412圓的一般方程

1、河北武邑中學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)備課人授課時(shí)間課題4.1.2圓的一般方程課標(biāo)要求教 學(xué) 目 標(biāo)知識(shí)目標(biāo)由圓的一般方程確定圓的圓心半徑掌握方程x2+ y2+Dx + Ey+ F=0表示圓的條件.技能目標(biāo)能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.情感態(tài)度價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法重點(diǎn)一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F .難點(diǎn)對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用-教 學(xué) 過(guò) 程 及 方 法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)設(shè)計(jì)課題引入：?jiǎn)栴}：求過(guò)三點(diǎn) A (0, 0) , B (1, 1) , C (4, 2) 的圓的方程。利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩，

2、得用 直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有 沒(méi)有其它的解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共冋研 究圓的方程的另一種形式一一圓的一般方程。 探索研究： 請(qǐng)同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a)2+ (y b)2=r2，圓心(a, b),半徑 r. 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)，并整理：x2+ y2 2ax 2by+ a2+ b2 r2=0.2 2 2取 D = 2a,E = -2b,F = a +b r 得2 2x +y +Dx+Ey + F= O這個(gè)方程是圓的方程.2 2反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如x + y + Dx+ Ey + F=0的方程，它表示的曲線一定是圓 嗎？把 x2+ y2 + Dx+ Ey+

3、F=0 配方得教 學(xué) 過(guò) 程 及 方 法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)設(shè)計(jì)2 2D 2E 2 D + E 4F(X+)2 +(y +)2 (配方過(guò)程224由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓？(1)當(dāng)D2 + E2 4F 0時(shí)，方程表示(1 )當(dāng)22DED +E 4F aO時(shí)，表示以(-,)為圓 心，LJd2 +E2 4F為半徑的圓；2(2 )當(dāng)D2十E24F=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解DEdEx, y，即只表示一個(gè)點(diǎn)(-，-),2222(3)當(dāng)D2 +E2 4F 0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而 它不表示任何圖形-綜上所述，方程 x + y +Dx+Ey + F=0表示的曲線 不一定是圓-只有當(dāng)D2十E2 -4F

4、 0時(shí)，它表示的曲線才是圓， 我2 2們把形如 x +y +Dx+Ey+F0的表示圓的方程稱為2勺圓的一般方程 (x+1 ) +y2 =4我們來(lái)看圓的一般方程的特點(diǎn)：(啟發(fā)學(xué)生歸納)(1)X和y2的系數(shù)相同，不等于 0.沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).(2) 圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù) D E、F, 因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了.(3) 、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊 的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較 明顯。知識(shí)應(yīng)用與解題研究：例1:判斷下列二元二次方程是否表示圓的方 程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。教教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)設(shè)計(jì)學(xué)

5、過(guò)2 2(1 陽(yáng) +4y2 -4x +12y +9 =02 2(2 )4x2 +4y2 -4x +12y +11 = 0分析：、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。、運(yùn)程用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對(duì)于(1 )4x +4y 4x+12y+9=0 來(lái)說(shuō)，這里的及D = -1E =3,F =9而不是 D=-4,E=12,F=9 .4方例2:求過(guò)三點(diǎn) A( 0，0)，B( 1，1)，C( 4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。法分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程-解:設(shè)所求的圓的方程為：

6、x2+y2+Dx+Ey + F= 0- A(0,0), B(1,1) ,C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于d,e,f的三兀一次方程組，T =0即JD +E +F +2 =0 4D +2E +F +20 =0解此方程組，可得：D =-8,E =6, F = 0-所求圓的方程為： x2 + y2-8x + 6y = 0-Ar = Jd2 + E2 -4F =5; =4, = -3-2 2 2得圓心坐標(biāo)為(4, -3 ).或?qū)2+ y2 8x +6y =0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(X-4)2為(4,-3)+ (y+3)2 =25，從而求出圓的半

7、徑 r =5，圓心坐標(biāo)學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：根據(jù)提議，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于 a、b、r或E、F的方程組；解出a、b、r或D E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方 程。教教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)設(shè)計(jì)學(xué) 過(guò) 程 及 方 法例3、已知線段 AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4, 3）,端 點(diǎn)A在圓上（x+1$+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M 的軌跡方程。分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知2 2圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程（x+1 ） + y =4。建立 點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn) M的坐標(biāo)滿 足的條件，求出點(diǎn) M的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)是（x,y ），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（X。，y。）由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3 ）且M是線段A X。+4y。+3x =y =2 ，y 2 于是有 x。=2x _4, y。=2y _3因?yàn)辄c(diǎn)A在圓（x+lY +y2 =4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A22的坐標(biāo)滿足方程（x +1） + y = 4,即2 2（X。+1 ） +y。=4