201x-201x學(xué)年高考數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系新人教A版必修2

1、第二章2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系. 2.理解兩異面直線的定義，會(huì)求兩異面直線所成的角. 3.能用公理4解決一些簡單的相關(guān)問題,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一空間中兩條直線的位置關(guān)系 1.異面直線 (1)定義： 任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線. 要點(diǎn)分析：異面直線的定義表明：異面直線不具備確定平面的條件.異面直線既不相交，也不平行. 不能誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面 直線.如圖中，雖然有a，b，即a，b分別在兩 個(gè)不同

2、的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍bO，所以a與b不 是異面直線,答案,不同在,2)畫法：畫異面直線時(shí)，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點(diǎn)，常常需要畫一個(gè)或兩個(gè)輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性、立體感.如圖所示，a與b為異面直線,3)判斷方法,2.空間中兩條直線位置關(guān)系的分類 (1)按兩條直線是否共面分類,答案,沒有,有且只有一個(gè),沒有,2)按兩條直線是否有公共點(diǎn)分類,思考(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎,答案,答不一定.可能相交、平行或異面,2)兩條垂直的直線必相交嗎,答不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直,知識(shí)點(diǎn)二公理4(平行公理,答案,ab,同一條直線,知識(shí)點(diǎn)三空間等角定

3、理 1.定理,答案,互補(bǔ),相等,答案,2.推廣 如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. 思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎,答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面,答案,知識(shí)點(diǎn)四異面直線所成的角 1.概念：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，我們把a(bǔ)與b所成的 (或 )叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 2.異面直線所成的角的取值范圍： . 3.如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相 . 兩條互相垂直的異面直線a，b，記作,ab,銳角,直角,090,垂直,4.異面直線所成的角的兩種求法

4、 (1)在空間任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作aa，bb，則a與b所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角，然后通過解三角形等方法求角,返回,2)在其中一條直線上任取一點(diǎn)(如在b上任取一點(diǎn))O，過點(diǎn)O作另一條直線的平行線(如過點(diǎn)O作aa)，則兩條直線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與a所成的角)，然后通過解三角形等方法求角(如圖,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一空間兩條直線的位置關(guān)系的判定 例1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是() A.平行 B.異面 C.相交 D.平行、相交或異面,解析答案,解析可借助長方體來判斷. 如圖，在長方體ABCDABCD中，AD所在直

5、線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線， 則c可以是長方體ABCDABCD中的BC，CC，DD. 故a和c可以平行、相交或異面,D,反思與感悟,反思與感悟,1.判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷. 2.判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法，由于使用定義判斷不方便，故常用排除法，即說明這兩條直線不平行、不相交，則它們異面,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系： (1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_； (2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_； (3)直線D1D與直

6、線D1C的位置關(guān)系是_； (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_,解析,答案(1)平行 (2)異面 (2)相交 (4)異面,解析答案,題型二公理4、等角定理的應(yīng)用 例2E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形,反思與感悟,反思與感悟,證明設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ，QC1. 因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以EQ綊A1D1. 又因?yàn)樵诰匦蜛1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， 所以EQ綊B1C1. 所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以B1E綊C1Q. 又因?yàn)镼，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D，C1C的中點(diǎn)，所以QD綊C1F.

7、所以四邊形DQC1F為平行四邊形. 所以C1Q綊FD. 又因?yàn)锽1E綊C1Q，所以B1E綊FD. 所以四邊形B1EDF為平行四邊形,反思與感悟,1.空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行. 2.求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面,證明在ABD中， E，H

8、分別是AB，AD的中點(diǎn)， EHBD. 同理FGBD，則EHFG. 故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面,解析答案,2)若四邊形EFGH是矩形，求證：ACBD,證明由(1)知EHBD，同理ACGH. 又四邊形EFGH是矩形， EHGH. 故ACBD,題型三異面直線所成的角 例3如圖所示，在空間四邊形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角,解析答案,反思與感悟,解如圖，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，ABCD， 所以EGCD，GFAB,反思與感悟,所以GFE就是EF與AB所成的角或其補(bǔ)角，EGGF. 因?yàn)锳BCD， 所以EGGF.

9、 所以EGF90. 所以EFG為等腰直角三角形. 所以GFE45，即EF與AB所成的角為45,反思與感悟,1.異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時(shí)，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn). 2.求異面直線所成的角的一般步驟為： (1)作角：平移成相交直線. (2)證明：用定義證明前一步的角為所求. (3)計(jì)算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小,解取AC的中

10、點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G,故直線GE，EF所成的銳角即為AB與EF所成的角， 直線GE，GF所成的銳角即為AB與CD所成的角. AB與CD所成的角為30， EGF30或150. 由ABCD，知EGFG， EFG為等腰三角形. 當(dāng)EGF30時(shí)，GEF75； 當(dāng)EGF150時(shí)，GEF15. 故EF與AB所成的角為15或75,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)學(xué)思想,例5在空間四邊形ABCD中，ADBC2a，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF a，求異面直線AD，BC所成的角,解析答案,解后反思,分析要求異面直線AD，BC所成的角，可在空間中找一些特殊點(diǎn)，將AD，BC平移至一個(gè)三角形中.此題已知E，F(xiàn)分別為AB，CD的

11、中點(diǎn)，故可尋找一邊中點(diǎn)，如BD的中點(diǎn)M，則EMF(或其補(bǔ)角)為所求角. 解如圖，取BD的中點(diǎn)M. 由題意，知EM為BAD的中位線,解析答案,解后反思,所以EMa，MFa，且EMF(或其補(bǔ)角)為所求角. 在等腰MEF中，取EF的中點(diǎn)N， 連接MN，則MNEF,解后反思,所以EMN60，所以EMF2EMN120. 因?yàn)镋MF12090， 所以AD，BC所成的角為EMF的補(bǔ)角， 即AD和BC所成的角為60,解后反思,在求異面直線所成的角的過程中要注意： (1)通常將空間中的兩條異面直線通過平移的方法，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解； (2)要特別注意平移所得的角可能是異面直線所成

12、的角的補(bǔ)角，這是由異面 直線所成角的范圍是 決定的,反證法的合理應(yīng)用,解題技巧,例6如圖，三棱錐PABC中，E是PC上異于點(diǎn)P的點(diǎn).求證：AE與PB是異面直線,解析答案,解后反思,返回,解后反思,分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個(gè)平面內(nèi)中的“任何”開始入手，一個(gè)平面一個(gè)平面地尋找是不可能實(shí)現(xiàn)的，因此必須找到一個(gè)間接證法來證明，反證法即是一種行之有效的方法. 證明假設(shè)AE與PB不是異面直線， 設(shè)AE與PB都在平面內(nèi)， 因?yàn)镻，E，所以PE. 又因?yàn)镃PE，所以C. 所以點(diǎn)P，A，B，C都在平面內(nèi). 這與P，A，B，C不共面(PABC是三棱錐)矛盾. 于是假設(shè)不成立，所以AE與PB是異面直線

13、,解后反思,反證法屬于一種間接證明問題的方法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，再從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法.用反證法證明一個(gè)命題的過程，大體上分為三步：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)下結(jié)論,返回,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.若空間兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是() A.共面 B.平行 C.異面 D.平行或異面,D,解析若直線a和b共面，則由題意可知ab； 若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線,解析答案,2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是() A.平行或異面 B.

14、相交或異面 C.異面 D.相交,B,1,2,3,4,5,解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1BB1，AA1DD1，顯然BB1BCB，DD1與BC是異面直線，故選B,1,2,3,4,5,解析答案,3.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與l成30角的異面直線() A.有無數(shù)條 B.有兩條 C.至多有兩條 D.有一條,解析我們現(xiàn)在研究的平臺(tái)是錐空間. 如圖所示，過點(diǎn)P作直線ll，以l為軸，與l成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角,A,解析答案,4.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_.(填序號(hào),1,2,3,4,5,解析中，G，M是中點(diǎn)，AG綊BM，GM綊AB綊HN， GHMN，即G，H，M，N四點(diǎn)共面； 中，H，G，N三點(diǎn)共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi)， H，G，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面,1,2,3,4,5,即GMNH是梯形，則HG，MN必相交， H，G，M，N四點(diǎn)共面； 中，同，G，H，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面. 答案,解析答案,5.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與A1B1 所成角的余弦值為_,1,2,3,4,5,解析設(shè)棱