信號與系統(tǒng)-周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、,信號與系統(tǒng),Signal and System,3.3 周期信號的傅立葉級數(shù),1. 周期信號的傅立葉級數(shù)分析,根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號 可展開為三角傅里葉級數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)。,狄氏條件：,（1）在一周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；,（2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；,（3）在一周期內(nèi)，,電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當(dāng) 滿足 狄氏條件時(shí)， 才存在。, 周期信號的傅立葉級數(shù),周期信號f（t）展開為三角傅立葉級數(shù),設(shè) 是周期為T的函數(shù),三角函數(shù)集：, 周期信號的傅立葉級數(shù),根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirich

2、let)條件的周期連續(xù)信號 都可表示為無限多個(gè)、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號的加權(quán)和，若 其中， 為任何整數(shù)， 為周期， 為基頻， 為相應(yīng)的角頻率，則, 周期信號的傅立葉級數(shù), 周期信號的傅立葉級數(shù),2、周期信號f（t）展開為復(fù)指數(shù)付里葉級數(shù),證明：, 周期信號的傅立葉級數(shù),用FS分析是對周期信號進(jìn)行諧波分解，即用諧波加權(quán)和來合成信號，因此，F(xiàn)S分析又稱為諧波分析。, 周期信號的傅立葉級數(shù),周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。,F,F, 周期信號的傅立葉級數(shù),解:, 周期信號的傅立葉級數(shù), 周期信號的傅立葉級數(shù),解:, 周期信號的傅立葉級數(shù), 周期信號的傅立葉級數(shù),解:, 周期信號的傅立葉級數(shù),

3、 周期信號的傅立葉級數(shù),解:, 周期信號的傅立葉級數(shù), 周期信號的傅立葉級數(shù),周期信號的頻譜,為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。,一、 頻譜圖的概念,由上一節(jié)知周期信號f（t）可用付里葉級數(shù)來表示。,或, 周期信號的傅立葉級數(shù),二 、典型周期信號的頻譜,周期矩形脈沖信號,F（t）,T,t,T：脈沖周期,：脈沖寬度,A：脈沖幅度,第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù),f(t)是偶函數(shù),bn=0,T,：三角函數(shù)公共周期, 周期信號的傅立葉級數(shù),第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)FS, 周期信號的傅立葉級數(shù),當(dāng) 時(shí),第三步：頻譜分

4、析,與,之比值有關(guān)，取,與,包絡(luò)線均為,為離散頻率,即, 周期信號的傅立葉級數(shù),計(jì)算第一個(gè)振幅為零的諧波次數(shù)n,幅度頻譜圖, 周期信號的傅立葉級數(shù),0 an0,0,Fn0,Fn0,即,即, 周期信號的傅立葉級數(shù),-,第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與 、T 的關(guān)系,當(dāng),非周期信號,連續(xù)頻率,非周期信號連續(xù)頻譜,此例中 為一實(shí)數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。, 周期信號的傅立葉級數(shù), 周期信號的傅立葉級數(shù),對于一般頻譜，常以0頻率開始 振幅將為包絡(luò)線最大值的1/10的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度,2.當(dāng)T不變， 減小時(shí),T不變,間隔不變,振幅為0的諧波頻率,3.頻帶寬度的定義,對于周期矩形信號，一般,或,周期矩形信號的時(shí)間特性：f(t)變化快,f(t)變化慢,頻率特性：,變化快的信號必然具有較寬的頻帶。, 周期信號的傅立葉級數(shù),周期信號的頻譜特點(diǎn),(1)離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間 的間隔為 。這種頻譜常稱為離散頻譜。,(2)諧波性譜線在頻譜軸上的位置是基頻 的整數(shù)倍