高量3-本征矢量和本征值.ppt

1、1,3 本征矢量和本征值,3.1 定義,一、本征矢量和本征值,對于算符A，若有非零矢量 滿足下式,式中a為常數(shù)。則 稱為算符A的本征矢量， 而a為相應(yīng)的本征值,上式稱為本征值方程,本征值一般是復(fù)數(shù)，但也可以為0,算符A雖然可以不加限制，但是量子力學(xué)中用 到的主要是厄米算符的本征值問題,2,二、厄米算符本征值問題的兩個重要性質(zhì),1.在復(fù)空間中，厄米算符的本征值都是實(shí)數(shù),已經(jīng)知道 是實(shí)數(shù),所以a必為實(shí)數(shù),2. 厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互 正交,證設(shè),但,3,則,又,由此得,即,但,所以,即厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交,4,若 是A的一個本征矢量，則 也是屬于同一個 本征值的本

2、征矢量,若 都是 A 的本征矢量且本征值相同，則 它們的線性疊加 也是A 的屬于同一本 征值的本征矢量,三、本征矢量問題簡并性,厄米算符A屬于本征值a的本征矢量有多少個,這實(shí)際上是一個簡并度的問題,1.問題的提出,5,所以算符A的屬于同一個本征值 a 的本征矢量全 體構(gòu)成Hilbert空間中的一個子空間。這個子空間稱 為算符A的屬于本征值a的本征子空間,2.簡并,本征子空間的維數(shù) s 稱為所屬本征值的簡并度。 這個本征值或這組本征矢量稱為是 s 重簡并的,當(dāng)簡并度為1時，通常稱為無簡并,為了指出 s 維本征子空間，只需給出其中一組 s 個線性無關(guān)的本征矢量即可,6,則A,B有相同的本征值譜，且

3、每一本征值都 有相同的簡并度,3.相關(guān)的定理,定理：若A,B兩算符相似，即對于有逆算符R，有,證設(shè)已知A的全部本征值和相應(yīng)的本征矢量,利用 ，用R從左作用上式兩邊，得,即,7,下面設(shè)A的一個本征值是s重簡并的，屬于這個本 征值的s個線性無關(guān)本征矢量記為 。 由于R有逆， 也必為線性無關(guān),所以算符B的屬于本征值 的本征矢量至少為s個， 即簡并度不會比A小。另外利用 用同樣的 方法證明B的簡并度也不會比A大。證畢,因?yàn)镽有逆，所以 不為零,所以所有 也都是B的本征值,8,用反證法,如果 線性相關(guān)，則存在 ，從而有,比如由此可以得到,因?yàn)镽有逆 ，上式兩邊用 作用后有,這與 線性無關(guān)相矛盾。 命題得

4、證,9,3.2 本征矢量的完全性,一. 問題的提出,在一個確定的Hilbert空間中，一個厄米算符A的本征矢量的情況有兩種,1）不簡并的本征矢量是彼此正交的,2）s 重簡并的本征值所對應(yīng)的本征矢量構(gòu)成一個s 維的本征子空間，并與那些本征值為其它值的本征矢量正交,如在上述s維子空間中選出s個互相正交的本征矢 作為代表，那么其線性疊加都是算符A的對應(yīng)于同 一本征值的本征矢量,10,在進(jìn)行歸一化后,算符 A 的所有不簡并和簡并的 本征矢量為代表就構(gòu)成了一個正交歸一矢量集。 若取不簡并的本征值的簡并度為1,則這個正交歸一 矢量集里矢量總數(shù)是所有本征值簡并度之和 。 這個總數(shù)亦可能是無窮大,問題：一個厄

5、米算符A的本征矢量正交歸一集在所 在空間中是否完全,二、完全性和封閉性,一個確定的空間中，一組正交歸一矢量集的完全 性的含義是,空間內(nèi)所有矢量都能表為這個矢量集的線性疊加,11,一組正交歸一矢量集的封閉性的含義是，這個空間中不存在其它與集內(nèi)所有矢量都正交的矢量（否則此矢量集應(yīng)再加一矢量,二者的等價(jià)性是明顯的。對于一般的Hilbert空間，二者是等價(jià)的,對有限維空間予以證明,定理：在有限維空間中，厄米算符的全部本征矢量 構(gòu)成正交完全集,證：設(shè)空間是n維的，厄米算符為A。我們只需證 明在A的本征矢量中有n個線性無關(guān)的即可,12,A的本征值方程為,這組基矢共有n個,為求 ，在此空間中取一組已知的基矢

6、,將矢量 按照這組基矢展開,其中 。知道了一組 就知道了一個,將 的展開式代入本征值方程，并用 與方程 兩邊作內(nèi)積，得,13,上式是關(guān)于未知數(shù) 線性齊次方程組，可以寫成,式中 是復(fù)數(shù)，對于給定的A，它們是已 知的，而 是待求的,會展開,j=1) (j=2),式中a 是待定的本征值。這一方程有非零解的條件 是系數(shù)行列式為0,14,這是一關(guān)于a 的n次方程，稱為久期方程，有n個根,當(dāng)這些根互不相同時，對于每一個根 ，上述方程有 一組非零解,所求得的那些根 ，就是厄米算符A的本征值,當(dāng)每個 都不同時，可得線性方程組的n組解,從而得到相應(yīng)的n個本征矢量,15,前面已經(jīng)證明過，當(dāng)本征值不同時，厄米算符的

7、本征矢 量互相正交。因此證明了A 的這組本征矢量肯定可構(gòu)成此 空間的一組正交完全集,總之，在n維空間中，不論厄米算符A的本征值有無簡并， 總有n個線性無關(guān)的本征矢量存在，總可以構(gòu)成空間的一組 正交完全集,當(dāng)系數(shù)行列式有等根時，如 是一個三重根， 那么對于這個a 值，不僅系數(shù)行列式本身為0，它的n-1, n-2 階的全部子行列式也都為0,對于這樣的a，齊次方程也有3個線性無關(guān)的 。 于是對于這個三重簡并的本征值，空間中有3個線性無關(guān)的本 征矢量存在，即有一個三維的本征子空間存在,16,當(dāng)A的本征值沒有簡并時, 這組 是完全確定的。而當(dāng) 有簡并時，就有許多組這樣的正交歸一完全集存在，因?yàn)樵诒?征子

8、空間中，選取n個互相正交的矢量作為代表(不要求歸一)，其選法是很多的,三、基矢的選擇,可用它們作為這個空間的一組基矢,把一個厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量編上一定 的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）, 就可以構(gòu)成這 個空間的一組正交歸一完全集 ，它們滿足完全性關(guān)系,17,對于無窮維Hilbert空間，厄米算符具有離散本征值的情況，雖然沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)上的一一證明，在物理上總是認(rèn)為， 厄米算符的全部線性無關(guān)的本征矢量可以構(gòu)成此空間的完 全集。進(jìn)行正交化以后，完全性關(guān)系成立。寫成通常的下 標(biāo)形式，有,在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去確定一組基矢， 甚至用厄米算符的本征矢量去 “構(gòu)造”

9、 一個 Hilbert 空間， 原因在此,18,對于一個Hilbert空間，每一個厄米算符的全部線性無關(guān) 的本征矢量都可以用來構(gòu)成空間的基矢,即正交歸一完全集（條件是厄米算符的定義域和值域都應(yīng)是全空間,3.3 厄米算符完備組,一、基矢的選擇問題,但是當(dāng)此厄米算符的本征值有簡并時，對應(yīng)于這一本征 值的線性無關(guān)的本征矢量的數(shù)目與簡并度相同，這時由本 征矢量所確定的基矢不是唯一的,在簡并的本征子空間中有多種選擇。下面的任務(wù)就是設(shè)法消除這一不確定性,19,1.定理,二、本征矢量完全性定理,當(dāng)且僅當(dāng)兩個粒子的厄米算符互相對易時，它們有一組 共同的本征矢量完全集,證,設(shè)兩個算符是A和B,1)必要性：完全集

10、對易,設(shè)A和B有一組共同的本征矢量完全集 ，這時有,則,同樣,因?yàn)?是完全的，所以有,20,2)充分性：對易完全集,設(shè)AB-BA=0，且 是A的一套正交歸一化的本征矢 量完全集。我們將用后者構(gòu)造同是A、B的共同本征矢量 完全集,顯然,即 也是A的屬于本征值 的本征矢量,下面分兩種情況討論,1A的本征值無簡并,這時 與 屬于同一個一維本征子空間，它們只 能差一個常數(shù)倍,21,即 也同是B的本征矢量，常數(shù) 就是B的本征值,如果所有A的本征值都沒有簡并，則 就是A和B的 共同本征矢量完全集,2A的本征值有簡并,新的問題：在A的2D以上的本征子空間中隨便取一個矢量未必就是B的本征矢量,設(shè)A的本征值aj

11、有m重簡并（無簡并的前面已經(jīng)討論），在 |i 中屬于這一本征值的本征矢量是 |j1, |j2, ， |jm （不見的相互正交,但可以化成正交的），它們是在m維子空 間中互相正交m個矢量的代表,22,式中C是一組疊加系數(shù)。這種矢量應(yīng)該具有m個（總維數(shù)要求,現(xiàn)在要在這個m維本征子空間中尋找一些也是B的本征矢量的矢量。設(shè)這種矢量是,用 同上式作內(nèi)積，利用 得,上述矢量成為B 的本征矢量的條件是,這是一個 的線性齊次方程組，設(shè)其系數(shù),23,這一方程組有解的條件是系數(shù)行列式為0，即,根據(jù)前面的討論，b有m個根（其中可能有相同的）, 對 每一個 ，有一組解 ，即一個矢量,于是我們求得了m個矢量 ,它們是A

12、 的本征矢量（本征值為 ），同時又是B的本征矢量（本 征值為,24,如果對于每個A的簡并本征值都經(jīng)過這樣重新選取，就可以得出一個 A和 B的共同本征矢量完全集。至此定理已經(jīng)證畢,25,上次課我們介紹了，對于對易算符A和B，如果算符A的本征值沒有簡并的話，A的本征態(tài)也是B的本征態(tài),如果算符A的本征值有簡并的話，任選一個A的本征態(tài)未必就是B的本征態(tài)，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性組合來尋找也是B算符的本征態(tài),在求解組合系數(shù)從而求B算符的本征值時，如果此B本征值無簡并，則A與B的共同本征矢量就確定了,如果此B本征值仍然有簡并，則A與B的共同本征矢量仍然具有任意性，還需要找另一個對易算符C,因而出現(xiàn)這樣一個問題，

13、對于一個給定的體系，需要至少尋找?guī)讉€對易算符，才能確保共同本征矢量是唯一的,26,三、厄米算符完備組,定義：對于一個Hilbert空間，一組相互對易的厄米算符 A,B,C, ，它們只有一組完全確定的共同本征矢量完全集， 而去掉其中的任意一個，都會使剩下的那些算符的共同本 征矢量完全集具有任意性，稱它們?yōu)橐唤M厄米算符完備組,這一組本征矢量完全集構(gòu)成這個Hilbert空間的一組基矢。 這組基矢可以分別用它所屬算符A,B,C,的本征值a,b,c, 的數(shù)值來編號，或者用各自本征值的序號來編號,其實(shí)，一個厄米算符的全部線性無關(guān)的本征矢量就已能構(gòu) 成空間的基矢,厄米算符完備組所包含算符的最少個數(shù),物理空間

14、的維數(shù),27,以后有時為了方便，我們用單一字母（如A）表示算符的完 備組，用單一字母 表示它們的本征值的集合，用單一字母 I 表示各本征值序號的集合，而用 表示它們的共同本征 矢量，簡單地寫成,共同本征矢量的完全性關(guān)系簡寫成,增加更多算符的目的,為減少其中的任意性，最后消除任意性，以便得到一組 完全確定的基矢,為何還要增加算符,28,以上我們對有限維矢量空間的情況作了比較完整的討論。 但是在量子力學(xué)中更多的是無窮維的矢量空間。這種空間中 厄米算符大體上有兩種,3.4 無窮維空間的情況,1）具有離散的本征值譜，其本征值是可數(shù)的無窮多個,2）具有連續(xù)的本征值譜，具有不可數(shù)無窮多個本征值和 相應(yīng)的本

15、征矢量,一、基矢的選擇問題,對于這種厄米算符，只需把前面討論內(nèi)容加以推廣，把 取和的上限推到無窮大，而不去仔細(xì)考慮由此帶來的數(shù)學(xué) 問題,29,正交歸一關(guān)系為,全部本征矢量 構(gòu)成空間的一組基矢，我們直接認(rèn)為 這組基矢是完備的，即,完全性關(guān)系為,是展開系數(shù),對于一個對易的厄米算符完備組A，本征矢量用 表示， 滿足,30,這就是所謂的收斂問題,在一般情況下，基矢這樣安排：當(dāng) i 增大時， 迅速 減小。否則按照公式,歸一化條件就很難滿足了,二、連續(xù)本征值譜的情況,討論一個無簡并的厄米算符或一組對易厄米算符完備組A. 由于其本征值是連續(xù)變化的，無法編號，只好用本征值本身 來給本征值編號。本征值方程為,其

16、中a 取某一區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)數(shù)，是一個連續(xù)的實(shí)變量,31,1.連續(xù)本征函數(shù)的正交歸一關(guān)系,設(shè)任何歸一化的矢量 都可以展開為這組 的 疊加（用積分表示,積分遍及本征值a的取值范圍,上式實(shí)際上利用了完全性關(guān)系,可以認(rèn)為是展開系數(shù)，即矢量 在基矢 上的分量。這是一個a的連續(xù)函數(shù)，可以寫出 ，其函 數(shù)形式取決于矢量,32,現(xiàn)在用本征左矢 作用上式，有,式中 是函數(shù) 在 那一點(diǎn)的函數(shù)值,將其與函數(shù)定義式,比較，可見應(yīng)有,這是一個很重要的關(guān)系，對應(yīng)于連續(xù)本征值譜的情況,33,而對于離散本征值譜的情況，其正交歸一關(guān)系為,可見，在連續(xù)情況下，本征值不同的兩本征矢量仍然是正交的。但所有本征矢量的模都是由函數(shù)所描寫的無窮大,盡管如此，我們?nèi)苑Q之為歸一化條件，只不過歸一化為函數(shù),由于 函數(shù)的存在，這些連續(xù)本征矢量自身的內(nèi) 積將為 ，但這種本征矢量同Hilbert空間中所有其 它歸一化矢量 的內(nèi)積都是有限的，因?yàn)?34,在物理上，具有連續(xù)本征