2018版高中數(shù)學第三章三角恒等變換章末復習課學案蘇教版必修4

1、第三章 三角恒等變換學習目標 1. 進一步掌握三角恒等變換的方法 .2. 會運用正弦、余弦、正切的兩角和與差公式與二倍角公式對三角函數(shù)式進行化簡、求值和證明1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos( ) _.cos( ) _.sin( ) _.sin( ) _.tan( ) _.tan( ) _.2二倍角公式sin 2 _.cos 2 _.tan 2 _.3升冪公式1cos 2 _.1cos 2 _.4降冪公式sin xcos x_，cos 2x_，sin2x_，sin2x_.5和差角正切公式變形tan tan _，tan tan _.6輔助角公式y(tǒng)asin xbcos x_.類型一 靈活變角

2、的思想在三角恒等變換中的應用4例 1 已知 ， 為銳角， cos ，tan( ) 513，求 cos 的值反思與感悟給值求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯(lián)系，常常在進行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關系，如 22， ( ) ， 1( ) ， ( ) ( ) ， 212( ) ( ) 等跟蹤訓練1 如圖， 在平面直角坐標系 xOy中， 以 Ox軸為始邊作兩個銳角 ，它們的終3 10 2 5邊分別與單位圓相交于 A， B兩點，已知 A，B的橫坐標分別為 .，10 5(1) 求 tan( ) 的值；(2) 求 的值類型二 整體換元思想在三角恒等變換中的應用例 2 求函數(shù) f (

3、x) sin xcos xsin x cos x，xR的最值及取到最值時x 的值反思與感悟 在三角恒等變換中，有時可以把一個代數(shù)式整體視為一個“元”來參與計算和推理，這個“元”可以明確地設出來跟蹤訓練2 求函數(shù) ysin xsin 2 xcos x( xR) 的值域2類型三轉化與化歸思想在三角恒等變換中的應用例 3 已知函數(shù) f ( x) 2 3sin( x 3)sin x2 2sin52 x21， xR.(1) 求函數(shù) f ( x) 的最小正周期及在區(qū)間0，2上的最大值和最小值；(2) 若 f ( x0) 65，x04，2，求 cos 2 x0 的值反思與感悟 (1)為了研究函數(shù)的性質， 往

4、往要充分利用三角變換公式轉化為正弦型 ( 余弦型 )函數(shù)，這是解決問題的前提(2) 本題充分運用兩角和 ( 差) 、二倍角公式、輔助角轉換公式消除差異， 減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，將三角函數(shù)表達式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質跟蹤訓練3 已知 cosx 43 17 ，5 127x ，求4sin 2 x2sin1tan x2x的值類型四 構建方程 (組) 的思想在三角恒等變換中的應用例 4 已知 sin x2cos y2，求 2sin xcos y 的取值范圍3反思與感悟 在三角恒等變換中，有時可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，聯(lián)系已知條件或三角公式，設法建立關于未知數(shù)的方

5、程組，從而使問題得以解決跟蹤訓練4 已知關于 的方程 3cos sin a0 在區(qū)間(0,2 ) 上有兩個不相等的實數(shù)解 ，求 cos( )的值1已知 sin2cos22 3 3，那么 sin _，cos 2 _.2已知 是第三象限角，且 sin594 cos4，則sin 2 _.3已知 sin cos 1 1 ，sin cos ，則sin( ) _.3 24設為銳角，若 cos 64，則sin 25 12的值為_5已知函數(shù) f ( x) cos x sin( x3) 3cos2x3，xR.4(1) 求 f ( x) 的最小正周期；(2) 求 f ( x) 在閉區(qū)間 4， 上的最大值和最小值4

6、本章所學的內容是三角恒等變換重要的工具，在三角函數(shù)式求值、化簡、證明，進而研究三角函數(shù)的性質等方面都是必要的基礎， 是解答整個三角函數(shù)類試題的必要基本功， 要求準確，快速化到最簡，再進一步研究函數(shù)的性質4答案精析知識梳理1cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 22sin cos cos2sin2 2cos2112sin22tan 21tan232cos 2sin24.sin 2 x21cos 2 x21cos 2 x25tan( )(1

7、tan tan )tan( )(1 tan tan )2 26. a b sin( x)題型探究例 1 解 是銳角， cos 45，sin 3 3 ，tan .5 4 tan tan 1tan tan tan tan ( ) 13 9. 是銳角， cos 9 10 50.跟蹤訓練 1 解 (1) 由題可知，cos 3 10 2 5 ，cos .10 5由于 ， 為銳角，則 sin 10，10sin 5，51 1故 tan ，tan ，3 25 tan tan 1tan tan 則tan( ) 1 1 3 2 11 617.13(2) 因為tan( ) 11211，6sin 10102，sin

8、2552，2即 2，故 4.例 2 解設sin xcos xt ，則t sin xcos x 22sin x22cos x 2sin x24，t 2， 2 ，sin x cos xxcos x221t21.2f ( x) sin x cos xsin x cos x，g( t ) t t21212( t 1)2 1，t 2， 2 當 t 1，即 sin x cos x 1時， f ( x) min 1，此時，由 sin x42，2解得 x2k 或 x2k ，kZ.2當 t 2，即 sin xcos x 2時，f ( x) max 212，此時，由 2sin x4 2，即 sin x41，解得

9、x2k ，kZ.4綜上，當 x2k 或 x2k2，k Z時，f ( x) 取得最小值， f( x) min 1；當 x 2k41，kZ時， f ( x) 取得最大值， f ( x) max 2 .26跟蹤訓練2 解 令 sin xcos xt ，則由 t 2sin x4知，t 2， 2 又 sin 2 x1(sin xcos x)21t2，y(sin x cos x) sin 2 xt 1t2 t 1252.41 5當 t 時， ymax；2 4當 t 2時， ymin 2 1.函數(shù)的值域為 21，54.例 3 解 (1) 因為f ( x) 3(2sin xcos x) (2cos2x1) 3

10、sin 2 xcos 2 x2sin 2x6，所以 f( x) 的最小正周期為.又因為x0 ， ，2所以 2x6，676 ，所以 f( x) 的最大值為2，最小值為 1.(2) 由(1) 可知，f ( x0) 2sin 2x06.又因為f ( x0) 6，5所以 sin 2x0635.由 x04，2，得 2x06237，6，所以 cos 2x06 1sin2 2x 00645，cos 2 x0cos 2x066cos 2x0 6cos6sin 2x0 6sin634 3.107跟蹤訓練3 解sin 2 x 2sin1tan x2x2sin xcos x2sinsin x1cos x2x2sin

11、 xcos x xsin x cos x sin xsin 2 x tan x1tan xsin 2 x tanx .417 7 ，x12 45x3 42，又cos4x 35，sin4x 45.tan4x 43.cos xcos4x 4cos4x cos4sin4x sin4223 4 5 52.10sin xsin4x 4sin4x cos4sin cos4x 47 2 10，sin 2 x7 sin 2 x2sin. 251tan x2x2875.例 4 解設2sin x cos y a.由sin x2cos y2，2sin xcos ya，解得2a 2sin x，34acos y，312a2 1，3從而14a 1，3解得 1 a5.2852故 2sin xcos y 的取值范圍是 1，.跟蹤訓練 4 解 設 xcos ，ysin ，則有2 2x y 1，3xya0，消去 y，并整理得2 24x 2 3axa 10. 由已知得 cos ，cos 是的兩個實數(shù)解，由根