201x-201x學年高考數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系新人教A版必修2

1、第二章2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,學習目標,1.會判斷空間兩直線的位置關(guān)系. 2.理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角. 3.能用公理4解決一些簡單的相關(guān)問題,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識梳理 自主學習,知識點一空間中兩條直線的位置關(guān)系 1.異面直線 (1)定義： 任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線. 要點分析：異面直線的定義表明：異面直線不具備確定平面的條件.異面直線既不相交，也不平行. 不能誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面 直線.如圖中，雖然有a，b，即a，b分別在兩 個不同

2、的平面內(nèi)，但是因為abO，所以a與b不 是異面直線,答案,不同在,2)畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點，常常需要畫一個或兩個輔助平面作為襯托，以加強直觀性、立體感.如圖所示，a與b為異面直線,3)判斷方法,2.空間中兩條直線位置關(guān)系的分類 (1)按兩條直線是否共面分類,答案,沒有,有且只有一個,沒有,2)按兩條直線是否有公共點分類,思考(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎,答案,答不一定.可能相交、平行或異面,2)兩條垂直的直線必相交嗎,答不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直,知識點二公理4(平行公理,答案,ab,同一條直線,知識點三空間等角定

3、理 1.定理,答案,互補,相等,答案,2.推廣 如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等. 思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎,答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面,答案,知識點四異面直線所成的角 1.概念：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，我們把a與b所成的 (或 )叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 2.異面直線所成的角的取值范圍： . 3.如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相 . 兩條互相垂直的異面直線a，b，記作,ab,銳角,直角,090,垂直,4.異面直線所成的角的兩種求法

4、 (1)在空間任取一點O，過點O分別作aa，bb，則a與b所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角，然后通過解三角形等方法求角,返回,2)在其中一條直線上任取一點(如在b上任取一點)O，過點O作另一條直線的平行線(如過點O作aa)，則兩條直線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與a所成的角)，然后通過解三角形等方法求角(如圖,題型探究 重點突破,題型一空間兩條直線的位置關(guān)系的判定 例1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是() A.平行 B.異面 C.相交 D.平行、相交或異面,解析答案,解析可借助長方體來判斷. 如圖，在長方體ABCDABCD中，AD所在直

5、線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線， 則c可以是長方體ABCDABCD中的BC，CC，DD. 故a和c可以平行、相交或異面,D,反思與感悟,反思與感悟,1.判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷. 2.判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法，由于使用定義判斷不方便，故常用排除法，即說明這兩條直線不平行、不相交，則它們異面,解析答案,跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系： (1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_； (2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_； (3)直線D1D與直

6、線D1C的位置關(guān)系是_； (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_,解析,答案(1)平行 (2)異面 (2)相交 (4)異面,解析答案,題型二公理4、等角定理的應用 例2E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形,反思與感悟,反思與感悟,證明設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1. 因為E是AA1的中點，所以EQ綊A1D1. 又因為在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， 所以EQ綊B1C1. 所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以B1E綊C1Q. 又因為Q，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D，C1C的中點，所以QD綊C1F.

7、所以四邊形DQC1F為平行四邊形. 所以C1Q綊FD. 又因為B1E綊C1Q，所以B1E綊FD. 所以四邊形B1EDF為平行四邊形,反思與感悟,1.空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行. 2.求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似,解析答案,跟蹤訓練2 如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面,證明在ABD中， E，H

8、分別是AB，AD的中點， EHBD. 同理FGBD，則EHFG. 故E，F(xiàn)，G，H四點共面,解析答案,2)若四邊形EFGH是矩形，求證：ACBD,證明由(1)知EHBD，同理ACGH. 又四邊形EFGH是矩形， EHGH. 故ACBD,題型三異面直線所成的角 例3如圖所示，在空間四邊形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF和AB所成的角,解析答案,反思與感悟,解如圖，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G. 因為E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，ABCD， 所以EGCD，GFAB,反思與感悟,所以GFE就是EF與AB所成的角或其補角，EGGF. 因為ABCD， 所以EGGF.

9、 所以EGF90. 所以EFG為等腰直角三角形. 所以GFE45，即EF與AB所成的角為45,反思與感悟,1.異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點O常選取兩異面直線中其中一個線段的端點或中點或幾何體中的某個特殊點. 2.求異面直線所成的角的一般步驟為： (1)作角：平移成相交直線. (2)證明：用定義證明前一步的角為所求. (3)計算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍,解析答案,跟蹤訓練3空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小,解取AC的中

10、點G，連接EG，F(xiàn)G,故直線GE，EF所成的銳角即為AB與EF所成的角， 直線GE，GF所成的銳角即為AB與CD所成的角. AB與CD所成的角為30， EGF30或150. 由ABCD，知EGFG， EFG為等腰三角形. 當EGF30時，GEF75； 當EGF150時，GEF15. 故EF與AB所成的角為15或75,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)學思想,例5在空間四邊形ABCD中，ADBC2a，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF a，求異面直線AD，BC所成的角,解析答案,解后反思,分析要求異面直線AD，BC所成的角，可在空間中找一些特殊點，將AD，BC平移至一個三角形中.此題已知E，F(xiàn)分別為AB，CD的

11、中點，故可尋找一邊中點，如BD的中點M，則EMF(或其補角)為所求角. 解如圖，取BD的中點M. 由題意，知EM為BAD的中位線,解析答案,解后反思,所以EMa，MFa，且EMF(或其補角)為所求角. 在等腰MEF中，取EF的中點N， 連接MN，則MNEF,解后反思,所以EMN60，所以EMF2EMN120. 因為EMF12090， 所以AD，BC所成的角為EMF的補角， 即AD和BC所成的角為60,解后反思,在求異面直線所成的角的過程中要注意： (1)通常將空間中的兩條異面直線通過平移的方法，轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解； (2)要特別注意平移所得的角可能是異面直線所成

12、的角的補角，這是由異面 直線所成角的范圍是 決定的,反證法的合理應用,解題技巧,例6如圖，三棱錐PABC中，E是PC上異于點P的點.求證：AE與PB是異面直線,解析答案,解后反思,返回,解后反思,分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個平面內(nèi)中的“任何”開始入手，一個平面一個平面地尋找是不可能實現(xiàn)的，因此必須找到一個間接證法來證明，反證法即是一種行之有效的方法. 證明假設(shè)AE與PB不是異面直線， 設(shè)AE與PB都在平面內(nèi)， 因為P，E，所以PE. 又因為CPE，所以C. 所以點P，A，B，C都在平面內(nèi). 這與P，A，B，C不共面(PABC是三棱錐)矛盾. 于是假設(shè)不成立，所以AE與PB是異面直線

13、,解后反思,反證法屬于一種間接證明問題的方法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，再從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法.用反證法證明一個命題的過程，大體上分為三步：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)下結(jié)論,返回,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是() A.共面 B.平行 C.異面 D.平行或異面,D,解析若直線a和b共面，則由題意可知ab； 若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線,解析答案,2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是() A.平行或異面 B.

14、相交或異面 C.異面 D.相交,B,1,2,3,4,5,解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1BB1，AA1DD1，顯然BB1BCB，DD1與BC是異面直線，故選B,1,2,3,4,5,解析答案,3.設(shè)P是直線l外一定點，過點P且與l成30角的異面直線() A.有無數(shù)條 B.有兩條 C.至多有兩條 D.有一條,解析我們現(xiàn)在研究的平臺是錐空間. 如圖所示，過點P作直線ll，以l為軸，與l成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角,A,解析答案,4.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_.(填序號,1,2,3,4,5,解析中，G，M是中點，AG綊BM，GM綊AB綊HN， GHMN，即G，H，M，N四點共面； 中，H，G，N三點共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點M顯然不在平面HGN內(nèi)， H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面,1,2,3,4,5,即GMNH是梯形，則HG，MN必相交， H，G，M，N四點共面； 中，同，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面. 答案,解析答案,5.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1 所成角的余弦值為_,1,2,3,4,5,解析設(shè)棱