高數(shù)分部積分法

1、1,第三節(jié),由導(dǎo)數(shù)公式,積分得:,分部積分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易計(jì)算 .,分部積分法,第四章,(Integration by parts),分部積分公式 formula of integration by parts,生詞,3,分部積分法常見類型:,(1)指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積.,例如,(2)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積.,例如,(3)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積.,例如,解題技巧:,按 “ 反對(duì)冪指三” 的,順序,前者為 后者為,反: 反三角函數(shù) 對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪: 冪函數(shù) 指: 指數(shù)函數(shù) 三: 三角函數(shù),4,例1. 求,解: 令,則, 原式,思考: 如何求,提

2、示: 令,則,原式,5,例2. 求,解: 令,則,原式 =,6,例3. 求,解: 令,則, 原式,7,例4. 求,解: 令, 則,原式 =,8,例5. 求,解: 令, 則,原式 =,9,例6. 求,解: 令, 則, 原式,再令, 則,故 原式 =,說明: 也可設(shè),為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型,必須一致 .,10,例. 求 與,11,例7. 求,解: 令,則, 原式 =,12,例8. 求,解: 令,則, 原式 =,13,總結(jié),14,有了以上的六個(gè)基本積分公式,我們就可以計(jì)算以下的,兩類不定積分:,方法: 配元, 化為標(biāo)準(zhǔn)型, 然后根據(jù)上述公式即可得.,15,例. 求,16,例11. 求,解:

3、令,則,原式,令,17,例9. 求,解: 令,則,得遞推公式,18,說明:,遞推公式,已知,利用遞推公式可求得,例如,19,例10. 證明遞推公式,證:,注:,或,20,說明:,分部積分題目的類型:,1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;,2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;,(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ),例4,3) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 .,21,例12. 求,解法1 先換元后分部,令,即,則,故,22,解法2 用分部積分法,23,例13. 已知,的一個(gè)原函數(shù)是,求,解:,說明: 此題若先求出,再求積分反而復(fù)雜.,2

4、4,內(nèi)容小結(jié),分部積分公式,1. 使用原則 :,2. 使用經(jīng)驗(yàn) :,“反對(duì)冪指三” , 前 u 后,3. 題目類型 :,分部化簡(jiǎn) ;,循環(huán)解出;,遞推公式,4. 計(jì)算格式 :,25,練習(xí). 求,解:,令,則,可用表格法求 多次分部積分,26,練習(xí). 求,解: 令,則,原式,原式 =,27,思考與練習(xí),1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?,得 0 = 1,答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 .,求此積分的正確作法是用換元法 .,28,2. 求,對(duì)比 P370 公式(128) , (129),提示:,29,作業(yè),P213 1-24,30,備用題.,1.求不定積分,解：,方法1,(先分部 , 再換元),令,則,31,方法2,(先換