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文檔簡介

1、第一節(jié) 二次型 矩陣合同,線性代數(shù),1,；.,一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定義,稱為二次型.,（我們僅討論實二次型）。,2,；.,例如,都為二次型；,為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.,3,；.,對二次型,二、二次型的矩陣表示,4,；.,5,；.,由一個二次型可對應(yīng)一個對稱矩陣A,且A唯一.,6,；.,如二次型 用矩陣記號寫出來就是,7,；.,作一個 階對稱矩陣,顯然由矩陣A可確定一個二次型：,8,；.,在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與一個對角陣一一對應(yīng).,反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定 一個二次型。,所以二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。,9,；.,

2、解,10,；.,解:,11,；.,例3已知二次型,的秩為2，求參數(shù),由 的秩為2知,解之得c3,解：二次型 的矩陣為,12,；.,三、線性變換,實二次型的基本問題是研究如何把一個復(fù)雜的二次型通過適當(dāng)?shù)木€性變換化為比較簡單的標(biāo)準(zhǔn)形,使問題得到簡化。,線性變換的定義,的一個線性變換。,線性變換也可記為,13,；.,稱為該線性變換的矩陣.,其中,14,；.,解: 方法一 將線性關(guān)系直接代入.,求新二次型.,15,；.,方法二 二次型的矩陣,16,；.,證明:,即 為對稱矩陣.,如果對二次型 進(jìn)行滿秩變換 :,17,；.,說明,18,；.,四、矩陣的合同,二次型 的矩陣 與二次型 的矩陣 是什么關(guān)系?

3、,定理2 若矩陣 合同,則 等價,且,19,；.,合同關(guān)系具有以下性質(zhì): 反身性 任一 階矩陣A都與它自己合同,即 對稱性 如果方陣 合同,則 合同. 即 傳遞性 如果方陣 合同, 合同, 則 合同. 即,20,；.,注意: 矩陣的合同關(guān)系是對任意的 階矩陣而言的, 并不盡僅僅限于對稱矩陣.,3. 任意一個對稱矩陣,都與一個對角矩陣合同.,2. 矩陣的相似關(guān)系與合同關(guān)系是不同的.,21,；.,例5設(shè) 和 為實對稱矩陣,則由 與 相似可推出 與 合同,反之不然.,證明:,22,；.,都是實對稱矩陣,但對任意可逆矩陣,故 和 不相似. 這說明 在所給條件下,合同不一定相似.,取,23,；.,小結(jié),實二次型的化簡問題，在理論和實際中 經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一 一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為

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