自動控制 08b系統(tǒng)分析的描述函數(shù)法

1、,8,4,描述函數(shù)法,描述函數(shù)法是達尼爾,(P.J.Daniel),于,1940,年提,出的,它是線性系統(tǒng)頻域法在非線性系統(tǒng)中的推廣，,是非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的近似判別法，它要求系統(tǒng)具,有良好的低通特性并且非線性較弱。描述函數(shù)法的,優(yōu)點是能用于高階系統(tǒng)。,描述函數(shù)法本質(zhì)上是一種,諧波線性化方法,，,其基本思想是：當系統(tǒng)滿足一定,的假設條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用,下的輸出可用一次諧波分量來近似。,(1),描述函數(shù)的定義,在頻率特性一章中，我們已經(jīng)看到，對于線性時,不變系統(tǒng)，當輸入為正弦函數(shù)時輸出也是同頻率的,正弦函數(shù)，輸出和輸入只有幅值和相位的差別。對,于非線性系統(tǒng)，當輸入為正弦函數(shù)時輸

2、出是同頻率,的非正弦函數(shù)，也就是說輸出中含有高次諧波，可,見線性系統(tǒng)的頻率法不適用于非線性系統(tǒng)。,現(xiàn)在，我們試圖將線性系統(tǒng)中的頻率法改進后,用于非線性系統(tǒng)。考慮下圖所示的系統(tǒng)，如果其線,性動態(tài)部分具有良好的低通特性，那么系統(tǒng)信號中,的高次諧波就被大大衰減，可以用一次諧波來近似，,這是非線性特性在頻域的線性化。,1,、描述函數(shù)的基本概念,-,G,s,(,),0,r,t,?,(,),x,t,(,),y,t,(,),c,t,(,),N,A,(,),對上圖系統(tǒng)做如下假設：,（,1,）高次諧波的幅值通常要比基波的幅值小；,（,2,）系統(tǒng)的線性部分,G,(,s,),具有低通濾波特性；,所以可以認為只有一次

3、諧波分量沿閉環(huán)回路反饋到,N,的輸入端，而高次諧波經(jīng)低通濾波后衰減得可以忽略不計。,在這種假設條件下，可以只考慮,y,的一次諧波分量。此外，,設非線性特性為對稱型。,為了將頻率法推廣到非線性系統(tǒng),我們首先定義,靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù),設非線性環(huán)節(jié),y,=,f,(,x,),的輸入為正弦函數(shù)：,sin,),(,t,A,t,x,?,?,式中，,A,是正弦函數(shù)的幅值。將非線性環(huán)節(jié)的輸出,分解為傅立葉級數(shù)：,),(,t,y,),sin(,),sin,(,),(,1,0,1,0,n,n,n,n,n,n,t,n,Y,A,t,n,B,t,conn,A,A,t,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

4、?,?,?,?,?,式中,),(,sin,),(,1,),(,cos,),(,1,),arctan(,2,0,2,0,2,2,t,td,n,t,y,B,t,td,n,t,y,A,B,A,B,A,Y,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,如果非線性特性是奇對稱的，那么直流分量,A,0,=0,，,這時輸出的基波分量是：,),sin(,sin,cos,),(,1,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,t,Y,t,B,t,A,t,y,如果函數(shù),y,=,f,(,x,),是已知的，,A,是一個待定常數(shù)，,由上式求出的,只與,A,有關，記,

5、作,。描述函數(shù)定義為輸出,的一次諧波分量與輸入正弦函數(shù)的復數(shù)比：,1,1,1,1,?,Y,B,A,),(,),(,),(,),(,1,1,1,1,A,A,Y,A,B,A,A,?,A,jA,B,e,A,Y,A,N,j,1,1,1,1,),(,?,?,?,?,顯然，描述函數(shù)是,A,的函數(shù)，描述函數(shù)可以理解為非,線性環(huán)節(jié)在忽略高次諧波情況下的非線性增益,這個增,益與輸入正弦函數(shù)的幅值有關。如果非線性特性是單值奇,對稱的，那么：,A,B,N,A,/,0,0,1,1,1,?,?,?,?,只有當非線性元件具有儲能特性時，描述函數(shù)才既是輸,入振幅又是角頻率的函數(shù)。,(2),描述函數(shù)分析的應用條件,1,）非線

6、性系統(tǒng)應能夠簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個,線性部分閉環(huán)連接的典型結構；,2,）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性,y,(,x,),應是,x,的奇函數(shù)，,或正弦輸入下的輸出為,t,的奇對稱函數(shù)；,3,）系統(tǒng)的線性部分應具有較好的低通濾波特性。,需強調(diào)指出，描述函數(shù)中相位差是由于非線性元件,的非單位特性引起的，與線性系統(tǒng)的頻率特性中相位差,不是一回事。,A,jA,B,e,A,Y,A,N,j,1,1,1,1,),(,?,?,?,?,下面用幾個例子說明描述函數(shù)是如何計算出來的。,（,1,）死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié),考慮圖,8,37,所示死區(qū)特性，當輸入為正弦函,數(shù),時，輸出,如圖,8,37,所,示,，,因,為,圖,中,

7、的,y,(,t,),是,單,值,奇,對,稱,的,，,所,以,，,),(,sin,),(,?,?,?,A,t,A,t,x,?,),(,t,y,0,0,1,1,?,?,?,A,2,、,典型非線性特性的描述函數(shù),圖,8,37,死區(qū)特性的描述函數(shù),所以,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,0,2,0,1,1,1,),arcsin(,arcsin,2,

8、2,cos,),(,cos,),2,sin,4,1,2,(,4,),(,sin,),(,),sin,sin,(,4,sin,),(,4,sin,),(,1,2,1,2,2,1,1,A,A,A,a,A,a,A,A,a,AK,t,a,t,t,t,A,K,t,td,a,t,d,t,t,A,K,t,d,t,t,y,t,d,t,t,y,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,綜合以上：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

9、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,A,K,A,N,A,a,a,A,A,a,A,a,A,a,K,A,N,a,A,A,A,A,a,A,a,A,A,a,K,A,N,，,為,，得死區(qū)特性描述函數(shù),，,對于死區(qū)特性，,，,數(shù)為,，得飽和特性的描述函,取,數(shù)為：,死區(qū)飽和特性的描述函,2,2,2,2,2,1,arcsin,2,2,),(,1,2,1,arcsin,2,),(,0,1,1,arcsin,arcsin,2,),(,?,?,?,?,?,?,（,2,）繼電特性,圖,

10、8,38,繼電特性的描述函數(shù),考慮圖,8,38,帶滯環(huán)的繼電特性，當輸入為,時，輸出,y,(,t,),如,8,38,所示，并且,),(,sin,),(,h,A,t,A,t,x,?,?,?,),1,(,2,),(,cos,2,),(,cos,2,2,1,0,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,A,Mh,t,td,M,t,td,M,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),1,(,2,),1,1,2,/,),(,),(,),1,1,2,),(,sin,2,),(,sin,),(,2,2,2,2,1,1,2,2,0,1,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

11、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,A,Mh,j,A,h,A,mh,A,M,A,jB,A,A,N,A,h,A,mh,M,t,td,M,t,td,t,y,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,描述函數(shù),為死區(qū)滯環(huán)繼電特性的,),(,A,N,4,0,M,h,N,A,A,?,?,?,(,),?,?,2,4,1,1,h,M,m,N,A,A,A,?,?,?,?,(,),?,?,2,2,4,4,1,1,h,Mh,M,m,N,

12、A,j,A,A,A,?,?,?,?,?,?,?,(,),（,3,）一般非線性,描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一,般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。,我們舉一個例子,:,3,4,1,2,1,x,x,y,?,?,因為它是單值奇對稱的，,，先求出,y,(,t,),：,0,0,1,1,?,?,?,A,t,A,t,A,t,y,?,?,3,3,sin,4,1,sin,2,1,),(,?,?,所以,2,1,3,2,0,4,3,2,2,0,3,3,1,16,3,2,1,),(,16,3,2,1,),(,sin,4,1,sin,2,1,4,),(,sin,sin,4,1,sin,2,1,4

13、,A,A,B,A,N,A,A,t,d,t,A,t,A,t,td,t,A,t,A,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,概括起來，求描述函數(shù)的過程是：先根據(jù)已知,的輸入,x,(,t,)=,A,sin,t,和非線性特性,y,=,f,(,x,),求出輸出,，,然后由積分式求出,，最后得,N,(,A,),。,主要工作量和技巧主要在積分。,此外，描述函數(shù)也可以由實驗近似獲得。當系,統(tǒng)具有良好的低通特性時，給系統(tǒng)施加正弦信號，,其輸出也近似為正弦信號。改變輸

14、入正弦信號的幅,值，記錄輸出信號的幅值和相位，即可近似求,出,。,),(,t,y,1,1,1,1,?,Y,B,A,),(,),(,1,1,X,X,Y,?,附圖,10,描述函數(shù)表示的非線性系統(tǒng),考慮附圖,10,所示的非線性系統(tǒng)，假設線性動態(tài)部,分具有良好的低通特性，那么靜態(tài)非線性特性可以用,描述函數(shù),N,(,A,),來表示。為了引入頻率特性分析法，我,們還假設,G,(,s,),是最小相位環(huán)節(jié)。,3,、,非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法,（,1,）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,前幾章已介紹了分析線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的根,軌跡法和頻率特性法。如果頻率特性推廣到附圖,10,所示的非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

15、,),(,),(,1,),(,),(,),(,),(,?,?,?,?,j,G,A,N,j,G,A,N,j,R,j,Z,?,?,特征方程為,0,),(,),(,1,?,?,?,j,G,A,N,為了類比，假設靜態(tài)環(huán)節(jié)退化為線性環(huán)節(jié),y=kx,，,即,N,(,A,)=,k,（常數(shù)）。因為,G,(,s,),是最小相位環(huán)節(jié)，根據(jù),線性系統(tǒng)的,Nyquist,判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于,在復平面上,G,(,j,),曲線是否包圍實軸上的,1,k,點。,現(xiàn)在將上述結論推廣到,N,(,A,),為非線性函數(shù)的情,況。因為,A,連續(xù)變化時,N,(,A,),是復平面上的一根曲線，,所以閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于曲線,G

16、,(,j,),是否包圍,1,N,(,A,),曲線。具體講就是：在復平面上，如果曲線,G,(,j,),不包圍,1,N,(,A,),曲線，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；,如果,G,(,j,),曲線包圍,1,N,(,A,),曲線，那么閉環(huán)系統(tǒng),不穩(wěn)定；如果曲線,G,(,j,),與曲線,1,N,(,A,),相交，那,么閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩（極限環(huán)）。為了方便，,我們將曲線,1,N,(,A,),稱為負倒描述函數(shù)曲線。,（,2,）極限環(huán)的穩(wěn)定性,正如相平面法中所討論的，極限環(huán)本身存在一,個穩(wěn)定性問題，極限環(huán)的穩(wěn)定性也可以用描述函數(shù),來分析。參見附圖,11,附圖,11,極限環(huán)的穩(wěn)定性,圖中,A,、,B,兩點都出現(xiàn)極限環(huán)，先看,A,點：如果,因某種干擾使振蕩幅值略有減小，比如工作點移到,D,，,D,點不被,G,(,j,),曲線包圍，這時閉環(huán)系統(tǒng)應趨向穩(wěn),定,振蕩幅值應逐漸減小到零（停振）；反之，,如果因某種干擾使振蕩幅值略有增大，比如工作點,移到,C,，,C,點被,G,(,j,),曲線包圍，這時閉環(huán)系統(tǒng)應趨向,不穩(wěn)定,振蕩幅值應逐漸增大，工作點移到、,B,；可見,A,點屬不穩(wěn)定極限環(huán)。,再看,B,點：如果因某種干擾使振蕩幅值略有減小，,比如工作點移到,F,，,F,點被,曲線包圍，這時閉,環(huán)系統(tǒng)應趨向不穩(wěn)定,振蕩幅值應增大，增大后,又回到,B,點；