人教版數(shù)學(xué)必修二平面解析幾何初步

1、 平面解析幾何初步 一、直線的傾斜角和斜率 、傾斜角的定義：直線向上的方向和x軸正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角。1 時(shí)斜率不存在，與x軸垂直。,180），為0時(shí)斜率為0，即與x軸平行； 為902、傾斜角的范圍：直線傾斜角是0 , 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角？例題：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率 二、直線的方程 1特殊情況下的兩直線平行與垂直當(dāng)兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率時(shí)： 90，互相平行；(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為 ，另一條直線的傾斜角為0，兩直線互相垂直(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，

2、一條直線的傾斜角為90王新敞 2一般情況下斜率存在時(shí)兩直線的平行與垂直：bkb?l/lk?212121且）a、兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，亦可證明。即：（1 = CAB111?llllll 0Ax?By?CCBA0C?Ax?By?221121的充要條件是：，的方程為 ：，、已知直線 b 222222111王新敞1?k?kkk2211 （2）a、兩條直線垂直的情形：如果兩條直線的斜率分別是和，則這兩條直線垂直的充要條件是0?BBlllllAA?l0?Ax?By?C?0?Ax?By?C?2211212121 ，即：的一般式方程為：，和、已知直線b 111222

3、兩條直線是否相交的判斷30?CAx?By?111?0?CAx?By?是否有惟一解兩條直線是否有交點(diǎn)，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：222 王新敞點(diǎn)到直線距離公式：C?By?Ax00?d)P(x,y0l?:Ax?By?C22B?A00的距離為：到直線點(diǎn) 兩平行線間的距離公式5lll0?By?CAx?121 ：的一般式方程為和已知兩條平行線直線，1CC?21?dlll0?Ax?By?C22BA?221的距離為：，則與2 王新敞 6直線系方程)?CAx?Bylx?By?C?0ll(lA0?yx?B?CA1121111211與：，有交點(diǎn)，則過(guò)若兩條直線交點(diǎn)的直線系方程為：222?0?y?C)x(

4、A?B?)?C(Ax?By?C)?0Ax?By111或222222為常數(shù)) +( 練習(xí)：04?2y?kx?2k1x?y?k_? 的取值范圍是和的交點(diǎn)在第四象限，則例1 兩條直線04?2y?x?1?26k?4k, ）得交點(diǎn)為解法一：解方程組(? 1?12k2k?1?2ky?kx? 此點(diǎn)在第四象限y 2k?411?0?,k? ?1?2k22P(-2,1)即 ?A(4,0)111?6kOx?.?k?0? Q261k?2?B11?k?C. ，故選 62 m5m?1)y(m?1)x?2m 例為什么實(shí)數(shù)，直線2 求證：不論都通過(guò)一定點(diǎn)?my?5?x?(2m1)?(m1)，證法三：（ mxxyy1）（25

5、mmmxxyy ，R的解集為5）12（的一元一次方程為任意實(shí)數(shù)，知關(guān)于由0?1?x?2y?xy ，解得9?0?5?x?y?5m?x?(2m?1)y?)(m?1，）所以直線都通過(guò)定點(diǎn)(9 王新敞xlyA (，），直線的方程為30，求：例4已知點(diǎn)2的坐標(biāo)為lAA (1)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的坐標(biāo)；?llA. 關(guān)于點(diǎn)的方程的對(duì)稱直線(2)直線xyA. 解：(1)設(shè)點(diǎn)）的坐標(biāo)為（，1kllllAAAAAA. 的斜率是因?yàn)辄c(diǎn)3與的中點(diǎn)在關(guān)于直線，所以對(duì)稱，所以上，而直線，且 ?AA3?1y?4y4?,所以k 又因?yàn)??AA王新敞?3x?4x4?4?4x?4xy?4yx?,lyAA0 2)，所以再因?yàn)橹本€3

6、的方程為3220，的中點(diǎn)坐標(biāo)是( 王新敞2222xyA ，6) 6.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為由和，解得(22王新敞?xllllyMc），對(duì)稱的兩直線(0與0.互相平行，于是可設(shè)在直線，的方程為3上任取一點(diǎn)2(2)關(guān)于點(diǎn)A?xlyMMMM 點(diǎn)在的中點(diǎn)為點(diǎn)其關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)為A（上，且，由此得），于是?2yx?0x4?4,y6. ，即：， 22?lMM 點(diǎn)在上，）.于是有因?yàn)椋ǎ??cc18 0，所以36（） 王新敞?xly 183故直線0 的方程為王新敞 三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式: 、直線方程的五種形式10?cax?by 一般式方程為 A x ；不能表示的直線為垂直于軸的直線 B 斜截式方程為b?y?

7、kx ；不能表示的直線為垂直于坐標(biāo)軸的直線C 兩點(diǎn)式方程為 x?y?yx11? x?yxy?1212 x；)k(xyxy 軸的直線 D 點(diǎn)斜式方程是不能表示的直線為垂直于00 yx. E 截距式方程為；不能表示的直線為垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線1? ba 其他： |p|為原點(diǎn)到直線的距離）；（其中為法線傾斜角，a法線式方程：xcos+ysin=p?cost?x?x?0?sint?y?y?）的有向線段的數(shù)量（線段的長(zhǎng)x, y）到動(dòng)點(diǎn)P（為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點(diǎn)P0（x0, y0b參數(shù)式：（其中0 方向向上則取正，否則取負(fù)）。度前添加正負(fù)號(hào)，若P0P 所成的ll與重合所轉(zhuǎn)過(guò)的最小

8、正角叫l(wèi)到l的角；繞它們的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與2、到角與夾角：若直線l, l的斜率分別為k, k，將ll2222121111k?kk?k12120.=,tan 角中不超過(guò)90，則的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為tan k1?kkk1?2121例題：1.下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是 . 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（x，y）的直線都可以用方程yyk（xx）表示 00000經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)P（x,y）,P(x,y)的直線都可以用方程（yy)(xx)(xx)(yy)表示 111212111222xy?1表示不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程 ab 表示bkxy）的直線都可以用方程b，0（A經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 答案 0 xy5y

9、10，則直線PB的方程為 答案的方程為2.A、B是x軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|PB|，若直線PAx 直線與方程第三章 一、選擇題 ( )1下列直線中與直線x2y10平行的一條是0 x4y2y10 B2A2x0 4y1D10 2xC2x4y13 ( 與點(diǎn)B(m，1) 之間的距離等于)，則實(shí)數(shù)m2已知兩點(diǎn)A(2，m) 1 D4或 B4 C1或4 A1 )N(a，4)的直線的斜率為1，則實(shí)數(shù)a的值為(3過(guò)點(diǎn)M(2，a)和2 D1或 B2 C1或4 A1 )By0，那么直線AxC0不經(jīng)過(guò)的象限是( 4如果AB0，BC D第四象限第一象限 B第二象限 C第三象限A) (4，0)，且第三個(gè)頂點(diǎn)

10、在第四象限，則BC邊所在的直線方程是( 5已知等邊ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(0，0)，B33 (xy4Ay) x B33 Dy4)(x (x4) Cy2 )，則傾斜角與直線l的傾斜角互為補(bǔ)角的一條直線方程是( 6直線l：mxm1y0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1 0 2xy3 B Axy10 0 Dx2y4 Cxy30 軸的對(duì)稱的點(diǎn)依次是( )7點(diǎn)P(1，2)關(guān)于x軸和y ，(1，2) ) B(1，2)，A(21)，(1，2 (2，1) D(1，2)，C(1，2)，(1，2) )0間的距離為3，則bc( l8已知兩條平行直線l : 3x4y50，: 6xbyc2 1 48 12或 C36 DA12 B48 )(1

11、，2)，且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是( 9過(guò)點(diǎn)P0 4 B2xyAx2y50 0 D3xy5yCx370 )必過(guò)定點(diǎn)( 1滿足a2b，則直線ax3yb0，10ab11111111?， ， ， ? BCDA 22662626? 二、填空題 1，)，則實(shí)數(shù)a的值是_，1有相同的斜率，且A(，0)，B(2a)，C(aAC11已知直線AB與直線 k的取值范圍是_已知直線12x2y2k0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，則實(shí)數(shù) 0的距離為1，則a的值為_(kāi)到直線aa13已知點(diǎn)(，2)(0)xy3 恒經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則過(guò)這一定點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程是20y14已知直線axa _22y x 60y5yx15已

12、知實(shí)數(shù)，滿足x12，則的最小值等于_ 三、解答題3 ，且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的周長(zhǎng)是求斜率為1216的直線方程 4 2，求直線l的方程AB| 3xy60截得的線段長(zhǎng)| : 4117過(guò)點(diǎn)P(，2)的直線l被兩平行線lx3y10與l: 42 1 22m1)y62m)x(2m0(mR) 18已知方程(m2m3(1)求該方程表示一條直線的條件； (2)當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示的直線斜率不存在？求出這時(shí)的直線方程； (3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為3，求實(shí)數(shù)m的值； (4)若方程表示的直線l的傾斜角是45，求實(shí)數(shù)m的值 19ABC中，已知C(2，5)，角A的平分線所在的直線方程是yx，BC邊

13、上高線所在的直線方程是y2x1，試求頂點(diǎn)B的坐標(biāo) 參考答案 一、選擇題D 1 B中直線與已知直線重合0來(lái)判斷，排除A，C，而解析：利用ABAB1212C 222213 m 1)(2 m) ( 解析：因?yàn)閨AB|136m5，所以2m 或m1m4解得A 3a 4 解析：依條件有11，由此解得a 2 aB 4ACACx，依條件0：因?yàn)锽0，所以直線方程為y，0即直線的斜率為正值，縱截距為負(fù)值，所以直線不過(guò)第二解析 BBBB 象限C 5，且傾斜角為 ABC是等邊三角形，所以BC邊所在的直線過(guò)點(diǎn)B解析：因?yàn)?33 4所以BC邊所在的直線方程為y)(xC 62 0l即的方程為xy1l解析：由點(diǎn)P在上得2m

14、m10，所以m1 ，顯然x滿足要求0y3所以所求直線的斜率為1C 7 yx，)，)解析：因?yàn)辄c(diǎn)(x，y關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)依次是(xy)和( 1(，所以P(12)關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱的點(diǎn)依次是1，2)和(，2)D 8 解析：將l : 3x0，x改寫為68y104y501 8因?yàn)閮蓷l直線平行，所以b10 c3，解得c20或c40 所以b由c12或48 228 69A 解析：設(shè)原點(diǎn)為O，依條件只需求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線OP垂直的直線方程， 1，且過(guò)點(diǎn)P2，所以所求直線的斜率為 因?yàn)閗OP 21(x1)，即x2y2所以滿足條件的直線方程為y50 210B 解析：方法1：因?yàn)閍2b1，所以a12b 所以

15、直線ax3yb0化為(12b)x3yb0 0)y3x(b)x21(整理得11所以當(dāng)時(shí)上式恒成立 x，y 6211? ， ? 過(guò)定點(diǎn)0所以直線ax3yb 26?11? ? a330b3b方法2：由a2b1得a120進(jìn)一步變形為 62?11 3axyb0當(dāng)x時(shí)恒成立，y這說(shuō)明直線方程 6211? ， ? yb過(guò)定點(diǎn)0所以直線ax3 26? 二、填空題51? 11 251?0 a 01 2由已知得 10 解得a解析：，所以 aa 21 2 1a 121k1且k01 1，其中k0(否則三角形不存在)解析：依條件得|2|2k2|k| 2 k1且k0解得12 1133 a 2 22 a)1(依條件有1解得

16、a舍去1解析：，2211 x14y2 ，所以直線恒過(guò)點(diǎn)(1，2)解析：已知直線變形為y2a(x1 )，即y2x(故所求的直線方程是y22x1 60 15 13 12y60， 解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足5x22y x 12y60所以上點(diǎn)的距離x表示原點(diǎn)到直線522y x 的距離12y所以60的最小值表示原點(diǎn)到直線5x60606022y xd的最小值為即所求 容易計(jì)算 1313144 25 三、解答題3 ，bx16解：設(shè)所求直線的方程為y 4y ；，所以直線與0，得ybb)軸的交點(diǎn)為(0，令x44?，b 0 ?軸的交點(diǎn)為0y令，得x b，所以直線與x 33?2 44?2b bb?|由已知，得b12，

17、解得b3| 33?3 04y12故所求的直線方程是yx3，即3x 4 ，(x1)x1時(shí)，可驗(yàn)證不符合題意，故設(shè)l的方程為y2k17解：當(dāng)直線l的方程為k 2 y kx ?8 5k 3k 7? ，? ；由解得A? 4 43k 3k 0 1 4x 3y ?k 2 y kx ?k0 13k 128? ，? 由解得B? 4k 3k 4306 3y 4x?22k55?22 ? ，所以因?yàn)閨AB| 43k 3k 4?12 7或k70解得k整理得7k48k21 7故所求的直線方程為x7y150或7xy50 18解：(1)當(dāng)x，y的系數(shù)不同時(shí)為零時(shí)，方程表示一條直線， 22m30，解得m1令m，m3； 12 ，m0，解得m令2m1m1 2所以方程表示一條直線的條件是mR，且m1 1時(shí)，方程表示的直線的斜率不存在， 易知，當(dāng)m)由(1)(2 24x軸的直線 ，它表示一條垂直于此時(shí)的方程為x 32m 624m150 3，所以33()依題意，有m 2m 2m 355，由(1)知所求m 所以m3，或m 33(4)因?yàn)橹本€l的傾斜角是45o，所以斜率