試題五考試時(shí)間120分鐘

1、試 題 五 （考試時(shí)間：120分鐘） 一、 判斷題（每小題3分，共18分） n1AB?ABBA . 設(shè) 、階方陣，則均為 （ ） m?nm?nAAx?b有無窮多解. ，則線性方程組 2） 設(shè)矩陣，且為（ n （ ） 3. 階實(shí)對(duì)稱矩陣一定與對(duì)角矩陣相似 ?n?nm,?,?,A線性相關(guān)，為是 4已知維列向量組，矩陣，如果s221s1?A?,A,A也線性相關(guān). 則 （ ） s12TAx?xf的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的. （ ） 5實(shí)二次型TTT?9)(0,3,?(?1,1,1)2,?(1,3)線性無關(guān)，則向量組已知向量組6. 321TTT?)3,9,c?1,1,1,b)?(1,2,3,a)(0,?(也線性無

2、關(guān). （ ） 312 二、 單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分） x2?1x21?11x41x項(xiàng)的系數(shù)是 中 （ ） 行列式0x20x1?x0?2 ）2 （）D1 （C）（A）1 （B100110?1?C中第3行第2列元素是 2設(shè)（ ），則1?AB22?A?,020C,B?1?310030? （A）1/3 （B）1/2 （C）1 （D）3/2 *AA4)?0r(Ar(A)?（ 3已知）為，則秩階非零矩陣，其伴隨矩陣的秩 （A）1或2 （B）1或3 （C）2或3 （D）3或4 ?,Ax?0的基礎(chǔ)解系，則它的另一個(gè)基礎(chǔ)解系是（ 設(shè)） 是線性方程組4312?,等價(jià)的向量組等秩的向量組（A）三個(gè)與 （B

3、）三個(gè)與 321312?,?,? D （C）（）1132122332312An0A?A? （，則錯(cuò)誤結(jié)論是 5設(shè)階方陣 滿足 ） A?2EA?2EA?EA?E可逆 可逆 C可逆 （）（D（A）可逆 （B? 22Rc?bxca,b,?Vax,?,ex?1?e11)?(x?e是6，已知多項(xiàng)式線性空間 2132V?5xx?62)(fx?在該組基下的坐標(biāo)是 的一組基，則多項(xiàng)式（ ） 1 ? 32,?6212,?1,3,3,?1,2,?5,） （B）D （A（）C） （?n?,?,?,?,? 三、（8分）設(shè)為維列向量，22n111322? 1003,?,A,?AB),?B?(,?. ，求，方陣如果n12

4、1nnn12 12?2?*A?0?24E8ABA?2BA?BA,，求矩，其中階方陣滿足（10分）已知3四、?100?B. 陣220?A?82xAx的值。的特征值及可對(duì)角化，求矩陣（10分）設(shè)矩陣 五、?600? TTT?,3),3,3?(3,?,?(2,2,2?a,2)a,?(1,11,1?a), 12六、（分）已知向量312?T?a,?,4)4,4,(4?a,?，為何值時(shí)，線性相關(guān)？當(dāng)問線性相關(guān)時(shí)，423142134求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表示. x?x?x?x?1?4123?4x?3x?5x?x?1有3個(gè)線性無關(guān)解. （七、12分）已知非齊次線性方程組?4

5、123?ax?x?3x?bx?1?1423Ar(A)?2a,b的值及方程組的通解. 方程組的系數(shù)矩陣(1)證明:；的秩(2) 求 TnnAx)?xf(x個(gè)元實(shí)二次型分）證明：正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形中6八、（. 系數(shù)全為正 2 試題五參考答案 一 判斷題（每小題3分，共18分） nAB?AB?BA ）1設(shè)、 均為階方陣，則 （. m?nm?n?AAx?b有無窮多解. ，則線性方程組 2設(shè)矩陣，且為（ ） n階實(shí)對(duì)稱矩陣一定與對(duì)角矩陣相似. 3 （ ） ?nnm?,?,?,A線性相關(guān)，則維列向量組，矩陣，如果是為 4已知s11s22?A?,A,A,也線性相關(guān). （ ） s12T?Ax?xf

6、的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的 . ） 5實(shí)二次型 （ TTT?,39)?1,1,(01),?(1,2,3),?(線性無關(guān)，則向量組已知向量組6. 321TTT?)c?,b)(0,?(1,2,3,a)3,9,?(?1,1,1也線性無關(guān). （ ） 312二 單項(xiàng)選擇題題（每小題4分，共24分） 10010?） 6（ C （ B D ） ） 3（ 5 A ） 4（）1（ C ） 2 （ B ?00101?BP=? 三 解：?,?,?,?,?B?01001?n121132n2? 10100?00001?01100?11000?011002,n為奇數(shù)? P 其中=1n?(1)?1?0,n為偶數(shù)?00010?0001

7、1?2006,n為奇數(shù)? B? 故 ?0,n為偶數(shù)?* E?2?AEA?2?0?AAA ，故 解： 可逆，又因?yàn)樗??1?1*?AA8?BAA2ABAA?AAE4)B?(A?E ，得所以 ?2?46?11? 0?4A?E?*?1，求得由 04?E(A?)8)(A?E? 44?200?24?6?B?0?48 所以 ?200?3 ?2?20 2? ?2?86)?(?x?(2)E?A? 解： 五?00?6?6,?2? 特征值故 321?6?A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故 可對(duì)角化，所以由于1?A)r(6E?214?204?20?x?0x?00?A?84?x6E ， 又 從而?000000?234?a

8、11234?a?a?a40?0a123? 解：六 ?A?,4213?aa0012?a34?0?a34a01?a2?,0?a1?(A)r線性相關(guān)， 當(dāng) 時(shí)， ，故4123?4,?3?2 為其一個(gè)極大線性無關(guān)組，a1234?a1009?a?011?1000?1?1100?0a?，當(dāng) 時(shí)，?A?1000011?100?1?1?0?01?1000?10?a010?a00?,10?a43?A)?r(線性相關(guān)，而時(shí)，故 4213?,?, 為其一個(gè)極大線性無關(guān)組，且3241312 ?,?,Ax?Ax?b0的個(gè)線性無關(guān)解，則七 解：（1）設(shè)是的3是31212134?r(A)?2,r(

9、A)?2；個(gè)線性無關(guān)解，故2 11Ar(A)?22)?r(A0? 所以，又中有一個(gè)二階子式， 4311?11111?111? A?435?1?1?01?15?3）2（ ?a?425baa?13a1b00424?4 r(A)?24?2a?0,4a?b?5?0a?2,b?3 ，解得，所以因?yàn)?111?1102?42? A?01?15?3?01?15?3，同解方程組這時(shí) ?0000000000?x2?24?1?x?2?2x?4x?x?31?5431k,k是任意常數(shù)） ，通解（?2k?k21x?3?x?5x21?x0104233?x001?4x?Cy，使得 證明：設(shè)存在正交變換 八2T22T?ddyy?f?yd(CyAC)y?n112n2?1),ni?1,?d?0(x?(y,y,y?C?,y)?0x?0有， 充分性設(shè) ，則in21f(x)