彈塑性力學第四篇彈性力學的求解方法

1、第四章,彈性力學問題的求解方法,7-1,彈性力學基本方程,1.,平衡微分方程方程,2.,幾何方程,3.,物理方程,?,各種彈性常數(shù)之間的關系,4.,相容方程,?,求解物理量：,6,個應力分量,6,個應變分量,3,個位移分量,共,15,個未知量,用于求解的方程：平衡微分方程,3,個,幾何方程,6,個,本構方程,6,個,共,15,個方程,15,個基本方程求解,15,個未知量，數(shù)學上有解。,協(xié)調(diào)方程是應變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。,微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確,定。,5.,邊界條件：,位移邊界條件：對于給定的表面,S,u,，其上沿,x,，,y,，,z,方向給定位移為,，則,應

2、力邊界條件：給定表面上的面力為,彈性力學問題求解也稱為彈性力學邊值問題求解,?,求解彈性力學問題有位移法、應力法和應力函,數(shù)法三種方法。,1.,位移法：,以位移作為基本未知量用，位移表述平,衡方程,位移法控制方程,2.,應力法：,以應力作為基本未知量。將,相容方程,用,應力表示,應力控制方程,3.,應力函數(shù)法：,先引入應力函數(shù)，,相容方程用,應力,函數(shù)表示,應力函數(shù)表示的控制方程。,7-2,彈性力學求解方法,1.,位移法：,將幾何方程代入物理方程，得到用位移,表示的應力分量，再將應力分量代入平衡方程和應力邊,界條件，即,得到空間問題的位移法控制方程。,不需要用,相容方程。,力邊界條件也可用位移

3、表述。,位移控制方程指標表示：,3,個位移表述的平衡微分方程，包含,3,個位,移未知數(shù)。,結(jié)合邊界條件，解上述方程，可求出位移分,量，由幾何方程求應變，再由本構方程求應力。,2.,應力解法：將由應力表示的應變本構方程式代,入?yún)f(xié)調(diào)方程式，得應力表示的協(xié)調(diào)方程（應力控,制方程）。,2,1,0,1,ij,kk,ij,?,?,?,?,?,?,?,3.,應力函數(shù)法：,先引入應力函數(shù)，滿足微分平衡方,程。由微分平衡方程得應力函數(shù)與應力分量的關系，,再將用應力函數(shù)表示的應力分量代入,相容方程,，得到,一組用應力函數(shù)表示的相容方程，即應力函數(shù)表示的,控制方程。,一、解的疊加原理,7-1,彈性力學解的性質(zhì),實際

4、結(jié)構件往往同時受到幾組載荷作用，如果,直接求所有載荷作用下的彈性力學問題的解，可,能很復雜。而求單一載荷作用下的彈性力學問題,的解，一般更簡單。,通過求不同單一載荷作用下的彈性力學問題的,解，再用疊加方法獲得復雜載荷的解的過程稱為,解的疊加原理。,疊加原理：彈性體受幾組外力同時作用時的解,等于每一組外力單獨作用時對應解的和。,說明：,1,、數(shù)學上可證明,當為線彈性小變形情況，求解的,基本方程和邊界條件為線性，疊加原理成立。,2,、對大變形情況，幾何方程出現(xiàn)二次非線性項，平,衡微分方程將受到變形的影響，疊加原理不再適,用。,3,、對非線彈性或彈塑形材料，應力應變關系是非線,性的，疊加原理不成立。

5、,4,、對載荷隨變形而變的非保守力系或邊界為,用非線性彈簧支承的情況，邊界條件是非,線性的，,疊加原理也將失效。,二,.,解的唯一性定理：,在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，,其內(nèi)部各點的應力、應變解是唯一的，如物體剛,體位移受到約束，則位移解也是唯一的。,無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方,程和邊界條件，就一定是問題的真解。,三,.,圣維南原理,:,提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則,此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產(chǎn)生,影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應力和變形。,提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該,力系在物體中引起的應力將隨離力系作用部分的距離,的增大而迅速衰減，在距離相當遠處，其值很小，可,忽略不計。,提法三：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等