控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.ppt

1、第4章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,舒欣梅西華大學(xué)電氣信息學(xué)院,第4章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,4.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 4.2 李雅普諾夫第二法 4.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 4.4 線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 4.5 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4.6 MATLAB在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用,引言：,1、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的首要問題。,2、經(jīng)典理論判穩(wěn)方法及局限性。,A、直接判定：單入單出中，基于特征方程的根是否都分布在復(fù)平面虛軸的左半部分，采用勞斯古爾維茨代數(shù)判據(jù)和奈魁斯特頻率判據(jù)。局限性是僅適用于線性定常，不適用于非線性和時變系統(tǒng)。,B、間接判定：方程求解對非線性和時

2、變通常很難。,3、現(xiàn)代控制理論判穩(wěn)方法： 俄李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是穩(wěn)定性判定的通用方法，適用于各種系統(tǒng)。,4、本章重點內(nèi)容：李氏第二法及其應(yīng)用。,李氏第二法：直接判穩(wěn)。思路：構(gòu)造一個李氏函數(shù)V(x)，根據(jù)V(x)的性質(zhì)判穩(wěn)。對任何復(fù)雜系統(tǒng)都適用。,李氏第一法：先求解系統(tǒng)微分方程，根據(jù)解的性質(zhì)判穩(wěn)間接法,一、系統(tǒng)：,4.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義,二、平衡狀態(tài)：,設(shè) ，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種動態(tài)屬性，與外界輸入無關(guān)。因此 初始狀態(tài),系統(tǒng) 中對所有t，必存在一些狀態(tài)點 ，使 ，該類狀態(tài)點 稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài),意義：當系統(tǒng)運動到xe點時，系統(tǒng)狀態(tài)各分量將維持平衡，不再隨時間變化，即,平衡點：由系統(tǒng)狀態(tài)

3、在狀態(tài)空間中所確定的點,求法：1、線性定常系統(tǒng),坐標原點是唯一平衡點,2、非線性系統(tǒng),三、范數(shù)：衡量（度量）狀態(tài)空間距離的大小向量x的長度稱為向量x的范數(shù)：,向量 與 的距離為,將 限定在某一范圍時，記作,幾何意義：在n維狀態(tài)空間中，表示以 為球心，以 為半徑的一個球，記作,四、穩(wěn)定性的定義,在f的作用下， 偏離 有三種情況,如果 與 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。,1、李氏穩(wěn)定,2、漸進穩(wěn)定（經(jīng)典控制理論中定義）,3、大范圍漸進穩(wěn)定,4、不穩(wěn)定,4.2 李雅普諾夫第二法,李氏第二法：直接判穩(wěn)，構(gòu)造一個李氏函數(shù)V(x)，根據(jù)V(x)性質(zhì)判穩(wěn)對任何系統(tǒng)都適用。 一、基本思想,舉例如下,（二）虛

4、構(gòu)能量函數(shù)V(x)李氏函數(shù),既可以描述物理系統(tǒng)，又可描述社會系統(tǒng)，滿足3個條件：,二 、二次型函數(shù)的預(yù)備知識,（一）二次型定義及其表達式 f(x,y)=ax2+2bxy+cy2每項二次數(shù)都是二次的,矩陣表示：,（二）標量函數(shù)V(x)的符號、性質(zhì),（三）二次型V(x)正定性的賽爾維斯特(Sylvester)準則,P陣為實對稱陣,為正定的充要條件是 的所有順序主子行列式都是正的。 如果 的所有主子行列式為非負的（其中有的為零），n階行列式為0，那么 為半正定的。 如果 的偶數(shù)階主子行列式為正，奇數(shù)階主子行列式為負，的那么 為負定的。 如果 的偶數(shù)階主子行列式為非負，奇數(shù)階主子行列式為非正，n階行列

5、式為0，那么 為負半定的。,解：二次型可以寫為,因為,所以,例4.1.2 證明下列二次型函數(shù)是正定的。,在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足： 1） 為正定； 2） 為負定。 則 為一致漸近穩(wěn)定的。 如果 ， ，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,三、 李雅普諾夫第二方法,定理4-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,V(x)的構(gòu)造方法是關(guān)鍵，但李氏方法未給出構(gòu)造V(x)的一般方法。原理簡單，實用困難。,重點理解：,小結(jié)：,1）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是 唯一的。,2）對于非線性系統(tǒng)能給出關(guān)于在大范圍內(nèi)穩(wěn)定 性的信息。,3）關(guān)于穩(wěn)

6、定性的條件是充分的，而不是必要的。,4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得 出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結(jié)論。,幾點說明,解: 系統(tǒng)具有唯一的平衡點,解法1 取,則,因為除原點處外， 不會恒等于零。,例 已知系統(tǒng),試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。,解法2 取,則,5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀 態(tài)的穩(wěn)定性。,6）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。,4.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,4.3.1 穩(wěn)定性分析,定理4.3.1:,系統(tǒng)在原點全局漸近穩(wěn)定的,證明：充分性：考慮系統(tǒng),其中,必要性：略。,定理4-6 系統(tǒng) 漸近穩(wěn)

7、定的充要條件為：給定正定實對稱矩陣 ，存在正定實對稱矩陣 使式 成立,由于 陣的形式可以任意給定，并且最終的判斷結(jié)果與正定陣 陣的不同選擇無關(guān)。故可以選取 ，即單位陣，再根據(jù)式（4-8）求出 陣，用賽爾維斯特判據(jù)來驗證其正定性。當 陣是正定陣時，則可知 為大范圍一致漸進穩(wěn)定的。另外，根據(jù)定理4-2，如果 沿任一條軌跡不恒等于零，則 可取正半定矩陣。,（注：線性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負實部，既可以判別其穩(wěn)定性。）,例: 分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性,解：令,因為,可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。,練習(xí),設(shè),則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程,存在唯一正定對稱解

8、,的序列不恒等于零，則 可取半正定的。,定理 4.3.2 對線性離散系統(tǒng),判穩(wěn)步驟,例 試確定系統(tǒng),在原點的穩(wěn)定性,由此解出,從而系統(tǒng)在原點的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.,令,系統(tǒng)的雅克比矩陣為,4.4 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用,4.4.1 克拉索夫斯基方法,定理4.4.1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,范圍漸近穩(wěn)定。,其中 為 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，如果,大范圍漸近穩(wěn)定。,所以,解: 由,練習(xí),該定理僅是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處漸進穩(wěn)定的充分條件。 使為 負定的必要條件是 主對角線上所有元素均不為零，即 不能采用克拉索夫斯基方法 線性系統(tǒng)可看作非線性系統(tǒng)的特殊情況，故也適用于線性系統(tǒng),關(guān)于定理4.4.1的幾點說明,4.5 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的應(yīng)用,一、線性定常系統(tǒng)設(shè)計（古典校正） 不穩(wěn)定系統(tǒng)（校正）穩(wěn)定,使 極小,(1)設(shè)