(最新整理)清華大學(xué)2017年領(lǐng)軍計(jì)劃試題

1、(完整)清華大學(xué)2017年領(lǐng)軍計(jì)劃試題(完整)清華大學(xué)2017年領(lǐng)軍計(jì)劃試題 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)清華大學(xué)2017年領(lǐng)軍計(jì)劃試題）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為(完整)清華大學(xué)2017年領(lǐng)軍計(jì)劃試題的全部?jī)?nèi)容。清華大學(xué)2017年自主招生與領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（1）設(shè)函數(shù)，若對(duì)

2、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解答：?jiǎn)栴}等價(jià)于在上恒成立;記,兩函數(shù)均過(guò)，且，可知.答案a.（2）設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則 解答:（a),所以a錯(cuò);（b），所以b對(duì)；(c),所以c錯(cuò)；（d），所以d錯(cuò)；答案b.(3)從中選出三個(gè)不同數(shù)字組成四位數(shù)(其中的一個(gè)數(shù)字用兩次），如，這樣的四位數(shù)共有 解答：十個(gè)數(shù)中先選出3個(gè)數(shù)，再?gòu)闹羞x出一個(gè)作為用兩次的，再選出兩個(gè)位置放這個(gè)數(shù)，剩下兩個(gè)數(shù)再排列一下，共有個(gè)。下面考慮被排在了首位的情況：10在后三位還出現(xiàn)了一次:則在剩下9個(gè)數(shù)中再選兩個(gè),于是有個(gè)。2只出現(xiàn)在首位：則在剩下9個(gè)數(shù)中再選兩個(gè)，其中一個(gè)重復(fù)兩次，于是有個(gè)。于是符合題目要求的四位數(shù)共有個(gè). 答案d.（

3、4）已知集合，設(shè)映射滿足：對(duì)任意的是奇函數(shù)，這樣的映射的個(gè)數(shù) 解答：設(shè)則，均為奇數(shù)，所以只需令為奇數(shù)，所以共有種選擇。 答案c.(5）若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的值 解答：顯然與均關(guān)于對(duì)稱,若有之外的解，則均成對(duì)出現(xiàn),所以要只有一個(gè)解，則只能在處,此時(shí)當(dāng)時(shí)，時(shí)，確實(shí)只有一個(gè)解。答案a.（6）設(shè)為非零向量，且，則與夾角的最大值為（b） 解答:因?yàn)?，?則平移向量的起點(diǎn)到點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，則與夾角為，根據(jù)幾何意義可知，當(dāng)與圓相切時(shí),夾角最大，此時(shí),，則，則.所以。 答案b。（7）已知三棱錐的底面為邊長(zhǎng)為3的正三角形，且則的體積為（c） 解答:因?yàn)?過(guò)點(diǎn)向面作垂線，

4、因?yàn)樾边呴L(zhǎng)相等，則射影相等，可知到頂點(diǎn)距離相等，因此為的外心，因?yàn)闉橹苯侨切危詾榈闹悬c(diǎn)。平面，則，所以。 答案c.（8）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)的取值范圍是(a） 解答：即則，題目等價(jià)于對(duì)任意的實(shí)數(shù) 恒成立，當(dāng)時(shí),不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，題目等價(jià)于對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,因?yàn)?而且0能取到，所以的最大值為0，因此. 答案a.（9）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 d 解答：設(shè),則，由均值不等式可得，,又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以?答案d。（10)給定圓及圓內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)是圓的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的中點(diǎn)的軌跡為 (a） 一個(gè)圓 一個(gè)橢圓 一段雙曲線 一段拋物線解答:如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)

5、圓的方程為,則,所以,因?yàn)椋?設(shè)，則化簡(jiǎn)得：，即，所以軌跡為一個(gè)圓. 答案a。（11）方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 解答：令,先研究的解的個(gè)數(shù),然后對(duì)于的每一個(gè)可能的取值，分別研究的解的個(gè)數(shù).將未知問(wèn)題(三元）轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題(二元）去解決。具體來(lái)說(shuō)：的非負(fù)整數(shù)解有組,其中，組數(shù)所以,總組數(shù)。 答案。（12）設(shè)整數(shù)滿足且對(duì)任意整數(shù),是24的倍數(shù)，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為 解答：令，易得，所以可能的取值有種；下面分析即可;令，易得；令，易得；因此，設(shè)，其中，更進(jìn)一步討論，有:，即，因?yàn)槠鏀?shù)的平方模余，偶數(shù)的平方模余,所以只需，即可滿足題意;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),;因此總共有種情況. 答

6、案.（13)設(shè)是三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最大值 解答：積化和差:取等條件顯然能取到,從而選。 答案.(14）設(shè)則 解答: ； ；所以 ，答案。（15）設(shè)是的排列，且滿足,則這種排列的個(gè)數(shù)是 解答：首先若(）滿足題意,則（）也滿足題意,所以答案一定是偶數(shù)；由題意，,所以（或?qū)Q），此時(shí)有：，所以為奇數(shù)，下面分類討論：若，有，矛盾;若,則,從而;若，則，此時(shí)對(duì)應(yīng)兩種情況；若，則，此時(shí)無(wú)解；其它情況無(wú)解；綜上，滿足題意的排列有種. 答案.（16）設(shè)，對(duì)于有序數(shù)組,記為中所包含的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，當(dāng)取遍所有的個(gè)有序數(shù)組時(shí)，的平均值為 解答：首先的取值有4種情況。當(dāng)時(shí)，說(shuō)明的取值各不相同,因?yàn)?所以共

7、有種不同情況；當(dāng)時(shí),說(shuō)明取3個(gè)不同的數(shù)值，先把對(duì)分成三組，任取兩個(gè)字母為一組,剩余兩個(gè)字母各自一組,共有種，然后再?gòu)娜稳∪齻€(gè)數(shù)字有種，所以共有種不同情況；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明取2個(gè)不同的數(shù)值，第一種情況:有3個(gè)字母取值相同，根據(jù)上述分析有種不同情況；第二種情況：分別有2個(gè)字母取值相同，根據(jù)上述分析有種不同情況；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明僅取1個(gè)數(shù)值,所以有種不同情況；所以的平均值為.答案c.（17）設(shè)，則的體積為 解答：由題知在空間直角坐標(biāo)系中,幾何體在第一象限,且與軸的交點(diǎn)分別為,因?yàn)?，所以幾何體的體積為.答案d.（18)已知在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 解答：二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)充要條件是在直角坐標(biāo)系中

8、，畫出上述區(qū)域所求，對(duì)于拋物線，與縱軸的交點(diǎn)在點(diǎn)之間， 因?yàn)檫吔绮荒苋〉?所以解得。 答案b。（19）在中,為上的點(diǎn)，且,設(shè)則 解答:為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn),如圖所示,故,d正確。 答案d。（20)一根直細(xì)桿放在數(shù)軸上占用的范圍是區(qū)間,若該細(xì)桿的質(zhì)量線密度為,則其質(zhì)量為 解答: ，記則質(zhì)量等于 答案b。（21）設(shè)函數(shù)，則有兩個(gè)極大值點(diǎn) 有兩個(gè)極小值點(diǎn) 的極大值點(diǎn) 的極小值點(diǎn)解答：直接求導(dǎo)數(shù)，得到 由導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)由3個(gè)極值點(diǎn),并且 綜上可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，,是函數(shù)的極小值點(diǎn)；答案bc。（22)一道四選項(xiàng)的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個(gè)選項(xiàng)，且選的恰好各不相同.趙說(shuō):我選的是；錢說(shuō):我選的是之

9、一；孫說(shuō)：我選的是；李說(shuō)：我選的是.已知四人中只有一人說(shuō)了假話，則說(shuō)假話的人可能是趙 錢 孫 李解答：假設(shè)趙說(shuō)了假話，則錢孫李說(shuō)的真話，錢孫李分別選了b，c，d,因?yàn)檫x的恰不相同，推出趙選a,即趙沒(méi)說(shuō)假話，矛盾。假設(shè)錢說(shuō)了假話，則錢選的是a,而趙選a說(shuō)的是真話，也矛盾；假設(shè)孫說(shuō)了假話，則趙錢李說(shuō)的是真話,一種可能是孫選的是b，錢選的是c，沒(méi)有矛盾。同理，假設(shè)李說(shuō)了假話，則趙錢孫說(shuō)了真話，一種可能性是李選了b，錢選了d，也沒(méi)有矛盾。綜上,答案是cd.(23）某人投100次籃球，設(shè)投完前次籃球時(shí)的命中率為.已知?jiǎng)t存在，使得 解答：ad。(24)設(shè)為兩個(gè)單位向量，是實(shí)數(shù)，若,則的最大值為1 的最大值

10、為 的最大值為 的最大值為 解答：； ，從而最大值是，取到極大值時(shí);從而的最大值為，取到極大值時(shí); 答案：bd(25）設(shè)復(fù)數(shù)滿足:，則的的最小值為 的最小值為 的最大值為 的最大值為 解答：由題可設(shè)， , 把兩邊平方得把式代入上式，有所以 因?yàn)?，所?所以且由的任意性可知，均能取到. 答案bd.（26）已知橢圓,直線與橢圓交于兩點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，則橢圓上滿足的點(diǎn)恰有2個(gè)橢圓上滿足的點(diǎn)恰有4個(gè)軸上滿足 的點(diǎn)恰好有2個(gè)軸上滿足 的點(diǎn)恰好有4個(gè)解答：橢圓，求得，設(shè)直線，因?yàn)樗?點(diǎn)處切線斜率），易得，聯(lián)立與橢圓方程，化簡(jiǎn)得： 由韋達(dá)定理，得，再求得故利用兩點(diǎn)式,可得直線

11、方程：與直線聯(lián)立，求得因此需滿足，顯然橢圓上有4個(gè)點(diǎn)滿足此要求。欲滿足，即滿足，即,也即，軸上滿足此要求的點(diǎn)恰好有2個(gè)綜上，選bc. 答案bc。（27）已知為橢圓的左焦點(diǎn),設(shè)是橢圓的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則 的面積為定值 的周長(zhǎng)為定值解答:，離心率,右準(zhǔn)線，橢圓的右焦點(diǎn)為,由圓錐曲線的切線性質(zhì)（切線方程）,若是橢圓上的點(diǎn),是橢圓右準(zhǔn)線上點(diǎn),且是橢圓切線，則有成立,同理,即共線，為焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)弦最短為通徑，故，b正確，a錯(cuò)誤，對(duì)來(lái)說(shuō)，三角形的周長(zhǎng)為，為定值，d正確；顯然不是定值,故三角形面積不是定值,c錯(cuò)誤. 答案bd.（28)設(shè)滿足,則點(diǎn)只有有限個(gè) 有無(wú)限個(gè) 位于同一條

12、直線上 位于同一條拋物線上 解答：將進(jìn)行代數(shù)變形,有令函數(shù)，易證是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增。因?yàn)橛墒瞧婧瘮?shù)，由單調(diào)遞增，得。 答案c。（29)設(shè)函數(shù)是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值不唯一 的值唯一 的值不唯一 的值唯一 解答：根據(jù)題意（），又在區(qū)間上單調(diào)，有，因此或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí), 答案ac.（30）已知為隨機(jī)變量，則 解答：（a）,正確；(b)，正確；（c)，相等，正確；（d）反例：時(shí)，答案abc.(31）已知實(shí)數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒有，則 解答： 令，有，線性規(guī)劃如圖所示：c選項(xiàng)反例： 答案abd.(32）設(shè)均為正數(shù)，且，則中小于1的數(shù)最多只有一個(gè) 小于2的數(shù)最多只

13、有兩個(gè) 解答：（a）若,則，矛盾，故選項(xiàng)正確；（b)若,則,不矛盾，例如取，（），故選項(xiàng)錯(cuò)誤；（c)若（),則，求和后與條件矛盾，故選項(xiàng)正確；（d)反例，取（） 答案ac。(33)數(shù)列中，a一定是等比數(shù)列b當(dāng)，時(shí)c當(dāng)各項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，d當(dāng)存在正整數(shù)使得時(shí)，解答： 數(shù)列可以為零數(shù)列，a選項(xiàng)不正確;于是所以,遞推有將代入得可寫為于是同理時(shí)，上述各式也成立將，代入，得，所以代入中得，故b選項(xiàng)正確當(dāng)各項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，假設(shè)不全相等，（i）若最小,則現(xiàn)取當(dāng)時(shí)，故總有充分大的,當(dāng)時(shí),這與題設(shè)矛盾（ii）若不是最小數(shù),則從而現(xiàn)取當(dāng)時(shí)，故總有充分大的，當(dāng)時(shí)，這與題設(shè)矛盾所以當(dāng)各項(xiàng)為正數(shù)時(shí),，故c選項(xiàng)正確當(dāng)存在正整數(shù)使得時(shí)，易得，故d選項(xiàng)正確.答案bcd。(34）設(shè)若則 解答:假設(shè),則，從而，矛盾，因此假設(shè),則，