人教版數(shù)學必修二平面解析幾何初步

1、 平面解析幾何初步 一、直線的傾斜角和斜率 、傾斜角的定義：直線向上的方向和x軸正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角。1 時斜率不存在，與x軸垂直。,180），為0時斜率為0，即與x軸平行； 為902、傾斜角的范圍：直線傾斜角是0 , 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角？例題：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率 二、直線的方程 1特殊情況下的兩直線平行與垂直當兩條直線中有一條直線沒有斜率時： 90，互相平行；(1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為 ，另一條直線的傾斜角為0，兩直線互相垂直(2)當另一條直線的斜率為0時，

2、一條直線的傾斜角為90王新敞 2一般情況下斜率存在時兩直線的平行與垂直：bkb?l/lk?212121且）a、兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，亦可證明。即：（1 = CAB111?llllll 0Ax?By?CCBA0C?Ax?By?221121的充要條件是：，的方程為 ：，、已知直線 b 222222111王新敞1?k?kkk2211 （2）a、兩條直線垂直的情形：如果兩條直線的斜率分別是和，則這兩條直線垂直的充要條件是0?BBlllllAA?l0?Ax?By?C?0?Ax?By?C?2211212121 ，即：的一般式方程為：，和、已知直線b 111222

3、兩條直線是否相交的判斷30?CAx?By?111?0?CAx?By?是否有惟一解兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：222 王新敞點到直線距離公式：C?By?Ax00?d)P(x,y0l?:Ax?By?C22B?A00的距離為：到直線點 兩平行線間的距離公式5lll0?By?CAx?121 ：的一般式方程為和已知兩條平行線直線，1CC?21?dlll0?Ax?By?C22BA?221的距離為：，則與2 王新敞 6直線系方程)?CAx?Bylx?By?C?0ll(lA0?yx?B?CA1121111211與：，有交點，則過若兩條直線交點的直線系方程為：222?0?y?C)x(

4、A?B?)?C(Ax?By?C)?0Ax?By111或222222為常數(shù)) +( 練習：04?2y?kx?2k1x?y?k_? 的取值范圍是和的交點在第四象限，則例1 兩條直線04?2y?x?1?26k?4k, ）得交點為解法一：解方程組(? 1?12k2k?1?2ky?kx? 此點在第四象限y 2k?411?0?,k? ?1?2k22P(-2,1)即 ?A(4,0)111?6kOx?.?k?0? Q261k?2?B11?k?C. ，故選 62 m5m?1)y(m?1)x?2m 例為什么實數(shù)，直線2 求證：不論都通過一定點?my?5?x?(2m1)?(m1)，證法三：（ mxxyy1）（25

5、mmmxxyy ，R的解集為5）12（的一元一次方程為任意實數(shù)，知關于由0?1?x?2y?xy ，解得9?0?5?x?y?5m?x?(2m?1)y?)(m?1，）所以直線都通過定點(9 王新敞xlyA (，），直線的方程為30，求：例4已知點2的坐標為lAA (1)點的對稱點關于直線的坐標；?llA. 關于點的方程的對稱直線(2)直線xyA. 解：(1)設點）的坐標為（，1kllllAAAAAA. 的斜率是因為點3與的中點在關于直線，所以對稱，所以上，而直線，且 ?AA3?1y?4y4?,所以k 又因為 ?AA王新敞?3x?4x4?4?4x?4xy?4yx?,lyAA0 2)，所以再因為直線3

6、的方程為3220，的中點坐標是( 王新敞2222xyA ，6) 6.所以點的坐標為由和，解得(22王新敞?xllllyMc），對稱的兩直線(0與0.互相平行，于是可設在直線，的方程為3上任取一點2(2)關于點A?xlyMMMM 點在的中點為點其關于點A對稱的點為A（上，且，由此得），于是?2yx?0x4?4,y6. ，即：， 22?lMM 點在上，）.于是有因為（，6?cc18 0，所以36（） 王新敞?xly 183故直線0 的方程為王新敞 三、直線的交點坐標與距離公式: 、直線方程的五種形式10?cax?by 一般式方程為 A x ；不能表示的直線為垂直于軸的直線 B 斜截式方程為b?y?

7、kx ；不能表示的直線為垂直于坐標軸的直線C 兩點式方程為 x?y?yx11? x?yxy?1212 x；)k(xyxy 軸的直線 D 點斜式方程是不能表示的直線為垂直于00 yx. E 截距式方程為；不能表示的直線為垂直于坐標軸的直線和過原點的直線1? ba 其他： |p|為原點到直線的距離）；（其中為法線傾斜角，a法線式方程：xcos+ysin=p?cost?x?x?0?sint?y?y?）的有向線段的數(shù)量（線段的長x, y）到動點P（為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點P0（x0, y0b參數(shù)式：（其中0 方向向上則取正，否則取負）。度前添加正負號，若P0P 所成的ll與重合所轉過的最小

8、正角叫l(wèi)到l的角；繞它們的交點逆時針旋轉到與2、到角與夾角：若直線l, l的斜率分別為k, k，將ll2222121111k?kk?k12120.=,tan 角中不超過90，則的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為tan k1?kkk1?2121例題：1.下列四個命題中真命題的序號是 . 經(jīng)過定點P（x，y）的直線都可以用方程yyk（xx）表示 00000經(jīng)過任意兩個不同點P（x,y）,P(x,y)的直線都可以用方程（yy)(xx)(xx)(yy)表示 111212111222xy?1表示不經(jīng)過原點的直線都可以用方程 ab 表示bkxy）的直線都可以用方程b，0（A經(jīng)過定點 答案 0 xy5y

9、10，則直線PB的方程為 答案的方程為2.A、B是x軸上兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|PB|，若直線PAx 直線與方程第三章 一、選擇題 ( )1下列直線中與直線x2y10平行的一條是0 x4y2y10 B2A2x0 4y1D10 2xC2x4y13 ( 與點B(m，1) 之間的距離等于)，則實數(shù)m2已知兩點A(2，m) 1 D4或 B4 C1或4 A1 )N(a，4)的直線的斜率為1，則實數(shù)a的值為(3過點M(2，a)和2 D1或 B2 C1或4 A1 )By0，那么直線AxC0不經(jīng)過的象限是( 4如果AB0，BC D第四象限第一象限 B第二象限 C第三象限A) (4，0)，且第三個頂點

10、在第四象限，則BC邊所在的直線方程是( 5已知等邊ABC的兩個頂點A(0，0)，B33 (xy4Ay) x B33 Dy4)(x (x4) Cy2 )，則傾斜角與直線l的傾斜角互為補角的一條直線方程是( 6直線l：mxm1y0經(jīng)過點P(2，1 0 2xy3 B Axy10 0 Dx2y4 Cxy30 軸的對稱的點依次是( )7點P(1，2)關于x軸和y ，(1，2) ) B(1，2)，A(21)，(1，2 (2，1) D(1，2)，C(1，2)，(1，2) )0間的距離為3，則bc( l8已知兩條平行直線l : 3x4y50，: 6xbyc2 1 48 12或 C36 DA12 B48 )(1

11、，2)，且與原點距離最大的直線方程是( 9過點P0 4 B2xyAx2y50 0 D3xy5yCx370 )必過定點( 1滿足a2b，則直線ax3yb0，10ab11111111?， ， ， ? BCDA 22662626? 二、填空題 1，)，則實數(shù)a的值是_，1有相同的斜率，且A(，0)，B(2a)，C(aAC11已知直線AB與直線 k的取值范圍是_已知直線12x2y2k0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，則實數(shù) 0的距離為1，則a的值為_到直線aa13已知點(，2)(0)xy3 恒經(jīng)過一個定點，則過這一定點和原點的直線方程是20y14已知直線axa _22y x 60y5yx15已

12、知實數(shù)，滿足x12，則的最小值等于_ 三、解答題3 ，且與坐標軸所圍成的三角形的周長是求斜率為1216的直線方程 4 2，求直線l的方程AB| 3xy60截得的線段長| : 4117過點P(，2)的直線l被兩平行線lx3y10與l: 42 1 22m1)y62m)x(2m0(mR) 18已知方程(m2m3(1)求該方程表示一條直線的條件； (2)當m為何實數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程； (3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為3，求實數(shù)m的值； (4)若方程表示的直線l的傾斜角是45，求實數(shù)m的值 19ABC中，已知C(2，5)，角A的平分線所在的直線方程是yx，BC邊

13、上高線所在的直線方程是y2x1，試求頂點B的坐標 參考答案 一、選擇題D 1 B中直線與已知直線重合0來判斷，排除A，C，而解析：利用ABAB1212C 222213 m 1)(2 m) ( 解析：因為|AB|136m5，所以2m 或m1m4解得A 3a 4 解析：依條件有11，由此解得a 2 aB 4ACACx，依條件0：因為B0，所以直線方程為y，0即直線的斜率為正值，縱截距為負值，所以直線不過第二解析 BBBB 象限C 5，且傾斜角為 ABC是等邊三角形，所以BC邊所在的直線過點B解析：因為 33 4所以BC邊所在的直線方程為y)(xC 62 0l即的方程為xy1l解析：由點P在上得2m

14、m10，所以m1 ，顯然x滿足要求0y3所以所求直線的斜率為1C 7 yx，)，)解析：因為點(x，y關于x軸和y軸的對稱點依次是(xy)和( 1(，所以P(12)關于x軸和y軸的對稱的點依次是1，2)和(，2)D 8 解析：將l : 3x0，x改寫為68y104y501 8因為兩條直線平行，所以b10 c3，解得c20或c40 所以b由c12或48 228 69A 解析：設原點為O，依條件只需求經(jīng)過點P且與直線OP垂直的直線方程， 1，且過點P2，所以所求直線的斜率為 因為kOP 21(x1)，即x2y2所以滿足條件的直線方程為y50 210B 解析：方法1：因為a2b1，所以a12b 所以

15、直線ax3yb0化為(12b)x3yb0 0)y3x(b)x21(整理得11所以當時上式恒成立 x，y 6211? ， ? 過定點0所以直線ax3yb 26?11? ? a330b3b方法2：由a2b1得a120進一步變形為 62?11 3axyb0當x時恒成立，y這說明直線方程 6211? ， ? yb過定點0所以直線ax3 26? 二、填空題51? 11 251?0 a 01 2由已知得 10 解得a解析：，所以 aa 21 2 1a 121k1且k01 1，其中k0(否則三角形不存在)解析：依條件得|2|2k2|k| 2 k1且k0解得12 1133 a 2 22 a)1(依條件有1解得

16、a舍去1解析：，2211 x14y2 ，所以直線恒過點(1，2)解析：已知直線變形為y2a(x1 )，即y2x(故所求的直線方程是y22x1 60 15 13 12y60， 解析：因為實數(shù)x，y滿足5x22y x 12y60所以上點的距離x表示原點到直線522y x 的距離12y所以60的最小值表示原點到直線5x60606022y xd的最小值為即所求 容易計算 1313144 25 三、解答題3 ，bx16解：設所求直線的方程為y 4y ；，所以直線與0，得ybb)軸的交點為(0，令x44?，b 0 ?軸的交點為0y令，得x b，所以直線與x 33?2 44?2b bb?|由已知，得b12，

17、解得b3| 33?3 04y12故所求的直線方程是yx3，即3x 4 ，(x1)x1時，可驗證不符合題意，故設l的方程為y2k17解：當直線l的方程為k 2 y kx ?8 5k 3k 7? ，? ；由解得A? 4 43k 3k 0 1 4x 3y ?k 2 y kx ?k0 13k 128? ，? 由解得B? 4k 3k 4306 3y 4x?22k55?22 ? ，所以因為|AB| 43k 3k 4?12 7或k70解得k整理得7k48k21 7故所求的直線方程為x7y150或7xy50 18解：(1)當x，y的系數(shù)不同時為零時，方程表示一條直線， 22m30，解得m1令m，m3； 12 ，m0，解得m令2m1m1 2所以方程表示一條直線的條件是mR，且m1 1時，方程表示的直線的斜率不存在， 易知，當m)由(1)(2 24x軸的直線 ，它表示一條垂直于此時的方程為x 32m 624m150 3，所以33()依題意，有m 2m 2m 355，由(1)知所求m 所以m3，或m 33(4)因為直線l的傾斜角是45o，所以斜率