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文檔簡(jiǎn)介
1、第二章2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系. 2.理解兩異面直線的定義,會(huì)求兩異面直線所成的角. 3.能用公理4解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問題,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一空間中兩條直線的位置關(guān)系 1.異面直線 (1)定義: 任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線. 要點(diǎn)分析:異面直線的定義表明:異面直線不具備確定平面的條件.異面直線既不相交,也不平行. 不能誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面 直線.如圖中,雖然有a,b,即a,b分別在兩 個(gè)不同
2、的平面內(nèi),但是因?yàn)閍bO,所以a與b不 是異面直線,答案,不同在,2)畫法:畫異面直線時(shí),為了充分顯示出它們既不平行也不相交,即不共面的特點(diǎn),常常需要畫一個(gè)或兩個(gè)輔助平面作為襯托,以加強(qiáng)直觀性、立體感.如圖所示,a與b為異面直線,3)判斷方法,2.空間中兩條直線位置關(guān)系的分類 (1)按兩條直線是否共面分類,答案,沒有,有且只有一個(gè),沒有,2)按兩條直線是否有公共點(diǎn)分類,思考(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎,答案,答不一定.可能相交、平行或異面,2)兩條垂直的直線必相交嗎,答不一定.可能相交垂直,也可能異面垂直,知識(shí)點(diǎn)二公理4(平行公理,答案,ab,同一條直線,知識(shí)點(diǎn)三空間等角定
3、理 1.定理,答案,互補(bǔ),相等,答案,2.推廣 如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. 思考如果兩條直線和第三條直線成等角,那么這兩條直線平行嗎,答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面,答案,知識(shí)點(diǎn)四異面直線所成的角 1.概念:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,我們把a(bǔ)與b所成的 (或 )叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 2.異面直線所成的角的取值范圍: . 3.如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相 . 兩條互相垂直的異面直線a,b,記作,ab,銳角,直角,090,垂直,4.異面直線所成的角的兩種求法
4、 (1)在空間任取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O分別作aa,bb,則a與b所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角,然后通過解三角形等方法求角,返回,2)在其中一條直線上任取一點(diǎn)(如在b上任取一點(diǎn))O,過點(diǎn)O作另一條直線的平行線(如過點(diǎn)O作aa),則兩條直線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與a所成的角),然后通過解三角形等方法求角(如圖,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一空間兩條直線的位置關(guān)系的判定 例1若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關(guān)系是() A.平行 B.異面 C.相交 D.平行、相交或異面,解析答案,解析可借助長方體來判斷. 如圖,在長方體ABCDABCD中,AD所在直
5、線為a,AB所在直線為b,已知a和b是異面直線,b和c是異面直線, 則c可以是長方體ABCDABCD中的BC,CC,DD. 故a和c可以平行、相交或異面,D,反思與感悟,反思與感悟,1.判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷,而兩條直線平行也可以用公理4判斷. 2.判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法,由于使用定義判斷不方便,故常用排除法,即說明這兩條直線不平行、不相交,則它們異面,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系: (1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_; (2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_; (3)直線D1D與直
6、線D1C的位置關(guān)系是_; (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_,解析,答案(1)平行 (2)異面 (2)相交 (4)異面,解析答案,題型二公理4、等角定理的應(yīng)用 例2E,F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A,C1C的中點(diǎn),求證:四邊形B1EDF是平行四邊形,反思與感悟,反思與感悟,證明設(shè)Q是DD1的中點(diǎn),連接EQ,QC1. 因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn),所以EQ綊A1D1. 又因?yàn)樵诰匦蜛1B1C1D1中,A1D1綊B1C1, 所以EQ綊B1C1. 所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以B1E綊C1Q. 又因?yàn)镼,F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D,C1C的中點(diǎn),所以QD綊C1F.
7、所以四邊形DQC1F為平行四邊形. 所以C1Q綊FD. 又因?yàn)锽1E綊C1Q,所以B1E綊FD. 所以四邊形B1EDF為平行四邊形,反思與感悟,1.空間兩條直線平行的證明:一是定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn);二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì),如三角形中位線,梯形,平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì);三是利用公理4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行. 2.求證角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖,已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn). (1)求證:E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面,證明在ABD中, E,H
8、分別是AB,AD的中點(diǎn), EHBD. 同理FGBD,則EHFG. 故E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面,解析答案,2)若四邊形EFGH是矩形,求證:ACBD,證明由(1)知EHBD,同理ACGH. 又四邊形EFGH是矩形, EHGH. 故ACBD,題型三異面直線所成的角 例3如圖所示,在空間四邊形ABCD中,ABCD,ABCD,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF和AB所成的角,解析答案,反思與感悟,解如圖,取BD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G. 因?yàn)镋,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),ABCD, 所以EGCD,GFAB,反思與感悟,所以GFE就是EF與AB所成的角或其補(bǔ)角,EGGF. 因?yàn)锳BCD, 所以EGGF.
9、 所以EGF90. 所以EFG為等腰直角三角形. 所以GFE45,即EF與AB所成的角為45,反思與感悟,1.異面直線一般依附于某幾何體,所以在求異面直線所成的角時(shí),首先將異面直線平移成相交直線,而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn). 2.求異面直線所成的角的一般步驟為: (1)作角:平移成相交直線. (2)證明:用定義證明前一步的角為所求. (3)計(jì)算:在三角形中求角的大小,但要注意異面直線所成的角的范圍,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3空間四邊形ABCD中,ABCD且AB與CD所成的角為30,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小,解取AC的中
10、點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,故直線GE,EF所成的銳角即為AB與EF所成的角, 直線GE,GF所成的銳角即為AB與CD所成的角. AB與CD所成的角為30, EGF30或150. 由ABCD,知EGFG, EFG為等腰三角形. 當(dāng)EGF30時(shí),GEF75; 當(dāng)EGF150時(shí),GEF15. 故EF與AB所成的角為15或75,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)學(xué)思想,例5在空間四邊形ABCD中,ADBC2a,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),EF a,求異面直線AD,BC所成的角,解析答案,解后反思,分析要求異面直線AD,BC所成的角,可在空間中找一些特殊點(diǎn),將AD,BC平移至一個(gè)三角形中.此題已知E,F(xiàn)分別為AB,CD的
11、中點(diǎn),故可尋找一邊中點(diǎn),如BD的中點(diǎn)M,則EMF(或其補(bǔ)角)為所求角. 解如圖,取BD的中點(diǎn)M. 由題意,知EM為BAD的中位線,解析答案,解后反思,所以EMa,MFa,且EMF(或其補(bǔ)角)為所求角. 在等腰MEF中,取EF的中點(diǎn)N, 連接MN,則MNEF,解后反思,所以EMN60,所以EMF2EMN120. 因?yàn)镋MF12090, 所以AD,BC所成的角為EMF的補(bǔ)角, 即AD和BC所成的角為60,解后反思,在求異面直線所成的角的過程中要注意: (1)通常將空間中的兩條異面直線通過平移的方法,轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解; (2)要特別注意平移所得的角可能是異面直線所成
12、的角的補(bǔ)角,這是由異面 直線所成角的范圍是 決定的,反證法的合理應(yīng)用,解題技巧,例6如圖,三棱錐PABC中,E是PC上異于點(diǎn)P的點(diǎn).求證:AE與PB是異面直線,解析答案,解后反思,返回,解后反思,分析利用定義直接證明,即從不同在任何一個(gè)平面內(nèi)中的“任何”開始入手,一個(gè)平面一個(gè)平面地尋找是不可能實(shí)現(xiàn)的,因此必須找到一個(gè)間接證法來證明,反證法即是一種行之有效的方法. 證明假設(shè)AE與PB不是異面直線, 設(shè)AE與PB都在平面內(nèi), 因?yàn)镻,E,所以PE. 又因?yàn)镃PE,所以C. 所以點(diǎn)P,A,B,C都在平面內(nèi). 這與P,A,B,C不共面(PABC是三棱錐)矛盾. 于是假設(shè)不成立,所以AE與PB是異面直線
13、,解后反思,反證法屬于一種間接證明問題的方法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),再從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法.用反證法證明一個(gè)命題的過程,大體上分為三步:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)下結(jié)論,返回,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.若空間兩條直線a和b沒有公共點(diǎn),則a與b的位置關(guān)系是() A.共面 B.平行 C.異面 D.平行或異面,D,解析若直線a和b共面,則由題意可知ab; 若a和b不共面,則由題意可知a與b是異面直線,解析答案,2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是() A.平行或異面 B.
14、相交或異面 C.異面 D.相交,B,1,2,3,4,5,解析如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線,又AA1BB1,AA1DD1,顯然BB1BCB,DD1與BC是異面直線,故選B,1,2,3,4,5,解析答案,3.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30角的異面直線() A.有無數(shù)條 B.有兩條 C.至多有兩條 D.有一條,解析我們現(xiàn)在研究的平臺(tái)是錐空間. 如圖所示,過點(diǎn)P作直線ll,以l為軸,與l成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角,A,解析答案,4.如圖所示,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有_.(填序號(hào),1,2,3,4,5,解析中,G,M是中點(diǎn),AG綊BM,GM綊AB綊HN, GHMN,即G,H,M,N四點(diǎn)共面; 中,H,G,N三點(diǎn)共面,且都在平面HGN內(nèi),而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi), H,G,M,N四點(diǎn)不共面,即GH與MN異面,1,2,3,4,5,即GMNH是梯形,則HG,MN必相交, H,G,M,N四點(diǎn)共面; 中,同,G,H,M,N四點(diǎn)不共面,即GH與MN異面. 答案,解析答案,5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為C1D1的中點(diǎn),則異面直線AE與A1B1 所成角的余弦值為_,1,2,3,4,5,解析設(shè)棱
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