第46講 平面向量數(shù)量積的計算方法-高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練

1、【知識要點】1、平面向量的數(shù)量積r r r r（1）平面向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零的向量 a 與 b ，它們的夾角是 q ，則數(shù)量| a | b | cosq叫r ra 與 b的數(shù)量積，記作rarb，即有r r r r a b =| a | b|cosq.r（2）對于 0, 不談它與其它向量的夾角問題.（3）ra與rbr r的夾角，記作 ,確定向量ra與rb的夾角時，必須把兩個向量平移到同一個起點.如：=a但是b=p-b（4）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正，可負，可零，它不是一個向量.r（5）a在rbr上的“投影”的概念：a cos q叫做向量ra在rb上的“投影”，向量ra在向量rb

2、上的投影ra cos q，r r它表示向量 a 在向量 b 上的投影對應(yīng)的有向線段的數(shù)量.它是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以 是零.r r r r r r r r r（6） a b 的幾何意義：數(shù)量積 a b 等于 a 的長度| a |與 b 在 a 的方向上的投影| b | cosq的乘積. 2、平面向量的數(shù)量積的運算律(1)rarb=r rb a（交換律）;r r r r r r r(2)（ a +b ） c = a c + b c .（分配律） 3、平面向量數(shù)量積的坐標表示r r r r設(shè) a = ( x , y ) , b = ( x , y ) ，則 a gb =x x +

3、y y 1 1 2 2 1 2 1 2(豎乘相加).2 24、溫馨提示（1）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即r r r r r r a (bc) ( a b)c.（2）消去律不成立.即由a b=a c不能得到 b =c .（3）由a b=0不能得到a =0或b =0,因為還有可能r ra b.（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立： (a +b ) (a -b ) =a -b =|a | 2 -| b | 5、平面向量的數(shù)量積的計算方法一般有三種：坐標法、公式法和基底法.【方法講評】2方法一使用情景r r坐標公式 a gb =x x +y y 求解1 2 1 2已知中涉及了坐標或方便建立坐標系.解題步驟r

4、 r先求出對應(yīng)向量 a , b 的坐標，再代入公式r ra gb =x x +y y 1 2 1 2計算.uuur uuur【例 1】 已知正方形 abcd 的邊長為 2，點 e 是 ab 邊上的中點，則 de dc 的值為（ ） a1 b2 c4 d6【點評】（1）雖然本題已知中沒有直角坐標系，但是，它有“正方形”，所以很方便建立直角坐標系，建立了直角坐標系后，解題就很方便快捷.（2）如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、 菱形等，可以嘗試建立直角坐標系，求向量的數(shù)量積.【反饋檢測 1】在 dabc 中， ab +ac = ab -ac uuur uuru則 ae af （ ）

5、， ab =2 , ac =1 ， e、f 為 bc 的三等分點，a8 10 25 26b c d9 9 9 9方法二公式rarb=|ra|rb | cosq求解使用情景一般沒有坐標，也不方便建立直角坐標系.解題步驟r r先分別計算出 | a |,| b |,cosqr r r r，再代入公式 a b =| a | b | cosq 求解.【例 2】 等邊dabcuuur r uuru r uuur r的邊長為 1，記 bc =a , ca =b , ab =c，則r r r r r r a b-bc-ca等于r【點評】（1）該題由于知道向量的長度和向量的夾角，所以直接選擇公式arb=|ra|

6、rb|cosq求解比較方便.（2）該題向量的夾角都是120 0 ，不要弄成了 60 0 .找兩個向量的夾角時，必須要把兩個向量的起點 移到一起再確定大小.【反饋檢測 2】dabc的外接圓半徑為 1，圓心點為o，uuur uuur uuru r ab +ac +2oa =0，則uuru uuru ca cb =（ ）a3 b2 c1 d0方法三使用情景解題步驟r r選定平面向量的基底 a , b基底法利用公式法，解題比較復(fù)雜.，再用基底表示出未知的向量，再利用數(shù)量積公式解答.uuuru【例 3】 若等邊 dabc 的邊長為 2 3 ，平面內(nèi)一點 m 滿足 cm = uuur uuur_.ma m

7、b =1 uuur 2 uuru cb + ca6 3，則uuur uuru【點評】（1）本題利用公式法比較復(fù)雜，所以不利用方法一和方法二解答.（2）由于已知中有向量 cb , cauuur uuru并且有它們的長度和夾角，所以選擇向量 cb , ca 做基底比較合適.,【反饋檢測 3】如圖，在邊長為 2 的菱形abcd中，bad =600，e為bcuuur uuur 中點，則 ae bd=（ ）a3 b0 c1 d1 22【反饋檢測 1 答案】 b【反饋檢測 1 詳細解析】由高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第 46 講：平面向量數(shù)量積的計算方法參考答案uuur uuur uuur uuur

8、ab +ac = ab -ac 知 ab ac ，以 ab，ac 所在直線分別為 x 軸、 y 軸建立平面直角坐標系，則a (0，0),b(2，0),c(0，1)4 1 2 2 ，于是 e ， , f ， ，3 3 3 3 uuur 4 1 uuur 2 2 ae = ， , af = ，3 3 3 3 【反饋檢測 2 答案】 auuur uuur 8 2 10，據(jù)此， ae af = + = ，故選 b 9 9 9c【反饋檢測 3 答案】【反饋檢測 3 詳細解析】在邊長為 2 的菱形 abcd 中， bad =600，uuur uuur uuur uuur ab ad =|ab | ad | cos 6001 =2 2 =22uuur 1 uuur又 e 為 bc 中點， be = bc 2uuur uuur uuur 1 uuur uuru uuur uuur 1 uuur uuur uuu