高等數(shù)學(xué)筆記

1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù) 1.1 函數(shù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義 :y=f(x),x d定義域 : d(f),值域 : z(f).2. 分段函數(shù) : yf ( x )xd1g( x )xd 23. 隱函數(shù) :f(x,y)= 04. 反函數(shù) :y=f(x) x= (y)=f -1 (y)y=f-1(x)定理 : 如果函數(shù) : y=f(x), d(f)=x, z(f)=y是嚴(yán)格單調(diào)增加 ( 或減少 ) 的；則它必定存在反函數(shù)：y=f -1 (x), d(f-1 )=y, z(f-1 )=x且也是嚴(yán)格單調(diào)增加( 或減少 ) 的。函數(shù)的幾何特性1. 函數(shù)的單調(diào)性 : y=f(x),x d,x

2、 1、 x2 d當(dāng) x1 x2 時(shí), 若 f(x 1) f(x 2),則稱 f(x) 在 d內(nèi)單調(diào)增加 ( )；若 f(x 1) f(x 2),則稱 f(x)在 d 內(nèi)單調(diào)減少 ( )；若 f(x 1) f(x 2),則稱 f(x)在 d內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若 f(x 1) f(x 2),則稱 f(x)在 d 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。2. 函數(shù)的奇偶性： d(f) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)： f(-x)=f(x)奇函數(shù)： f(-x)=-f(x)3. 函數(shù)的周期性：周期函數(shù)： f(x+t)=f(x), x (- ， + )周期： t最小的正數(shù)4. 函數(shù)的有界性： |f(x)| m , x (a,b)

3、基本初等函數(shù)1. 常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c 為常數(shù) )2. 冪函數(shù)：y=xn ,(n為實(shí)數(shù) )3. 指數(shù)函數(shù)： y= ax , (a 0、 a 1)4. 對(duì)數(shù)函數(shù)： y=log a x ,(a 0、a 1)5. 三角函數(shù)： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6. 反三角函數(shù)： y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)：y=f(u) , u= (x)y=f (x) , x x12. 初等函數(shù) :由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除

4、）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù) 1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限 :limy a 稱數(shù)列yn 以常數(shù) a 為極限 ;或稱數(shù)列yn 收斂于 a.nn定理 : 若 yn的極限存在yn必定有界 .2. 函數(shù)的極限：當(dāng)當(dāng)limf (x)alim f ( x) ax時(shí)， f ( x) 的極限：xlimf (x)axxx x0時(shí)， f (x) 的極限： lim f (x) ax x0左極限： lim f (x) a右極限： lim f ( x) ax x0x x0函數(shù)極限存的充要條件：定理： lim f (x) alim f (x)lim f (x) ax x0x

5、xx x00無(wú)窮大量和無(wú)窮小量1無(wú)窮大量：lim f (x)稱在該變化過程中f (x) 為無(wú)窮大量。x 再某個(gè)變化過程是指：x, x, x, x x0 , xx0 , x x02無(wú)窮小量： lim f (x) 0稱在該變化過程中f (x) 為無(wú)窮小量。3無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：定理： lim f ( x) 0lim1)0),( f ( xf ( x)4無(wú)窮小量的比較： lim0, lim0若 lim0 ,則稱是比較高階的無(wú)窮小量；若 limc（ c 為常數(shù)），則稱與同階的無(wú)窮小量；若 lim1，則稱與是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：；若 lim,則稱是比較低階的無(wú)窮小量2定理： 若：1 1，2 2；

6、 ： lim兩面 定理1數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn) ：1lim122 ： ynxnzn（ n=1 、2、 3）且：lim ynlim zna ：lim xnannn2函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn) ： ： 于點(diǎn) x0的某個(gè) 域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn) x0 除外）有：g (x)f ( x)h(x) 且： lim g( x)lim h( x)a ： limf (x) axx0xx0x x0極限的運(yùn)算 若： lim u( x)a,lim v(x) b ： limu(x)v(x)limu( x)lim v( x)ab lim u( x)v( x)lim u( x)lim v( x)ab lim u(x)lim u(x)a(l

7、im v(x)0)v(x)lim v( x)b推 ： lim u1 ( x)u2 ( x)un ( x)lim u1 ( x )lim u2 ( x)lim un ( x) lim cu(x)clim u( x) lim u ( x) nlim u( x) n兩個(gè)重要極限1 lim sin x1或 limsin( x )1x 0x( x )0( x )1 ) x12 lim (1elim (1x ) xexxx0 1.3 連續(xù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的 性1. 函數(shù)在 x0 ： f ( x) 在 x0 的 域內(nèi)有定 ，o lim ylim f (xx) f (x ) 0olim f (x)f ( x

8、0 )1x0002x x0x 0左 ： limf ( x)f (x0 )右 ： lim f ( x)f ( x0 )xx0xx02. 函數(shù)在 x0 的必要條件：定理： f ( x) 在 x0 處連續(xù)f ( x) 在 x0 極限存在33. 函數(shù)在 x0 處連續(xù)的充要條件：lim f (x) f ( x0 )lim f (x)lim f ( x)f (x0 )定理： xx0x x0x x04. 函數(shù)在a,b 上連續(xù)：f (x) 在 a,b 上每一點(diǎn)都連續(xù)。在端點(diǎn) a 和 b 連續(xù)是指：lim f ( x)f (a)xalim f ( x)f (b)xb左端點(diǎn)右連續(xù)；右端點(diǎn)左連續(xù)。a+0b-x5.

9、函數(shù)的間斷點(diǎn)：若f (x) 在 x0 處不連續(xù)，則 x0 為 f (x) 的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況：o)x( f在 x0 處無(wú)定義； 2olimf (x)1xx0不存在；o)x( f在 x0 處有定義，且limf (x)3xx0存在，limf ( x)f (x0 )但 x x0。兩類間斷點(diǎn)的判斷：1o 第一類間斷點(diǎn)：limf ( x)limf (x)特點(diǎn)： xx0和 xx都存在。0lim f ( x)可去間斷點(diǎn) ： xx0存在，但4lim f (x)f ( x0 )x( f在 x0 處無(wú)定義。x x0，或2o 第二類間斷點(diǎn)：lim f ( x)limf (x)特點(diǎn)： xx0和 x x至少有一

10、個(gè)為，0lim f ( x)或 xx0振蕩不存在。lim f ( x)limf (x)無(wú)窮間斷點(diǎn) ： x x0和 x x0至少有一個(gè)為函數(shù)在 x0 處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：lim f (x)f ( x0 )lim g(x) g(x0 )設(shè) x x， x x001olim f ( x)g( x)f ( x0 )g( x0 )x x02olim f ( x)g( x)f ( x0 ) g( x0 )x x0f ( x)f ( x0 )limg( x) 0limg( x0 )3o xx0 g( x)x x02. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：yf (u),u(x),yf ( x)lim(x)( x

11、0 ),limf (u)f (x0 )x x0u( x0)則： lim f ( x)f lim( x)f ( x0 )x x0xx03. 反函數(shù)的連續(xù)性：5yf ( x),xf 1 ( x),y0f ( x0 )lim f ( x)f ( x0 )lim f 1( y)f 1( y0 )x x0y y0函數(shù)在 a, b 上連續(xù)的性質(zhì)1.最大值與最小值定理：f (x) 在 a, b 上連續(xù)f (x) 在 a, b 上一定存在最大值與最小值。yy+mmf(x)f(x)0abxm-m0abx2.有界定理：f (x) 在 a, b 上連續(xù)f (x) 在 a, b 上一定有界。3.介值定理：f (x)

12、在 a, b 上連續(xù)在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f () c ，其中：m cmyymf(x)cf(x)60abxm0a 1 2bx推論：f (x) 在 a,b 上連續(xù)，且 f (a) 與 f (b) 異號(hào)在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f ( )0 。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念yf ( x )1導(dǎo)數(shù)：在 x 0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，limylimf ( x0x )f ( x0 )limf ( x )f ( x0 )x 0xx 0xx x0xx0y x x0f ( x0 )dyx x

13、0dx2左導(dǎo)數(shù)：f( x0 )limf ( x )f ( x0 )f ( x) f ( x 0 )x x0右導(dǎo)數(shù)： f ( x 0 ) limx x 0xx0x x 0定理： f ( x) 在 x0 的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；則： f (x 0 )limf ( x )xx0（或： f ( x0 ) lim f( x ) ）x x 03.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：定理： f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)f ( x ) 在 x 0 處連續(xù)4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理： y x x 0f ( x0 ) 存在f ( x 0 )f ( x 0 ) ，7且存在。5.導(dǎo)函數(shù)：yf (x ),x

14、(a, b)f ( x ) 在 (a,b) 內(nèi)處處可導(dǎo)。yf ( x0 )f ( x)6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：yf ( x 0 ) 是曲線 yf ( x ) 上點(diǎn)xmx0 , y 0 處切線的斜率。ox0x求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：1o（ uv)uv2o（ uv)uv uv3ouuvu v(v0)vv 23.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yf (u),u( x ),yf ( x)dydyduf ( x )( x )dxdu，或 f ( x) dx注意 f ( x ) 與 f ( x ) 的區(qū)別：f ( x ) 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x 求導(dǎo)；f ( x ) 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量( x ) 求

15、導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)：f( x ),f( x ),或 f (3 ) ( x )f ( n ) ( x ) f ( n 1) ( x ) ,(n2,3,4 )函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)等于其n-1 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念1.微分：f ( x ) 在 x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，ya( x )xo(x )8其中： a( x ) 與x 無(wú)關(guān)， o( x ) 是比x 較高lim o( x )0階的無(wú)窮小量，即：x0x則稱 yf ( x) 在 x 處可微，記作：dya( x) xdy a( x )dx( x 0)2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：定理：f ( x ) 在 x 處可微f ( x) 在 x 處可導(dǎo)，且：f ( x

16、)a( x )3.微分形式不變性：dyf (u)du不論 u 是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分 dy 都具有相同的形式。 2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理 :f ( x ) 滿足條件 :10 在 a , b 上連續(xù)；.2 0 在 ( a , b )內(nèi)可導(dǎo);.03 . f ( a )f ( b ).在 ( a , b )內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f()0 .yf ()f ( )f ( x)9f ( x)aobxaobx2.拉格朗日定理：f ( x ) 滿足條件 :10 在 a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：20 在( a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f ( b)f (a)

17、f ( )ab羅必塔法則： （0 ,型未定式）0定理：f (x) 和 g(x) 滿足條件：lim f ( x)0(或 ）x a0(或 ）1olim g( x)；xa2o 在點(diǎn) a 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g (x)0 ；limf ( x)a, （或 ）3o x a() g ( x)f ( x)f( x)）limlima, （或則：x a( ) g( x)x a( ) g (x)注意： 1o 法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。2 o 若不滿足法則的條件，不能使用法則。0即不是0 型或 型時(shí)，不可求導(dǎo)。103 o 應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。4 o 若

18、f (x) 和 g (x) 還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：f ( x )f ( x )f ( x)a （或）limlimlimx a( ) g( x )x a( ) g ( x )x a( ) g ( x )5 o 若函數(shù)是 0,型可采用代數(shù)變0型；若是 1,00,0形，化成 0 或型可0采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成0 或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)： yf ( x ),m ( x0 , y0 )切線方程：法線方程：yy0f ( x0 )( xx0 )1yy0( xx0 ),( f ( x 0 )0)f ( x 0 )2 曲線的單調(diào)性： f ( x )0x(a, b)f (

19、x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加；f ( x)0x(a,b)f ( x )在(a, b)內(nèi)單調(diào)減少；11f ( x )0x(a,b)f ( x )0x(a, b)3.函數(shù)的極值：極值的定義：在 (a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；在 (a, b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。設(shè)f ( x) 在 (a, b) 內(nèi)有定義，x0 是 (a,b) 內(nèi)的一點(diǎn)；若對(duì)于x0xx0，都有：的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)f ( x0 )f ( x) 或f (x0 )f (x)則稱f ( x0 ) 是 f (x) 的一個(gè)極大值（或極小值） ，稱 x0 為 f (x) 的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)） 。極值存在的必要條件：10. f ( x)存在極值 f (

20、 x0 )定理：20. f ( x0 )存在。f ( x0 )0x0 稱為 f (x) 的駐點(diǎn)極值存在的充分條件：定理一：10. f ( x)在x0處連續(xù)；20. f ( x0 )0或f ( x0 )不存在； f (x0 )是極值；x0是極值點(diǎn)。30. f (x)過x0時(shí)變號(hào)。12當(dāng) x 漸增通過 x0 時(shí)， f (x) 由（ +）變（ -）；則 f ( x0 ) 為極大值；當(dāng) x 漸增通過 x0 時(shí)， f (x) 由（ -）變（ +）；則 f ( x0 ) 為極小值。10. f ( x ) 0；f (x0 )是極值；020. f (x )存在。x0是極值點(diǎn)。定理二：0若若f( x0 )0，則

21、f( x0 )0，則f (x0 ) f (x0 )為極大值；為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4 曲線的凹向及拐點(diǎn)：若若f (x)0, xa,bf ( x)0, xa,b；則f (x) 在 (a,b) 內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；則f (x) 在 (a, b) 內(nèi)是下凹的（或凸的） ，（）；10. f (x0 )0，x0 , f ( x0 ) 稱 20. f (x)過x0時(shí)變號(hào)。 為f (x)的拐點(diǎn)。5。曲線的漸近線：水平漸近線：若 lim f (x)ay a是 f ( x)x或 lim f (x)a的水平漸近線。x鉛直漸近線：13若 lim f ( x)x c是f (

22、x)x c或 lim f ( x)的鉛直漸近線。x c第三章一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分一、主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：f ( x),f ( x),xd1原函數(shù)：設(shè)：若： f ( x )f ( x )則稱 f ( x ) 是f ( x ) 的一個(gè)原函數(shù)，并稱 f ( x)c 是 f ( x ) 的所有原函數(shù) ,其中 c 是任意常數(shù)。2不定積分：函數(shù)f ( x ) 的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù)f ( x ) 的不定積分；記作：f ( x )dxf ( x )c其中：f ( x ) 稱為被積函數(shù)；f ( x )dx 稱為被積表達(dá)式；x 稱為積分變量。3. 不定積分的性質(zhì)：14f ( x )dxf

23、 ( x )或： df ( x )dxf ( x )dxf ( x)dxf ( x)c或：df ( x)f ( x)c f 1 ( x )f 2 ( x )f n ( x )dxf 1 ( x )dxf 2 ( x)dxf n ( x )dx分項(xiàng)積分法kf ( x)dxkf ( x )dx (k 為非零常數(shù) )4.基本積分公式：換元積分法：第一換元法： （又稱“湊微元”法）f ( x) ( x)dxf ( x )d ( x )湊微元f (t )dtf (t )c令 t( x )f ( x)c回代 t( x )常用的湊微元函數(shù)有：1odx1 d(ax)1 d(ax b)(a,b為常數(shù)， a 0)

24、aa15x m dx1dx m 11d (ax m 1b)2om1a(m1)（ m為常數(shù)）oex dx d (ex )1 d (aexb)3aax dx1 d(ax ), (a 0, a 1)ln a14oxdxd(ln x )5osin dxd (cos x)cos xdxd (sin x )sec2 xdxd (tan x)csc2 xdxd (cot x )1dx d(arcsin x )d(arccos x)6o1x21dx d(arctan x )d(arc cot x)1 x22.第二換元法：f ( x )dxf (t )d(t )令 x( t )(t ) f (t )dxf (t

25、 )c16f 1 ( x )c反代 t1 ( x )第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1oxt n ,n為偶數(shù)時(shí) , t0(當(dāng)被積函數(shù)中有nx 時(shí) )2oxa sin t ,(或 xa cos x ),0t2(當(dāng)被積函數(shù)中有a2x 2時(shí) )3oxa tan t ,(或xa cot t ),0t2 ,(0t2 )(當(dāng)被積函數(shù)中有a2x2時(shí) )4oxa sect ,(或 xa csct ),0t2 ,(0t2 )(當(dāng)被積函數(shù)中有x 2a2 時(shí) )分部積分法：1. 分部積分公式：udvu vvduu v dxu vuvdx2.分部積分法主要針對(duì)的類型：

26、p( x) sin xdx,p( x) cosxdx17p( x)ex dxp( x) ln xdxp( x) arcsin xdx,p( x ) arccos xdxp( x ) arctan xdx ,p( x )arc cot xdxeax sin bxdx ,eax cosbxdx其中： p( x ) a0x nax n 1an（多項(xiàng)式）13.選 u 規(guī)律：在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令p( x )u ，其余記作 dv;簡(jiǎn)稱“三多選多” 。在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令p( x )u ，其余記作 dv;簡(jiǎn)稱“指多選多” 。在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令ln xu ，其余記作 dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)” 。在

27、多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為 u，其余記作 dv;簡(jiǎn)稱“多反選反” 。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為 u，其余記作 dv;簡(jiǎn)稱“指三任選” 。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：p( x )f ( x )1. 有理函數(shù)：q( x )其中 p( x )和q( x ) 是多項(xiàng)式。2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)：18f ( x )p( x ) , f ( x)p( x)1x1 x2f ( x )p( x )( xa)( x b)p( x )f ( x )a)2b( x 3.2 定積分f(x)一主要內(nèi)容（一） .重要概念與性質(zhì)1.定積分的定義：oa x1 x2 xi-1 i xixn-1 b xbnlimx0 if

28、 ( i ) xixi 1 , xif ( x )dx1ian定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x 軸，曲線 y=f(x),直線 x=a,x=b 之間各部分面積的代數(shù)和。x 軸上方的面積取正號(hào)，yx軸下方的面積取負(fù)號(hào)。+a 0- b x2. 定積分存在定理：設(shè)： yf ( x)xa, b若： f(x) 滿足下列條件之一:1 . f ( x )連續(xù)， xa, b ;2 . f ( x )在 a, b 上有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);3 . f ( x)在 a, b 上單調(diào)有界 ;則： f ( x)在 a, b 上可積。若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：191 與積分變量形

29、式無(wú)關(guān)，bb即f ( x )dxf ( t )dt;aa2與在 a,b 上的劃分無(wú)關(guān)，即a,b 可以任意劃分 ;3與點(diǎn) i的選取無(wú)關(guān)，即i 可以在 xi1, xi 上任意選取。積分值僅與被積函數(shù)f ( x )與區(qū)間 a, b有關(guān)。3. 牛頓萊布尼茲公式：若 f ( x )是連續(xù)函數(shù) f ( x )在 a,b 上的任意一個(gè)原函數(shù)：b則： f ( x )dxf ( x ) baf (b)f (a)a* 牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理：若 f ( x )連續(xù)， xa,b ,x則： ( x)f (t )dt,

30、xa, ba( x )是 f ( x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，x且：( x )(f (t )dt )f ( x )a5. 定積分的性質(zhì)：設(shè) f ( x ), g( x )在a, b上可積，則：bb1kf ( x )dxkf ( x)dxaa20ba2f ( x )dxbf ( x )dxa3bbbf ( x) g( x) dxf ( x )dxg( x)dxaaa4a0f ( x )dxa5bcbf ( x )f ( x )dxf ( x )dx (a c b)aac6bba1dxayyyf(x)g(x)1f(x)0 acb x0ab x 0 ab x7f ( x ) g( x ),(a x

31、 b)則bbf ( x)dxg( x)dxaa8 估值定理：m(b a)bf ( x)dx m (b a)a其中 m, m 分別為 f ( x)在 a, b 上的最小值和最大值。yymf(x)f(x)m210abx0abx9 積分中值定理：若f ( x )連續(xù) xa, b ,則：必存在一點(diǎn)a, b ,bf ( ) (b a)使 f ( x)dxa（二）定積分的計(jì)算：1. 換元積分設(shè) f ( x )連續(xù)， xa, b，x(t )若(t )連續(xù)， t,且當(dāng) t從變到時(shí)， (t )單調(diào)地從 a變到 b,( ) a,( )b,bf (t )(t)dt則： f ( x )dxa2. 分部積分bbba u

32、dvu v aa vdu3. 廣義積分0f ( x )dxf ( x )dxf ( x )dx04. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式x1（f (t )dt ) xf ( x)a22( x )2 f (t )dt xf ( x)( x )a2 ( x )f (t )dt xf2 ( x )2 ( x)f1( x)1 ( x)3 1 ( x )( 三)定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積 :1 由 yf ( x )0,xa, xb,(ab)與 x 軸所圍成的圖形的面積yf(x)bsf ( x )dxa2 由 y1f ( x ), y2g( x ), ( fg)與xa, x b所圍成的圖形的面積bf ( x)g( x)

33、 dxsa3 由 x1( y),x2( y), ()與yc, yd所圍成的圖形的面積sd( y) dy( y)c4 .求平面圖形面積的步驟： .求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； .確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限； .應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積1 曲線 yf ( x ) 0,與 xa, x b 及 x 軸所圍圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：23v xb2 ( x)dxfa0abx2 由曲線 x( y)0,與 yc, yd 及 y 軸所圍成圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：v yd2 ( y)dyc第四章多元函數(shù)微積分初步 4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一 . 主要內(nèi)容： . 多元函數(shù)的概念3. 二元函數(shù)的定義：zf ( x , y)( x , y)d定義域： d( f )4.二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線） .二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1.極限定義：設(shè)z=f(x,y) 滿足條件