2 4極限四則運(yùn)算法則

1、1,30,微積分,二,_,3,2,arctan,lim,1,2,x,x,x,x,lim,lim,2,則必有,若,x,g,x,f,1,lim,lim,0,lim,lim,x,g,x,f,D,x,g,x,f,C,x,g,x,f,B,x,g,x,f,A,C,0,x,x,x,x,x,x,arctan,3,2,1,3,2,arctan,2,0,3,2,1,lim,x,x,x,2,arctan,x,二、極限的計(jì)算方法,三、小結(jié),思考題,一、四則運(yùn)算法則,Techniques for Finding Limits,3,30,微積分,二,0,lim,3,lim,2,lim,1,lim,lim,B,B,A,x,

2、g,x,f,B,A,x,g,x,f,B,A,x,g,x,f,B,x,g,A,x,f,其中,則,設(shè),在某一變化過(guò)程中,定理,注,上述法則只有參與運(yùn)算的變量的極限都存在,時(shí)才成立,一、極限四則運(yùn)算法則,4,30,微積分,二,幾個(gè)推論,lim,lim,3,lim,lim,2,lim,lim,1,1,1,1,1,有意義,且,為常數(shù),n,n,n,n,n,n,n,A,N,n,A,U,U,N,n,A,U,U,C,CA,U,C,CU,lim,lim,4,lim,不同時(shí)為零,B,A,A,U,U,B,V,V,lim,(lim,lim,lim,n,n,u,u,u,u,u,u,lim,lim,lim,lim,n,n,

3、u,u,u,u,u,u,5,30,微積分,二,一、極限四則運(yùn)算法則,二、極限的計(jì)算方法,6,30,微積分,二,0,0,lim,x,x,x,x,基本工具,C,C,lim,0,1,lim,x,x,0,lim,n,x,x,C,7,30,微積分,二,1,2,3,lim,2,1,x,x,x,求,1,lim,2,3,lim,1,2,1,x,x,x,x,1,1,2,lim,3,2,1,x,x,2,1,2,1,3,2,1,2,3,lim,2,1,x,x,x,1,1,lim,2,2,0,x,x,x,計(jì)算,1,lim,1,lim,1,1,lim,2,0,2,0,2,2,0,x,x,x,x,x,x,x,1,1,0,

4、1,0,1,lim,1,lim,2,2,2,0,2,0,x,x,x,x,例,1,例,2,解,解,8,30,微積分,二,時(shí)有理整式的極限,對(duì),0,1,x,x,小結(jié),1,代入法,要求分母極限不為零,時(shí)有理分式的極限,對(duì),2,0,x,x,均可代入,有意義,只要,的極限,時(shí),推廣,0,0,x,f,x,f,x,x,例如,1,2,arctan,lim,1,x,x,1,1,2,arctan,4,9,30,微積分,二,1,1,lim,1,x,x,x,求,1,1,lim,1,x,x,x,1,1,lim,lim,1,1,x,x,x,x,1,1,lim,1,1,x,x,1,2,x,x,e,x,x,1,cos,lim

5、,0,求,1,lim,cos,lim,1,cos,lim,0,0,0,x,x,x,x,x,e,x,x,e,x,x,2,1,lim,1,cos,lim,lim,0,0,0,x,x,x,x,e,x,x,x,x,e,x,1,lim,0,求,1,ln,lim,2,1,x,x,求,1,1,0,0,e,1,1,1,ln,2,練習(xí),例,3,例,4,解,解,10,30,微積分,二,x,x,x,x,x,2,2,2,1,3,lim,求,型,x,x,x,x,x,2,2,2,1,3,lim,2,x,同除,x,x,x,x,1,2,1,1,3,lim,2,0,2,0,0,3,2,3,1,3,2,lim,4,3,x,x,x

6、,x,x,求,型,1,3,2,lim,4,3,x,x,x,x,x,4,x,同除,4,3,3,1,1,3,1,2,lim,x,x,x,x,x,0,例,5,例,6,解,解,11,30,微積分,二,1,2,lim,2,x,x,x,x,求,型,1,2,lim,2,x,x,x,x,2,x,同除,2,1,2,1,1,lim,x,x,x,x,0,0,0,1,一般規(guī)律,m,m,m,m,n,n,n,n,x,b,x,b,x,b,x,b,a,x,a,x,a,x,a,1,1,1,0,1,1,1,0,lim,n,m,b,a,0,0,n,m,0,n,m,例,7,解,12,30,微積分,二,x,x,x,x,x,x,lim,

7、型,x,同除,x,x,x,x,x,x,lim,x,x,x,x,1,1,1,1,1,lim,3,1,x,x,x,x,x,e,e,e,e,lim,型,時(shí),x,x,e,e,x,0,x,x,x,x,x,e,e,e,e,lim,x,e,同除,1,1,lim,2,2,x,x,x,e,e,1,1,0,1,0,例,8,解,例,9,解,13,30,微積分,二,小結(jié),2,同除無(wú)窮大量法,適用范圍,型的極限,方法,分子分母同除“最大”的無(wú)窮大,量，再求極限,1,1,arctan,1,1,2,lim,2,2,x,x,x,x,x,x,x,分子最高次冪,2,3,分母最高次冪,2,0,1,1,2,2,x,x,x,x,x,是

8、有界變量,1,1,arctan,2,x,x,0,例,10,14,30,微積分,二,_,_,1,sin,lim,2,n,n,n,n,0,1,2,n,n,n,是有界變量,sin,n,0,2,ln,arctan,lim,x,x,x,求,0,ln,1,ln,2,2,x,x,x,0,ln,arctan,lim,arctan,2,x,x,x,x,故,為有界函數(shù),又,2,1,sin,lim,x,x,x,求,例,11,解,例,12,15,30,微積分,二,型,0,0,若,0,0,0,x,g,x,f,x,x,型未定式,為,則稱,0,0,lim,0,x,g,x,f,x,x,4,6,lim,2,2,2,x,x,x,

9、x,計(jì)算,2,2,2,3,lim,2,x,x,x,x,x,4,5,2,3,lim,2,x,x,x,4,6,lim,2,2,2,x,x,x,x,1,1,2,lim,3,2,1,x,x,x,x,型,0,0,約分,1,1,1,lim,2,2,1,x,x,x,x,x,0,例,13,解,16,30,微積分,二,小結(jié),3,零因子約分法,適用范圍,型有理分式的極限,0,0,方法,先因式分解，再約去零因子,2,1,3,lim,3,3,4,1,x,x,x,x,x,x,0,0,型,有目的的因式分解,2,1,3,lim,3,3,4,1,x,x,x,x,x,x,1,x,同除,2,1,2,2,lim,2,2,3,1,x

10、,x,x,x,x,x,1,4,4,例,14,解,17,30,微積分,二,x,x,x,2,1,1,lim,0,0,0,型,1,1,2,1,1,1,1,lim,0,x,x,x,x,x,1,1,2,lim,0,x,x,x,x,1,1,2,1,lim,0,x,x,4,1,小結(jié),4,根式有理化法,適用范圍：含有根式相減的極限,例,15,18,30,微積分,二,3,1,1,1,lim,x,x,x,0,0,型,1,1,1,1,1,1,lim,3,2,3,3,3,2,3,1,x,x,x,x,x,x,x,x,x,1,1,1,1,lim,3,2,3,1,x,x,x,x,x,x,1,1,lim,3,2,3,1,x,

11、x,x,x,2,3,1,1,1,1,1,1,例,16,19,30,微積分,二,2,lim,2,2,n,n,n,n,n,型,2,2,2,lim,2,2,2,2,2,2,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,有理化,2,3,lim,2,2,n,n,n,n,n,n,型,n,同除,1,1,2,1,3,lim,n,n,n,2,3,例,17,20,30,微積分,二,1,1,1,3,lim,3,1,x,x,x,型,3,2,1,1,1,3,lim,x,x,x,x,通分,0,0,型,3,2,1,1,2,lim,x,x,x,x,1,1,1,2,lim,2,1,x,x,x,x,x,x,2,1,1,2,

12、lim,x,x,x,x,1,小結(jié),5,型極限的轉(zhuǎn)化,通分法,適用于分式相減的類型,根式有理化法,適用于根式相減的類型,例,18,21,30,微積分,二,2,lim,2,x,x,x,x,型,方法一,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,2,2,2,lim,2,2,2,原式,x,x,x,x,x,2,2,lim,2,x,x,x,x,x,2,1,2,lim,提取,1,2,1,2,lim,x,x,1,1,1,2,例,19,22,30,微積分,二,型,方法二：倒代換法,原式,lim,t,x,1,令,1,2,1,2,t,t,t,0,t,1,2,1,lim,2,0,t,t,t,t,2,1,1,lim,0,t

13、,t,t,t,t,t,t,2,1,1,lim,0,0,0,型,2,1,1,2,lim,0,t,t,t,t,有理化,t,t,2,1,1,2,lim,0,1,2,lim,2,x,x,x,x,例,19,23,30,微積分,二,小結(jié),5,型極限的轉(zhuǎn)化,通分法,適用于分式相減的類型,根式有理化法,適用于根式相減的類型,倒代換法,b,a,b,a,b,x,a,x,x,x,3,2,lim,2,3,求,為非零常數(shù),若,0,3,3,x,x,時(shí)，分母,原極限存在,時(shí),只有分子,0,2,2,a,x,x,例,20,24,30,微積分,二,解,由題意知,0,2,lim,2,3,a,x,x,x,0,3,2,3,2,a,即,

14、3,a,原極限化為,3,3,2,lim,2,3,x,x,x,x,3,1,3,lim,3,x,x,x,x,1,lim,3,x,x,4,即,4,b,4,3,b,a,b,a,b,a,b,x,a,x,x,x,3,2,lim,2,3,求,為非零常數(shù),若,例,20,25,30,微積分,二,b,a,b,a,b,ax,x,x,x,0,1,4,lim,2,3,求,為常數(shù),若,能否判斷題型,1,4,2,3,x,x,x,時(shí),b,ax,型,原極限,1,4,lim,2,2,3,3,x,b,ax,bx,ax,x,x,0,1,4,lim,2,2,3,x,b,ax,bx,x,a,x,由上式知,0,4,a,0,b,0,4,b,

15、a,例,21,26,30,微積分,二,例,22,lim,0,1,0,1,0,2,x,f,x,x,x,x,x,f,x,求,設(shè),x,y,1,y,o,x,1,1,2,x,y,解,兩個(gè)單側(cè)極限為,是函數(shù)的分段點(diǎn),0,x,1,lim,lim,0,0,x,x,f,x,x,1,1,lim,lim,2,0,0,x,x,f,x,x,1,左右極限存在且相等,1,lim,0,x,f,x,故,分段函數(shù)左右極限法,27,30,微積分,二,一、極限四則運(yùn)算法則,二、極限的計(jì)算方法,三、極限計(jì)算思路歸納,28,30,微積分,二,0,0,3,約分法,4,根式有理化法,5,通分法,2,同除以無(wú)窮大量法,另,7,分段函數(shù)左右極限法,極限未定類型,型,0,0,型,基本類型,1,代入法,型,其它類型,其它類型可以轉(zhuǎn)化成基本類型,方法,6,倒代換法,0,0,29,30,微積分,二,思考題,在某個(gè)過(guò)程中，若,有極限,無(wú)極限，那么,是否有極限？為什么,x,f,x,g,x,g,x,f,作業(yè),P54,1,2)(3)(6)(13,4,30,30,微積分,二,沒(méi)有極限,假設(shè),有極限,x,g,x,f,x,f,有極限,由極限運(yùn)算法則可知,x,f,x,g,x,f,x,g,必有極限,與已知矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,31