知識講解 二項式定理(理)(提高)

1、. 二項式定理 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并掌握二項式定理，了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法 2會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，n）叫做二項式系數(shù)，2二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數(shù)：共有n+1項，比二項式的次數(shù)大1；(2)二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；(3)次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母a降

2、冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個常用的二項展開式：()要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是；字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；a與b的次數(shù)之和為n。 要點詮釋： （1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的 （2）通項是針對在(a+b)n這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(ab)n的二項展開式的通項是（只需把b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角和二

3、項展開式的推導(dǎo)。在我國南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。展開式中的二項式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,時,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表叫做二項式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù) 2.的展

4、開式中各項的二項式系數(shù)、具有如下性質(zhì)：對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即；增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大.各二項式系數(shù)之和為，即；二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即。要點詮釋：二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別二項展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等。如(ab)n的二項展開式的通項是，在這里對應(yīng)項的二項式系數(shù)都是，但項

5、的系數(shù)是，可以看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應(yīng)用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(shè)(1) 令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項式定理

6、證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。；（）如：求證：5.進(jìn)行近似計算：求數(shù)的次冪的近似值時，把底數(shù)化為最靠近它的那個整數(shù)加一個小數(shù)(或減一個小數(shù))的形式。當(dāng)充分小時，我們常用下列公式估計近似值：；如：求的近似值，使結(jié)果精確到0.01；【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)例1. 求的二項式的展開式 【思路點撥】 按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號【解

7、析】 （1）解法一： 解法二：?！究偨Y(jié)升華】 記準(zhǔn)、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件，對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷舉一反三：【變式】求的二項式的展開式【答案】先將原式化簡。再展開例2試求：（1）(x3)5的展開式中x5的系數(shù)；（2）(2x2)6的展開式中的常數(shù)項；【思路點撥】先根據(jù)已知條件求出二項式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式【解析】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數(shù)（2）Tr1(2x2)6-r(1)r26-r依題意123r0，解得r4故2260為所

8、求的常數(shù)項【總結(jié)升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關(guān)鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應(yīng)的是多少；2. 注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別；3. 在求解過程中要注意冪的運算公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。舉一反三：【變式1】求的展開式中的二項式系數(shù)及的系數(shù).【答案】，；通項，故展開式中的二項式系數(shù)為，的系數(shù)為.【變式2】求的展開式中的第4項.【答案】；?！咀兪?】（1）求的展開式常數(shù)項； （2）求的展開式的中間兩項【答案】，（1）當(dāng)時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項， 例3 求二項式的展開式中的有理項 【思路點撥】 展開式中第r+1項為，展開式中的有理項，就是通

9、項中x的指數(shù)為正整數(shù)的項【解析】 設(shè)二項式的通項為，令，即r=0，2，4，6，8時，。，。 二項式的展開式中的常數(shù)項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：【總結(jié)升華】 求有理項是對x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求舉一反三：【變式】如果在 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項?！敬鸢浮浚?）展開式中前三項的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設(shè)第r+1項為有理項，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項為。類型二、 二項式之積及三項式展開問題例4求的展開式中的系數(shù).【思路點撥】 將變形為，要使兩個因式

10、的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；也可以利用通項公式化簡解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬?，的通項公式（），分三類討論：（1）當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；（3）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；故展開式中的系數(shù)為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為。舉一反三：【變式1】求的展開式中的系數(shù).【答案】；的通項公式（），分二類討論：（1）當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；故展開

11、式中的系數(shù)為?！咀兪?】在(1x)5(1-x)4的展開式中，x3的系數(shù)為_【答案】 (1x)5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展開的通項為(-x2)r，故展開式中x3的系數(shù)為-4例5. 求(1+x+x2)8展開式中x5的系數(shù)【思路點撥】要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】 解法一：(1+x+x2)8=1+(x+x2)8，所以，則x5的系數(shù)由(x+x2)r來決定，令r+k=5，解得或或。含x5的系數(shù)為。解法二： ，則展開式中含x5的系數(shù)為。 解

12、法三：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2)（共8個），這8個因式中乘積展開式中形成x5的來源有三： （1）有2個括號各出1個x2，其余6個括號恰有1個括號出1個x，這種方式共有種； （2）有1個括號出1個x2，其余7個括號中恰有3個括號各出1個x，共有種；（3）沒有1個括號出x2，恰有5個括號各給出1個x，共有種所以x5的系數(shù)是【總結(jié)升華】 高考題中，常出現(xiàn)三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或?qū)⑷検睫D(zhuǎn)化為二項式舉一反三：【變式1】的展開式中的常數(shù)項.【答案】 = 所求展開式中的常數(shù)項是-20【變式2】在(1+x+px2)10的

13、展開式中，試求使x4的系數(shù)為最小值時p的值【答案】由通項，又(1+px)r的通項為。而m+r=4，且0mr10。，或，或。x4的系數(shù)為。僅當(dāng)p=4時，x4的系數(shù)為最小。類型三：有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題例6. （1）求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大的項；（2）求(12x)7展開式中系數(shù)最大的項。【思路點撥】 利用展開式的通項，得到系數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值?！窘馕觥?（1）設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有即，解得，即，r=5。系數(shù)最大的項為。（2）展開式共有8項，系數(shù)最大的項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得。又因(12x)7括號內(nèi)的兩項中后項系數(shù)絕對值大于前項系數(shù)絕對值，故系數(shù)最

14、大的項必在中間或偏右，故只需要比較T5和T7兩項系數(shù)大小即可，所以系數(shù)最大的項是第五項，?！究偨Y(jié)升華】求展開式中系數(shù)最大的項，一般是解一個不等式組。舉一反三：【變式】設(shè)展開式的第10項系數(shù)最大，求n. 【答案】展開式的通項為第10項系數(shù)最大，又n=13或n=14【變式2】 已知的展開式中第五、六、七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項?！敬鸢浮?因為，所以。即n221n+98=0，解得n=14或7。當(dāng)n=14時，第8項的二項式系數(shù)最大，。當(dāng)n=7時，第4項與第5項的二項式系數(shù)最大，。類型四、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。例7. 已知(12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7

15、，求：（1）a1+a2+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|?！舅悸伏c撥】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法【解析】 令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令x=1，則a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，（1）因為a0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+a7=2。（2）由（）2得。（3）由（+）2得。（4）方法一：因為(12x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6

16、)(a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x)7展開式中各項的系數(shù)和，所以|a0|+|a1|+|a7|=37=2187。【總結(jié)升華】 求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法?！百x值法”是解決二項式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值。一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x=0可得常數(shù)項，令x=1可得所有項系數(shù)之和，令x=1可得偶次項系數(shù)之和與奇次數(shù)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項展開式中含負(fù)值時，令x=1則可得各項系數(shù)絕對值之和。舉一反三：【變式1】已知，求：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）當(dāng)時，展開式右邊為，當(dāng)時，（2）令， 令， 得：， .（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，由（2）中+ 得：， ， 舉一反三：【變式1】求值：.【答案】【變式2】設(shè)，當(dāng)時，求的值【答案】令得：，類型四、 二項式定理的綜合運用例8.求證：（）能被64整除.【思路點撥】可將化成再進(jìn)行展開,化簡即可證得.【解析】故（）能被64整除?！究偨Y(jié)升華】利用二項式定理進(jìn)行證明,需要多項式展開后的各項盡量多的含有的式子.舉一反三：【變式1】求證能被10整除【答案】故能被10整除。例9：當(dāng)且1，求證【解析】 從而【總結(jié)升華】 用二項式定理證明不等式時，根據(jù)n的最小值，確定展開的最少項，然后分析具體情況確定其中有多少項即