高等數(shù)學(xué)上第五章定積分總結(jié)

1、第五章 定積分內(nèi)容：定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本公式、換元積分法、分部積分法、廣義積分。要求：理解定積分的概念和性質(zhì)。掌握牛頓萊布尼茲公式、定積分的換元法和分部積分法，理解變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，理解廣義積分的概念和計(jì)算方法。重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)；微積分基本公式；換元積分法、分部積分法。難點(diǎn)：定積分的概念；變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；換元積分法、分部積分法。1.定積分的概念一、實(shí)例分析1曲邊梯形的面積y=f (x)x=a x=b設(shè)函數(shù)Ca, b, 且0. 由曲線圍成的圖形稱為曲邊梯形. 如何定義曲邊梯形的面積?(1) 矩形面積=底高.(2) 預(yù)備一張細(xì)長條的紙, 其面積底

2、高.(3) 預(yù)備一張呈曲邊梯形狀的紙, 將其撕成許多細(xì)長條. (4) 啟示: 將曲邊梯形分割為許多細(xì)長條, 分割得越細(xì), 誤差越小.y=f (x)a=x0 x1 xi-1 xi xn=b第i個(gè)細(xì)長條面積曲邊梯形面積: 定積分概念示意圖.ppt定義: 拋開上述過程的幾何意義，將其數(shù)學(xué)過程定義為定積分.二、定積分的定義1. 定義設(shè)在a, b有定義, 且有界.(1) 分割: 用分點(diǎn)把a(bǔ), b分割成n個(gè)小區(qū)間:(2) 取點(diǎn): 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)xi, 做乘積: .(3) 求和: (4) 取極限: 若極限存在, 則其為在a, b上的定積分, 記作: . 即: a, b: 積分區(qū)間；a：積分下限；b：

3、積分上限；積分和式.問題: 定積分是極限值, 在求極限的過程中, 誰是常量, 誰是變量?注: (1) 與區(qū)間的分割法Dxi和取點(diǎn)法xi有關(guān); 而與Dxi和xi無關(guān).(2) 與a、b、f 有關(guān)，與x無關(guān)，即：2定積分存在定理定理 若在a, b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在a, b上可積.推論 若在a, b上連續(xù)，則在a, b上可積.例1. 求解: 在0, 1連續(xù), 積分存在. 與0, 1的分割法和xi的取法無關(guān). 選取特殊的分割法和取點(diǎn)法, 可使計(jì)算簡便.(1) 將0, 1n等分, (2) 取點(diǎn)xi=(3) 求和(4) 取極限故3. 定積分的幾何意義若在a, b上非負(fù), 則=曲邊梯形面積;S+S

4、+S-若在a, b上非正, 則=曲邊梯形面積的負(fù)值;的幾何意義是由曲線圍成曲邊梯形面積的代數(shù)和. 例2. . 三、定積分的性質(zhì)1規(guī)定2性質(zhì)a c ba b c(4) 若在a, b上有，則推論1 若，則推論2 (5) 設(shè)M、m分別為在a, b上的最大、最小值，則(6) (積分中值定理) 設(shè), 則, 使得y=f()將中值定理變形得：稱為在a, b上的平均值.2. 微積分基本公式一、變速直線運(yùn)動(dòng)中的位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的關(guān)系（略）二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)在a, b上連續(xù), 則xa, b, 有在a, x上連續(xù). 從而存在. 在這里, 積分上限x與被積變量x的性質(zhì)是不同的. 與a、b、f 有關(guān)，與

5、x無關(guān). 與a、x、f 有關(guān). 對(duì)于a, b上的任一點(diǎn)x, 有一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)值, 故是x的函數(shù), 記作F(x), 即:稱為積分上限的函數(shù).定理 若在a, b上連續(xù), 則積分上限的函數(shù)在a, b上可導(dǎo), 且 證明: .注: 若在a, b上不連續(xù), 則最后一個(gè)等式不成立.此定理說明, 是的一個(gè)原函數(shù).例1. 例2. , 求例3. 求極限.三、牛頓萊布尼茨公式定理 若在a, b上連續(xù), 是的一個(gè)原函數(shù)，則證明：是的一個(gè)原函數(shù), 也是的一個(gè)原函數(shù), 同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間相關(guān)一個(gè)常數(shù), 于是有:例1. 例2. 例3例4例5. 例6. 注：在數(shù)學(xué)計(jì)算過程中, 要對(duì)結(jié)論(答案)作合理性檢驗(yàn). 3. 定

6、積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法定理 若滿足如下條件：(1) 是,(或,)上單值單調(diào)函數(shù);(2) 在,(或,)有連續(xù)導(dǎo)數(shù);(3) 則: .例1. 令. 當(dāng)x=0時(shí), t=1; 當(dāng)x=4時(shí), t=3.(若不定積分掌握得很好得話, 可以直接湊微分:)與不定積分換元法相比較, 有兩點(diǎn)不同:(1) 積分變量由x變?yōu)閠時(shí), 積分的上下限也要隨之改變;(2) 求出關(guān)于t的原函數(shù)后無須回代成x的函數(shù).例2. 注：換元積分公式，滿足所要求的條件很重要，如：而事實(shí)上，其原因在于在t=0不可導(dǎo).例3. 證明: (1) 若是-a, a上的偶函數(shù), 則(2) 若證明是-a, a上的奇函數(shù), 則證明: 此例提

7、示我們, 在計(jì)算定積分時(shí), 看到對(duì)稱的積分限, 要保持敏感.頁：10例.例4. , 證明: 并計(jì)算二、定積分的分部積分法定積分的分部積分法適用的函數(shù)類型與不定積分的分部積分法相同.例1. 例2. 例3. 積分公式：例44. 反常積分（廣義積分）定義定積分需滿足如下條件: (1) 有界 (2) 只有有限個(gè)間斷點(diǎn) (3) a, b為確定的數(shù)值, 即積分限是有限值. 反常積分是對(duì)無窮積分限和無界函數(shù)定義的積分.一、無窮限的反常積分定義 設(shè), 取ta, 若極限存在, 則稱此極限為上的反常積分, 記作, 即:存在, 也稱為收斂; 若不存在, 則稱發(fā)散.類似地, 定義: 注: 例1. 例2. 例3. 故發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分定義 設(shè), 取bta, 若極限存在, 則稱此極限為上的反常積分, 仍記作, 即:亦稱為收斂; 否則，稱發(fā)散.類似地, 定義: 注: 例4. 例5. 例6. 故發(fā)散.注: 計(jì)算前, 首先判斷在a, b上是否有無窮點(diǎn). 定積分小結(jié)一、基本概念1定積分2變上限