《直線上的點集》PPT課件.ppt

1、第6講 直線上的點集,目的：掌握Cantor集的構(gòu)造，熟悉直線上 開集與閉集的構(gòu)造。 重點與難點：Cantor集的構(gòu)造,第6講 直線上的點集,一自密集、疏朗集、完備集 問題1：回憶開集與閉集的定義，可否 通過集合與其導(dǎo)集的關(guān)系重新 定義開集與閉集？ 問題2：集合與其導(dǎo)集有哪些可能的關(guān) 系,第6講 直線上的點集,定義5（i）若 ，即 的每一點都是 自身的聚點，則稱 是自密集； （ii）若 ，則稱 是完備集合。 定義6 假設(shè) 是 中的一個集合，如果 不 包含任何鄰域，則稱 為無處稠密的,第6講 直線上的點集,問題3：能否在直線上找到既完備有是疏朗的 集合,第6講 直線上的點集,Cantor集的構(gòu)造

2、: 將0，1均分為三段，刪去中間的開區(qū)間 ，將剩下的兩個區(qū)間 再次三等分，刪去中間的兩個區(qū)間即 。如此繼續(xù)下去，最終剩下的點集記作G，稱之為Cantor集，則G是一個完備集,問題4：你認(rèn)為Cantor集的勢是多少？ *定理10 。 證明：回憶一下前面的 進(jìn)位表示法以及Cantor集的構(gòu)造立刻看到，這里用三進(jìn)制小數(shù)表示(0,1)中的點，將會更方便于討論。 我們先來看看，去掉的三等分區(qū)間中的點用三進(jìn)制表示的話，有什么規(guī)律。顯然，第一次刪去的區(qū)間,第6講 直線上的點集,內(nèi)的點對應(yīng)的三進(jìn)制數(shù)第一位必然是1，進(jìn)一步觀察 不難發(fā)現(xiàn)，只要 點在某個刪去的區(qū)間內(nèi)，則 的三 進(jìn)制表示中，必有某一位是1。反之，如

3、果 不是分 點，且在某位出現(xiàn)1，則在經(jīng)過若干次刪除手續(xù)后， 必然在刪去的區(qū)間內(nèi)，即 。因此，除了分 點外， 在 中當(dāng)且僅當(dāng)其三進(jìn)制表示中不出現(xiàn)數(shù)1。 注意挖去的區(qū)間是可數(shù)的，故分點集 也可數(shù)，因此,第6講 直線上的點集,因此 。如果在2定理9中令 ，則立得 。于是 。證畢,第6講 直線上的點集,第6講 直線上的點集,二直線上開集、閉集的構(gòu)造 問題5：除開區(qū)間外，你還能找出直線上 多少開集,第6講 直線上的點集,問題6：開集中每一點都是內(nèi)點，因此直線上 任一開集中的每一點都有一個開鄰域 包含在該開集中，這樣的開鄰域有多 少？其中有沒有最大的一個？如何找 出這個最大的開鄰域,第6講 直線上的點集,

4、定理11 中任何非空的有界開集都是有限 個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并,第6講 直線上的點集,定理11的證明： 設(shè) 是有界開集，則存在 ，使得 。對任意 ，由 是開的，知存在開區(qū)間 ，使 。不難看到，包含 的 中開區(qū)間有無窮多個，記,往證： (i) ，且 。 (ii) 對任意 ，或者 ， 或者 。 對任意 ，記 由 的定義知存在 ，使,第6講 直線上的點集,且 。于是 。 即 ，故 。如果 ，則存在 ，使 ，顯然 ，這與 的定義矛盾。因此 。同理可證,第6講 直線上的點集,i)證完。 再證（ii），對任意 ，若 ， ，則或者 中至少有一個在 中；從而也在 中，無論何種情形均與（i）矛盾。故（i

5、i）也成立,第6講 直線上的點集,以上論證說明， 可以表示為一些互不相交的開區(qū)間之并。而這些區(qū)間的全體必定是至多可數(shù)的，這只要從每個區(qū)間中取出一個有理數(shù)，從而不同區(qū)間對應(yīng)不同的有理數(shù)便可得到證明。證畢,第6講 直線上的點集,第6講 直線上的點集,問題7：根據(jù)開集與閉集的互余關(guān)系，如何 構(gòu)造直線上的閉集,第6講 直線上的點集,定理13 設(shè) 是非空的有界閉集，則 是由 一閉區(qū)間中去掉有限個或可數(shù)個互 不相交的開區(qū)間而成,第6講 直線上的點集,定理13的證明： 設(shè) ，則由定理12知 ，于是 ，且 。由定理6的推論1知 是開集，由定理11，存在有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間 ，使 ，從而 。 證畢,第6講 直線上的點集,問題8：直線上什么樣的閉集是完備的？所有 的完備集都是這樣的嗎,第6講 直線上的點集,定理12 假設(shè) 是 中的有界閉集， 則 ；換言之， 中 既有最大數(shù)，也有最小數(shù)。 定理14 假設(shè) 是非空有界閉集，則 是完備 集當(dāng)且僅當(dāng) 是從一閉區(qū)間a,b中去掉 有限個或可數(shù)個彼此沒有公共端點且與a,b 也無公共端點的開區(qū)間而成,第6講 直線上的點集,定理14的證明： 若 是完備集；則顯然挖去的開區(qū)間彼此無公共端點，否則這個