高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之常微分方程部分

1、第 11 章 常微分方程習(xí)題課一 . 內(nèi)容提要1.基本概念含有一元未知函數(shù)y( x) ( 即待求函數(shù) )的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,稱為常微分方程 ;其中出現(xiàn)的 y( x) 的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為此微分方程的階; 使微分方程在區(qū)間i 上成為恒等式的函數(shù)y( x) 稱為此微分方程在 i 上的解 ;顯然一個(gè)微分方程若有解,則必有無(wú)窮多解 ;若 n 階微分方程的解中含有 n 個(gè)不可合并的任意常數(shù) ,則稱其為此微分方程的 通解 ;利用 n 個(gè)獨(dú)立的附加條件 (稱為定解條件 )定出了所有任意常數(shù)的解稱為 特解 ;微分方程連同定解條件一起 ,合稱為一個(gè)定解問(wèn)題 ;當(dāng)定解條件是初始條件(給出 y, y , y( n

2、 1) 在同一點(diǎn)x0 處的值 )時(shí) ,稱為初值問(wèn)題 .2.一階微分方程 yf ( x, y) 的解法(1)對(duì)于可分離變量方程 dy(x)( y) ,dx先分離變量 (當(dāng)( y)0時(shí))得dy(x)dx ,( y)再兩邊積分即得通解dy(x)dx c .( y)dyfy,x(2)對(duì)于齊次方程 dx作變量代換y,即 yxu ,可將其化為可分離變量的方程,分xu離變量后 ,積分得dudx c 再以 y代替 u 便得到齊次方f (u) ux,x程的通解 .(3)形如 dyf (axbyc ) 的方程 ,dxa1 xb1 yc1若 c,c1 均為零 ,則是齊次方程 ;若 c,c1 不全為零 ,則不是齊次方

3、程 ,但當(dāng) abk 時(shí) ,只要作變換 va1 x b1 y ,即可化為可分離a1b1變量的方程 dvb1f ( kvc )a1 ;dxvc1當(dāng)ab時(shí) , 只 要 作 平 移 變 換xxx0, 即a1b1y yy0xxx0( 其中 (x0 , y0 ) 是線性方程組ax byc0的惟一y y y0a1 x b1 y c10解 ),便可化為齊次方程dyf ( axby ) .dxa1 xb1y(4)全微分方程若 方 程 p(x, y)dxq ( x, y) dy 0 之 左 端 是 某 個(gè) 二 元 函 數(shù)uu( x, y) 的全微分 ,則稱其為 全微分方程 ,顯然 u( x, y)c 即為通解 ,

4、而原函數(shù) u( x, y) 可用曲線積分法、不定積分法或觀察法求得.通常用充要條件pq來(lái)判定 p( x, y)dx q(x, y)dy0 是否y x為 全 微 分 方 程 . 對(duì) 于 某 些 不 是 全 微 分 方 程 的p( x, y)dxq(x, y)dy0 ,可乘上一個(gè)函數(shù)(, x, y) 使之成為全微分方程p( x, y)dxq ( x, y) dy0(注意到當(dāng) ( x, y) 0 時(shí) p( x, y)dxq (x, y)dy0 與原方程同解 ),并稱(, x, y) 為積分因子 ;一般說(shuō)來(lái) ,求積分因子比較困難 ,但有時(shí)可通過(guò)觀察得到 .(5)一階線性微分方程 yp(x) y q(

5、x) 的通解公式當(dāng) q( x) 不恒為零時(shí) ,稱其為一階線性非齊次微分方程;當(dāng) q(x)恒為零 ,時(shí),即 y p( x) y0 稱為一階線性齊次微分方程,這是一個(gè)可分離變量的方程 ,易知其通解為 ycep ( x )dx;由此用“常數(shù)變易法”即可得到非齊次微分方程的通解y ep ( x)dx (cq(x)e p( x)d xdx) .(6) 對(duì)于 bernoulli 方程 yp( x) yq (x) yn ( n0,1),只需作變換z y1n,即可化為一階線性方程dz(1n) p( x)z(1n)q( x) .dx3.高階方程的降階解法以下三種方程可通過(guò)變量代換降成一階方程再求解:(1)對(duì)于方

6、程 y (n)f ( x) ,令 z y (n 1)化為 zf (x) ; 在實(shí)際求解中 ,只要對(duì)方程連續(xù)積分n 次 ,即得其通解ydxf ( x)dx c1 x n 1cn 1 x cn .n次(2)對(duì)于 yf ( x, y ) (不顯含 y ),作變換 py ,則 yp ,于是化一階方程 pf (x, p) ;顯然對(duì) y( n)f (x, y( n 1) ) 可作類似處理 .(3)對(duì)于 yf ( y, y ) (不顯含 x ),作變換 py ,則 yp dp ,于是dy可化為一階方程 p dpf ( y, p) .dy4.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)線性齊次微分方程解的性質(zhì)對(duì)于線性齊次微分方

7、程來(lái)說(shuō),解的線性組合仍然是解 .(2)線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)若 y1 , y2 , yn 是 n 階線性齊次微分方程的線性無(wú)關(guān)的解,則其通解為yc1 y1c2 y2cn yn .(3)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次微分方程的通解y ,等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y 與其自身的一個(gè)特解 y之和 ,即 yyy .(4)線性非齊次微分方程的疊加原理1設(shè) yk ( k1,2, , m )是方程y( n)p1 ( x) y (n 1)pn 1 ( x) ypn ( x) yf k (x)m的解 ,則yk是方程k1y ( n)p1 ( x) y (n 1)mpn 1 (x) ypn ( x) yf

8、k (x)k 1的解 .2若實(shí)變量的復(fù)值函數(shù) u( x) i v( x) 是方程y ( n )p1 (x) y( n 1)pn 1 ( x) ypn ( x) y f1 ( x) i f 2 (x)的解 ,則此解的實(shí)部 u( x) 是方程y( n)p1 ( x) y( n 1)pn 1 ( x) ypn (x) yf1 (x)的解 ;虛部 v(x) 是方程y ( n)p1 ( x) y( n 1)pn 1 (x) ypn ( x) yf 2 ( x)的解 .(5)線性非齊次方程的解與對(duì)應(yīng)的齊次方程解的關(guān)系線性非齊次方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解.5.常系數(shù)線性微分方程的解法(1)求常系

9、數(shù)線性齊次微分方程通解的“特征根法 ”1 寫出 y (n )p1 y( n 1)pn 1 ypn y0 的特征方程r np1 r n 1pn 1 rpn0 ，并求特征根；2 根據(jù)特征根是實(shí)根還是復(fù)根以及重?cái)?shù)寫出通解中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)(見下表 )特征根 r為給出通解中的單實(shí)根1項(xiàng): cerxk 重實(shí)根k 項(xiàng): erx (c1c 2 xc k x k 1 )一對(duì)單復(fù)根2項(xiàng): e x (c1 cos xc 2 sin x)r1,2i一對(duì) k 重復(fù)根2k 項(xiàng) : e x ( c1c2 xc k xk1 ) cosxr1,2i(d1d 2 xd k x k1 ) sinx(2)下列兩種情況可用“待定系數(shù)法”求常

10、系數(shù)線性非齊次方程的特解1 對(duì)于 f ( x) pm (x)e x ,應(yīng)設(shè)特解yx k qm ( x)e xx k ( a0 x ma1 xm 1am 1 xam )e x ,其中 k 等于為特征根的重?cái)?shù)( 0kn ), a0 , a1,l , am 是待定系數(shù) .將 y 代入原方程 ,可定出 a0, a1,l , am ,從而求得 y .2 對(duì)于 f ( x)e x pl ( x) cosxps sinx(0 ),應(yīng)設(shè)特解yxk e x rm (x) cosx tm ( x) sinx ,其中 k 等于i為特征根的重?cái)?shù) ( 0kn ), rm ( x),tm ( x) 是2待 定 的 m m

11、ax l , s次 多 項(xiàng) 式 . 將 y代 原 方 程 , 即 可 定 出rm ( x),tm ( x) ,從而求得 y .或因?yàn)?f ( x) e x pl ( x) cosx ps (x)sinxree x (pl (x)ips ( x)(cosxisin x)re qm ( x)e(i) x（其中 qm ( x)pl ( x)ips ( x) 是 m max l , s 次的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式） .對(duì)于方程y( n)p1 y( n 1)lpn 1 ypn yqm ( x)e(i ) x可設(shè)其特解yxk zm ( x)e(i ) x ，（ zm ( x) 是 m 次待定復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，k 等于i

12、為特征根的重?cái)?shù)），將 yxkzm (x)e( i) x 代入方程y( n)p1 y( n 1)lpn 1 y pn ym( i ) xq( x)e中，可定出 zm (x) ，于是 yxk zm ( x)e(i ) x ，從而原方程的特解y re y .3o特例當(dāng) f ( x) e x pl ( x)cos x或f (x) e x pl ( x)sin x時(shí),設(shè)y zl ( x)e( i ) x , 將其代入y( n)p1 y( n 1)lpn 1 ypn ypl ( x)e( i ) x ,求得 y ,則原方程的一個(gè)特解yrey 或 yimy .6.euler 方程的解法(1) 形如x n y

13、 (n )p1 x n 1 y( n 1)pn 1xypn yf (x)的線性變系數(shù)微分方程稱為 euler 方程 ,是一種可化為常系數(shù)的變系數(shù)微分方程 .(2) 解法只需作變換xet ,即 tln x ,即可將其化為常系數(shù)線性微分方程 .若引入微分算子 dd ,則dtxyd y , x2 yd(d1) y , xn y (n )d(d1)(dn1) y ,于是很容易寫出對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程.7. 應(yīng)用常微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1) 在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下 ,設(shè)出未知函數(shù) y y( x) ,據(jù)已知條件寫出相關(guān)的量 ;(2) 根據(jù)幾何、物理、經(jīng)濟(jì)及其它學(xué)科的規(guī)律 （往往是瞬時(shí)規(guī)律或局部近似

14、規(guī)律）建立微分方程 ;(3) 提出定解條件 ;(4) 求定解問(wèn)題的解 ;(5) 分析解的性質(zhì)，用實(shí)踐檢驗(yàn)解的正確性 .二 .課堂練習(xí) (除補(bǔ)充題外 ,均選自復(fù)習(xí)題12)1.填空題22(1)已知 y1ex 及 y2xex 是方程 y4xy( 4x 22) y0 的解 ,2則其通解為ex (c1c2 x).222解 : 因 y1ex , y2xex 都是解 ,且線性無(wú)關(guān) ,故 ex (c1c2 x) 是通解 .(2)設(shè)一質(zhì)量為 m 的物體 ,在空氣中由靜止開始下落 .若空氣阻力為r kv,則其下落的距離s所滿足的微分方程是 sksg ,m初始條件是s(0)0, s (0) 0 .解:因?yàn)?fma

15、而 fmgkvvs,as,故得方程os(0),mg ksms,化簡(jiǎn)得 sksg ;s(t )m在如圖所示的坐標(biāo)系下 ,初始條件為 s( 0)0, s (0) 0.s(3) 微 分 方 程 y2 yy6xex的 特 解 y的 形 式 為x2 (axb)ex.解 : 因?yàn)樘卣鞣匠虨?r 22r10 , r1r21, 而1 是二重特征根 ,故應(yīng)設(shè) yx2 (axb)ex .(4)若 y1x2 , y2x2e2 x , y3x2e2xe5x 都是線性非齊次微分 方 程 yp( x) yq( x) yf (x)的 解 , 則 其 通 解 為c1e2xc2e5xx2.解 : 由線 性 非 齊次 方程 的解

16、 與 對(duì)應(yīng) 的齊 次方 程解 的關(guān) 系可知 ,y1 y2y1e2 x ,y2y3y2e5 x 都是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解,且 線 性 無(wú) 關(guān) ,故 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 通 解 為y c1y1c 2 y2c1e2 xc 2 e5 x; 由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)得其通解y y y1c1e2 xc 2e5 xx 2 .xx2(5)(補(bǔ)充 )已知 f ( x) 滿足 xf ( x)12 f (t) dt ,則 f (x)1 e 2 .t0x解 :兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 f ( x)xf (x)x2 f (x) ,整理得f ( x)x1f (x) ,xx2ln c ,即 f (x)x2分離變量后積分得

17、ln f ( x)ln xc e 2 , x 0;2x又當(dāng) x 1時(shí)(1)11t 21111, f2 c e 2 dc(e2 1),即 ce21 ce2ctt0 t1 ,所以 f (x)x2故 c1 e 2 .x(6)( 補(bǔ) 充 ) 設(shè) f ( x)有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 且 f (0)1 . 若 曲 線 積 分lyf (x)dx f ( x)x 2 dy 與路徑無(wú)關(guān) ,則 f ( x)3ex2x 2 .解 :記 pyf ( x), qf ( x) x 2. 因 為 積 分 與 路 徑 無(wú) 關(guān) , 故 有pq,亦即.它的通解為yx ,即f ( x)f (x) 2xf ( x)f ( x)2xf

18、 ( x)dxdxdxc ex 2xe x dxc2x 2cex .e 2 xe由 f (0)1得 c3 ,于是 f (x)3ex2x2 .(7)( 補(bǔ)充 ) 已知 yy( x)在任意點(diǎn) x處的增量 yy x, 其中=o( x)，21xy(0) ,則 y(1)e4.解：由題設(shè)知， dyydx1x 2 .分離變量得 dydx，積分得 ln yarctanx c1,即 y cearctan x .y1 x2由 y(0) 得c ,故y(1) e4 .2.選擇題(1)函數(shù) yc1e2x c2 ( c1 ,c2 為任意常數(shù) )是微分方程 yy2 y0的(a) 通解 .(b) 特解 .(c) 不是解 .(

19、d) 解,但不是通解 ,也不是特解 .答( d )解 :因?yàn)?y c1e2 x c2 ce2x ,經(jīng)檢驗(yàn)是解 ,但含有任意常數(shù) ,故不是特解 ,又因?yàn)橹缓粋€(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) ,故也不是通解 .(2)微分方程 y2 y2 sin 22x ,其特解形式為 y(a) ab cos4xc sin 4x .(b) abx cos4xcx sin 4x .(c) axb cos4xc sin 4x .(d) axbx cos4xcxsin 4 x .答 ( c)解:y 2 y2 sin 22x1 cos4x特解為yy1 y2 .,因?yàn)閞22r0,r10, r22 而0是特征方程的單根,故應(yīng),設(shè) y1 ax

20、 ;而i4i不 是 特 征 方 程 根 , 故 應(yīng) 設(shè)y2b cos 4xc sin 4x ,因此 yy1 y2axb cos4x c sin 4x .(3)微分方程 (2 xy)dy (5x4y)dx 是(a) 一階線性齊次方程 .(b) 一階線性非齊次方程 .(c) 齊次方程 .(d) 可分離變量方程 .答( c )解 :原方程可化為 dy5x4 y54yx .dx2xyy2x(4)(補(bǔ)充 )具有特解 y1e x , y22xe x , y33ex 的三階常系數(shù)線性齊次微分方程是(a) yyyy0 .(b) yyyy0 .(c) yyyy0 .(d) yyyy0 .答( b )解 : 由方

21、程的特解可知 ,其特征根為 r1r21, r31 ,于是特征方程為 ( r 1)2 ( r1)0 即 r 3r 2r10 ,故方程為yyyy0.(5)( 補(bǔ)充 ) 方程 y9 y0 通 過(guò)點(diǎn) ( , 1) 且在 該點(diǎn) 處與 直線y1x相切的積分曲線為(a) yc1 cos3xc2 sin3x .(b) ycos3x c2 sin 3x .(c) ycos3x.(d) ycos3x1 sin3x .3答 ( d)解 : 因?yàn)?r 290 , r1, 23i,故通解為 yc 1 cos3xc2 sin3x .由初始條件 y()1, y ( )1 得 c11, c21 ,所以所求積分曲線3為yx1

22、sin 3x.cos33(6)(補(bǔ)充 )方程 y( 4 )yex3sin x 的特解應(yīng)設(shè)為(a) aexb sin x .(b) aexb cos xc sin x .(c) axexb cos xc sin x .(d) x(aexb cos xc sin x) .答(d)解 :對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r 410 ,特征根為r11, r21, r3i, r4i .令 f ( x)ex3sin xf1 (x)f 2 (x) .對(duì)于 f1 ( x)ex ,因1是單特征根 ,故設(shè) y1axex ; 對(duì)于 f2 (x)3 sin x ,因ii 是單特征根 ,故設(shè)y2 x(b cos xc sin

23、x) ；從而 yy1y2x( aexb cos xc sin x) .(7)(06 考研 )函數(shù) yc1exc 2e 2xxex 滿足的一個(gè)微分方程是(a) yy2y3xex .(b)yy2 y3ex .(c) yy2y3xex .(d)yy2 y3ex .答(d)解 :因?yàn)?r11,r22 ，即特征方程為 r 2r 2 0 ，故排除（ a ）、（ b）.由1是特征方程的單根，知f (x)aex，故排除（ c） .3.求下列方程的通解(2) dyyx;dx2 ln y解 :方程化為 dx2x2lny是一階線性方程.dyyy,122 ln y y2 dy cx2 yd y2ydydyc1ey l

24、n yey 2y1121212.y 2 22 y ln y4 ycln y2cy(5) xdxydyydxxdy0 ;x2y 2解 :原方程可化為 d 1 x2d 1y2darctan x0 ,故通解為22y1 x 21 y 2arctan xc .22y(10)yxx 2y .解 :設(shè) ux2y ,即 u 2x2y ,則 dy2u du2x .代入原方程得dxdxdu1x1.此為齊次方程 ,再設(shè)vu ,則 duvdv ,故方程化dx2uxdxx dx為 vx dvv 1 .分離變量為2vdv11 dx ，兩邊積分得dx2v2v2vx1ln 2v2v11 ln 2v11 ln v1ln xln

25、 c1 .233代回原變量并整理得x2y3x33 xy c .24.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(1) y 3dx2 x2xy 2 dy0 , y x11;解 :原方程化為 y3dx2 xy 2x2 ,即 dx2 x2x2 .dydyyy3令 zx1dz22,得 dyy zy3 .221ze yd y2e y d ydyc2 ln y c ,即y3y 2112 ln yc,故通解為 y2x 2 ln yc .xy 2由 y x 1 1,得 c1 ,所以特解為y2x 2 ln y 1 .(3)2ysin 2 y0 , y 02, y01 ;解 :令 py ,則 yp dp ,原方程化為

26、2p dp2 sin y cos y ,即dydy2pdp2 sin yd sin y .積分得p2sin 2 yc .由 y 0, y01,sin y .解之得 ln tan y2得 c0 ,故 ypx c .由 y 0, c0 .2arctan ex .22故特解為y5(補(bǔ)充 ).設(shè) yex 是微分方程xyp(x) yx 的一個(gè)解 ,求此微分方程滿足條件 y(ln 2)0 的特解 .解 : 將 yex 代 入 微 分 方 程 得 xexp(x)exx , 解 之 得p( x)xe xx , 于 是 此 微 分 方 程 為 xy( xe xx) yx , 即y(e x1) y1 .x其對(duì)應(yīng)的

27、齊次方程的通解為yceex ,于是此微分方程的通ceex xex1解 為 y. 由 y(ln 2) 0 得 ce 2 , 故 特 解 為ex x1y ex e2 .6( 補(bǔ)充 ).設(shè) l : yy( x) 是一條向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點(diǎn)( x, y) 處的曲率為1,且此曲線上點(diǎn)(0,1) 處的切線方程為1 y 2y x 1 ,求該曲線的方程 .解 : 因?yàn)榍€向上凸 ,故y 0 , 于是有y1,化簡(jiǎn)y 2 )3(11y 2得 二 階方 程 y(1y 2 ) . 令 py , 則 yp , 故 方 程 化 為p(1 p 2 ) . 分 離 變 量 后 積 分得 arctanpc1x . 由

28、題 設(shè)有p(0)y (0) 1,于是可定出 c14,所以 yptan(4x) ,再積分得 yln cos( x)c2. 由 y(0)1 得 c211 ln 2, 因此該曲線42l : yln cos( x)11 ln 2 .427(補(bǔ)充 ).某湖泊的水量為v ,每年排入湖泊內(nèi)含污染物a 的污水量為 v ,流入湖泊內(nèi)不含a 的水量 v ,流出湖泊的水量 v .已知6631999 年底湖中 a 的含量 5m0 ,超 國(guó)家 定指 . 了治理 染 ,從 2000 年初起 ,限定排入湖泊中含 a 水的 度不超 m0 .v 至少需 多少年 ,湖泊中 物 a 的含量降至 0以內(nèi)?(注設(shè)m:湖水中 a 的 度

29、是均勻的 .)解 :設(shè) 2000 年初 ( 此 t0 )開始 ,第 t 年湖泊中 物 a 的 量 m , 度 m , 在 隔 t , t dt 內(nèi),排入湖泊中 染物a 的量 vm0vdtm0dt ,流出湖泊的水中 a 的量 m vdtmdt ,因而在v66v33此 隔內(nèi)湖泊中 染物a 的改 量 dm( m0m) dt , m t 05m0 .63m0t9 m0 , 故分 離 變 量 解 得 mce 3 , 由 m t 05m0 得 c22m m0 (1 9e 3 ) . 2令 m m0 ,解得 t 6 ln 3 ,即至少需 6 ln 3 年湖泊中 物 a 的t含量降至 m0 以內(nèi) .8.求下列

30、 euler 方程的通解(2) x2 y4xy6 y x .解 :設(shè) xt,方程化 d2ydy6 yedt25r 2dt5r 6 0r12 , r23 .設(shè) yaet,代入方程（ * ），得 eta1 , 故 y1 et .從而原方程的通解 22et . .（* ）y c1e2 t c 2e3 t .a 5a 6aet .由此定出y c1 x2c2 x 3 1 x .29. 于半空 x0s,都有內(nèi)任意的光滑有向封 曲面xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx e2 x zdxdy0 ，s其中 f x 在 0,內(nèi)具有 的一 數(shù) , 且 limf x 1 , 求x 0f x .解 :由曲面積分與曲面無(wú)關(guān)的條件pqr0, 有xyzxf xf xxf xe2 x0 , 即 f x1 1 f x1 e2 x .xx11所以 f x1x dx1 e2 xe1 xdxcedxxex11 e2 xe xxdxc1 exexc .xxx由 lim f x1, 即 lim 1 ex exc1, 可求出 c1 ,故x 0x 0 xfx1 exex1 .x10(補(bǔ)充 ).設(shè)函數(shù) y( x)( x0) 二階可導(dǎo)且y (x)0, y(0)1 . 過(guò)曲線y y(x) 上任意一點(diǎn) p( x, y