10,000次，我們把它分成100組，那么這一百組中，有50天下雨的組數(shù)量比較多（最多或者接近最多）。90天下雨的組數(shù)非常少,實測概率的漲落（Fluctuation,計算扔n次硬幣，出現(xiàn)k次花的概率, = ! ! ! / 2,如何推導(dǎo)這個概率,實測概率的漲落（Fluctuation,可以看出實測的概率的漲落也符合我們的期待。 我們通過實驗測量到的概率只是真實概率（1/2）的一個近似。 在扔硬幣實驗中，我們知道

4、出現(xiàn)“花”的真實概率（1/2）。但是許多時候，我們不知道這個真實概率，而只能通過重復(fù)實驗來進行測量。 如何能保證我們測量的結(jié)果不與真實結(jié)果相差太遠呢,如何增加測量的準確性,如果在扔硬幣實驗中，每一組實驗扔60次，而非30次，計算各種測量值出現(xiàn)的概率： 增加每組實驗中扔硬幣的次數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)所測量的概率更加趨近于真實值1/2。 如何定量地來描述這種變化？ 均方差：, = ! ! ! 2 = 60! ! 60 ! 2 60,100組實驗，每組30次,100組實驗，每組60次,如何計算均方差=,方法一：= = =0 = (,)( 1 2 ) 2 方法二：費曼所采用的“醉漢隨機行走法”以及數(shù)學(xué)歸納法。

5、= = /(2 ) 2 把扔硬幣與醉漢行走聯(lián)系起來。 定義s(n)= ，為醉漢經(jīng)過n步后離開遠點的距離。 =,醉漢行走更深的含義,= 隨機行走的次數(shù)越多，偏離中心的距離越遠。 扔硬幣的次數(shù)越多，（花的次數(shù) - 字的次數(shù)）越大,醉漢行走更深的含義,這描述了一個怎樣的物理過程？ 擴散,醉漢行走的距離（扔硬幣實驗中花 - 字的次數(shù),自相矛盾,1：增加每組實驗中扔硬幣的次數(shù)，可以使得所測量的概率更加趨近于真實值1/2。 2：扔硬幣的次數(shù)越多，（花的次數(shù) - 字的次數(shù)）越大。 到底是應(yīng)該測量多次還是測量少次,讓均方差來說話,= /(2 ) 2 =/(2 ) 2 曾記否， =？ =/(2 ) 2 = 1 4 定義一個標準差：= = 1 2 測量次數(shù)越多，所得的概率誤差越