2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解7-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、專(zhuān)題7.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.4.本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等.5.高考預(yù)測(cè)：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項(xiàng)公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進(jìn)一步證明不等式（2）數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合.6.備考重點(diǎn):（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項(xiàng)相消法及錯(cuò)位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式

2、證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問(wèn)題.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義常數(shù)常數(shù)通項(xiàng)公式判定方法(1)定義法；(2)中項(xiàng)公式法：為等差數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：(為常數(shù),) 為等差數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：(為常數(shù), ) 為等差數(shù)列；(5) 為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列 (，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法： () 為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法： (均是不為0的常數(shù)，)為等比數(shù)列(4) 為等差數(shù)列(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，且，則(2) (3) ，仍成等差數(shù)列(1)若，且，則(2) (3)等比數(shù)列依次每項(xiàng)和()，即 ，仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)

3、，或.知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列求和1. 等差數(shù)列的前和的求和公式：.2等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3. 數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差數(shù)列中，；等比數(shù)列中，.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【典例1】（浙江省杭州市第二中學(xué)2020屆高三）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)公比為.由，成等差數(shù)列，可得，所以，則，解(舍去)或.所以.故選A.【典例2】（2017全國(guó)高考真題（文）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且a1=1，b1=1，a2+

4、b2=4.（1）若a3+b3=7，求bn的通項(xiàng)公式；（2）若T3=13，求S5.【答案】（1）bn=2n-1；（2）5或75.【解析】設(shè)等差數(shù)列an公差為d，等比數(shù)列bn公比為有(1+d)+q=4，即d+q=3.（1）(1+2d)+q2=7，結(jié)合d+q=3得q=2，bn=2n-1.（2）T3=1+q+q2=13，解得q=-4或3，當(dāng)q=-4時(shí)，d=7，此時(shí)；當(dāng)q=3時(shí)，d=0，此時(shí)S5=5a1=5.【總結(jié)提升】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問(wèn)題設(shè)置中間問(wèn)題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細(xì)節(jié)：

5、在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的【變式探究】1.（2019年9月浙江省嘉興市高三測(cè)試）已知是公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，成等比數(shù)列，則_，當(dāng)_時(shí)，取得最大值【答案】19. 10. 【解析】因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為(1). 19. (2). 10.2.（2019天津高考模擬（理）已知數(shù)列滿足（為實(shí)數(shù)，且），且，成等差數(shù)列（）求的值和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（

6、），;（）.【解析】（）由已知，有，即所以又因?yàn)椋?，由，得?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，的通項(xiàng)公式為 （）由（）得設(shè)的前項(xiàng)和為，則，上述兩式相減，得整理得，所以所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，【易錯(cuò)提醒】1.利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問(wèn)題，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：(1)裂項(xiàng)過(guò)程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤2.應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：（1）給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；（2）在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù)，不一定為n.高頻考點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例3】（2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)

7、盟(Z20聯(lián)盟)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）ABCD【答案】B【解析】考察函數(shù)，由可得在單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減且，可得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，圖象可得，所以，故選B.【典例4】（2014四川高考真題（理）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）.（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】.（1），所以.（2）將求導(dǎo)得，所以在處的切線為，令得，所以，.所以，其前項(xiàng)和兩邊乘以2得：得：，所以.【總結(jié)提升】數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類(lèi)：知函數(shù)條件，

8、解決數(shù)列問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形【變式探究】1.（2018浙江高考模擬）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=Sn+n+1（nN+）（）求證數(shù)列an+1為等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證： （）設(shè)函數(shù) ，令 ，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，并判斷其單調(diào)性【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】（）證明：an+1=Sn+n+1，可得當(dāng)n2時(shí)，an=Sn1+n，兩式相減可得，an+1an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n2，由a

9、1+1=2，a2+1=4，可得數(shù)列an+1為公比為2的等比數(shù)列；（）an+1=22n1=2n，即有an=2n1，當(dāng)n=1時(shí)，T1=1，當(dāng)n=2時(shí)，T2=1+，當(dāng)n=3時(shí)，T3=1+=顯然有；n3時(shí)，Tn=1+1+（+）=1+1+=1+1+=；（）設(shè)函數(shù)，令，fn（x）=an+2an1x+na1xn1，則bn=fn（1）=an+2an1+na1=（2n1）+2（2n11）+3（2n21）+n（211）=2n+22n1+32n2+n21令A(yù)=2n+22n1+32n2+n21，A=2n1+22n2+32n3+n20，兩式相減可得，A=2n+2n1+2n2+2n=2n+1n2，即A=2n+22n4，b

10、n=2n+22n4=2n+2n2n4，bn遞增，只需證明當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，bn+1bn=2n+2n30當(dāng)n=1時(shí)，2n+2n3=40，假設(shè)n=k時(shí)，2k+2k30，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+3k4=（2k+2k3）+（2k+21）0恒成立，綜上可得，當(dāng)n為一切自然數(shù)時(shí)，bn+1bn即數(shù)列bn為遞增數(shù)列2.（2017上海高考真題）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第 個(gè)月共享單車(chē)的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，第個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量是前個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差. （1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量；（2）已知該地共享單車(chē)停放點(diǎn)第個(gè)月底的單車(chē)容納量（單位：輛）. 設(shè)在某月底，共享單車(chē)保有量

11、達(dá)到最大，問(wèn)該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量？【答案】（1）935；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）（2），即第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大 ，此時(shí)保有量超過(guò)了容納量. 高頻考點(diǎn)三 數(shù)列與不等式的綜合【典例5】（2019年9月浙江省超級(jí)全能生高三聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，且為，的等比中項(xiàng)，為，的等差中項(xiàng).（）求q的值；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（）（）詳見(jiàn)解析【解析】（）由題意得則解得.（）由題知，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故，綜上所述，.【典例6】（2020屆浙江省臺(tái)州五校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).（）求方程f(x)-x=0的實(shí)數(shù)解；（）如果數(shù)列an滿足，（），是否存在實(shí)數(shù)c，使得對(duì)所

12、有的都成立？證明你的結(jié)論（）在（）的條件下，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為，證明：【答案】（）;（）存在c=14使得;（）見(jiàn)解析.【解析】（）；（）存在c=14使得證法1：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以0f(x)3時(shí)，有，因此從而即解法2: 由（）可知，所以，所以所以所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即.(其他解法酌情給分)【總結(jié)提升】1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”放縮法常見(jiàn)的放縮技巧有：(1).(2).(3)2()2()2.數(shù)列中不等式恒成立的問(wèn)題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題；求項(xiàng)或前

13、n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解【變式探究】1.（2020山東高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由-，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以?）證明：因?yàn)椋?（2019福建高考模擬（理）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，-得，即，又因?yàn)?，即，所以，即?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）得，所以，則，則，所以 .因?yàn)?，所?又，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，即.

14、高頻考點(diǎn)四 數(shù)列與充要條件【典例7】（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以“”是“”的充要條件.故選:C.【典例8】（2020浙江高三）等差數(shù)列an的公差為d，a10，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則“d0”是“Z”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列an的公差為d，a10，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若d0，則an為常數(shù)列，故an=，即“Z”，當(dāng)Z時(shí)，d不一定為0，例如，

15、數(shù)列1，3，5，7，9，11中，4，d2，故d0是Z的充分不必要條件故選：A【規(guī)律方法】充要關(guān)系的幾種判斷方法(1)定義法：若 ，則是的充分而不必要條件；若 ，則是的必要而不充分條件；若，則是的充要條件； 若 ，則是的既不充分也不必要條件.(2)等價(jià)法：即利用與；與；與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3) 集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，MN等價(jià)于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式探究】1.（2020屆浙江寧波市高三上期末）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也