導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)

1、求 導(dǎo) 法 則,基本公式,導(dǎo) 數(shù),高階導(dǎo)數(shù),高階微分,第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,1、導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)函數(shù),注意：,記為,例題1.設(shè),存在，且,則,等于,A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5,分析：,導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)：,練習(xí)：P43 第3題,2、單側(cè)導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù):,在討論分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)時，由于在分段點兩側(cè)表達式 可能不同，因此一般應(yīng)從定義出發(fā)討論其左、右導(dǎo)數(shù)。,例. 見教材 P42 頁例6,例題2. 討論,在,處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.,分析：,所以,在,處連續(xù),所以,因此,在,處可導(dǎo)。,題目的函數(shù)為：,當,時，,所以,因此,從而,在,處可導(dǎo)。,判斷可導(dǎo)性的另一種方法：,3、導(dǎo)數(shù)的幾

2、何意義：,函數(shù),在點,處的導(dǎo)數(shù),表示曲線在點,處切線的斜率。,曲線在點,處的切線方程為,法線方程為：,例 求曲線,在點（2，8）處得切線方程和法線方程。,解 在點（2，8）處的切線斜率為,所以，所求切線方程為,所求法線斜率為,于是所求法線方程為,4、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 ：,定理(函數(shù)可導(dǎo)的必要條件) ：,在點,處可導(dǎo),在點,處連續(xù)。,可導(dǎo)連續(xù)，反之不一定 即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件， 但不是充分條件。,例子 見教材 P42 例題7，8,例 函數(shù),在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，,于是有,可導(dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。,連續(xù)一定有極限，但是有極限不一定連續(xù)。,因為,例,解,練習(xí)：P43頁第7題,5、

3、基本導(dǎo)數(shù)公式,（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）,6、求導(dǎo)法則,(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則,或,注意：,與,的區(qū)別,表示復(fù)合函數(shù)對自變量,求導(dǎo),（3）.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于正確地分解復(fù)合函數(shù)，正確地運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。,表示復(fù)合函數(shù)對中間變量,求導(dǎo),例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例 設(shè),，求,解,例設(shè),，求,解,首頁,上頁,下頁,(4) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,隱函數(shù)求導(dǎo)法:方程兩端同時對x求導(dǎo),注意在求導(dǎo)過程中要y=f(x)視為x的函數(shù),即把y視為中間變量。,見 P53 頁例3,例 求由方程,所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,方程兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得,例 求橢圓,

4、在點,處的切線方程.,解,所求切線斜率為,方程兩邊對x求導(dǎo),得,首頁,上頁,下頁,例 求由方程,所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),(5) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則,曲線t =1在處的切線斜率為,于是所求的切線方程為 y =x,例題：設(shè),，求,(6) 對數(shù)求導(dǎo)法,先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,適用范圍:,對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù),以及多因子乘積（或商）函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例. 見 P53 頁例4，5，6,首頁,上頁,下頁,兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得,解： 兩邊取對數(shù)，得,例 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,（7）抽象函數(shù)的求導(dǎo)法則,7、高階導(dǎo)數(shù),記作,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階

5、導(dǎo)數(shù)),求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)要根據(jù)求導(dǎo)的階數(shù)的不同而選擇不同的方法。 當只須求函數(shù)的2、3、4、5階導(dǎo)數(shù)時，通常選擇先求出函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，這樣一階接一階求下去， 直至求出所求階導(dǎo)數(shù)的方法。 當所求的階數(shù)比較高（超過五、六階）時，通常先求出函數(shù) 的一至四或五階導(dǎo)函數(shù)從中尋找出高階導(dǎo)函數(shù)表達式規(guī)律， 再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的高階導(dǎo)?；蛘呃贸Ｒ姾瘮?shù)的 高階導(dǎo)公式及高階導(dǎo)運算法則求出高階導(dǎo)數(shù)。,例,求,的n階導(dǎo)數(shù).,解,一般地，可得,例,解,求,的,階導(dǎo)數(shù).,一般地，可得,首頁,上頁,下頁,例,求,的,階導(dǎo)數(shù).,解,一般地，可得,上頁,下頁,練習(xí)：P51 2(1) (4) (5),8、微分,(微分的實質(zhì)),（1）微分的定義,（2）、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,定理,（3）、 微分的求法,求法:計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.,（4）基本初等函數(shù)的微分公式,函數(shù)和、差、積、商的微分法則,（5）、 微分的基本法則,微分形式的不變性,例.求函數(shù)的微分,(2),例. 設(shè),求,分析 ：,是R上的