角的平分線的性質(zhì)

1、12.3角平分線的性質(zhì),舊知回顧,一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線,符號語言,射線OC是AOB的角平分線,1= 2,1.角平分線的定義,2、點到直線距離,從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離,舊知回顧,舊知回顧,3.三角形的角平分線： 在三角形中，一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線,如何做角平分線呢,1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。 將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎,情境問題,如果前面活動中的紙片換成木板

2、、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢,活動2,2、證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對應(yīng)角相等） AC平分DAB（角平分線的定義,尺規(guī)作角的平分線,A,畫法,以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，交于,分別以，為圓心大于 1/2 的長為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于,作射線OC,射線即為所求,根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器,老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實掌握,A,為什么OC是角平分線呢,O,想一想,已知：OM=ON，MC=NC 求證：OC

3、平分AOB,證明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB,1平分平角AOB 2通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？ 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法,實踐應(yīng)用,角平分線有什么性質(zhì)呢？ OC是AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點,1. 操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PDOA，PE OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表,2. 觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系

4、， 寫出結(jié)論：_,C,O,B,A,PD=PE,角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點 到角的兩邊的距離相等,題設(shè)：一個點在一個角的平分線上,結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等,已知：OC是AOB的平分線，點P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E. 求證：PD=PE,猜想,C,數(shù)學(xué)符號表示已知和求證,注意,特別是文字性敘述的幾何證明題,已知：如圖，OC平分AOB，點P在OC上，PDOA于點D，PEOB于點E 求證: PD=PE,證明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定義） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已

5、證） 1= 2 （已證） OP=OP （公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等,你還可以得到其他什么結(jié)論,1.先證所缺條件,2.寫齊條件：一個中心三個基本點,1.OD=OE,2.PO是DPE的平分線,O,D,E,P,P到OA的距離,P到OB的距離,角平分線上的點,幾何語言描述,OC平分AOB， 且PDOA， PEOB,PD= PE,A,C,B,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等,角平分線的性質(zhì),不必再證全等,作用,判斷線段相等的依據(jù),如圖，AD平分BAC（已知,= ，(,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,判斷正誤,練習1,如圖， DCAC

6、，DBAB （已知,= ，(,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知,= ，（,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,不必再證全等,4,隨課鞏固,例1:如圖，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于點D，若BC8,BD5，則點D到AB的距離為,E,DE=CD=BC-BD=8-5=3,在OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D. 求證：AC=BD,課堂練習,提示：有角平分線的條件，?？紤]角平分線性質(zhì),要證AECBED,有哪些條件？需要先證嗎,請寫出證明過程,例2：如圖，ABC的角

7、平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三角形三邊的距離均相等,E,D,F,M,N,例題講解,N,D,N,D,N,D,N,E,F,D,N,點撥：有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線段,證明：過點P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F BF是ABC的角平分線，點P在BM上 PD=PE （在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等,D,E,F,結(jié)論：兩內(nèi)角平分線的交點到三邊的距離相等,練習：如圖，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點求證：點到三邊，所在直線的距離相等,F,G,H,F,G,H,證明：過點P作PG 、PF、PH分別垂直于AB、BC、CA，垂足為G、F、H BD是ABC的角平分線，點P在BM上 PG=PF （在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理 PF=PH. PG=PF=PH. 即