2018-2019學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高三(上)第二次段考數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、2018-2019 學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12 小題 .每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1（ 5 分）設(shè)集合 A x|2x3 ，Bx|x+1 0 ，則集合 AB 等于（）A x|2x 1B x|2x 1 C x| 1 x3D x|1 x32（5分）若 z i，則 |z|（）A BC +D +3（5分）設(shè) 0x2，且sinxcosx，則（）A 0xBCD4（5分）設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a2 +a4+a9 24，則 S9（）A36B72C144D705（ 5 分）已知 f（x）是定義在

2、 R 上周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) x（ 0，1）時，f（x）4x 1，則 f（log4）（）A 1B1CD6（5分）設(shè) a，b，cR，則“1，a，b，c，16 為等比數(shù)列” 是“b4”的（）A 充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件（分）正方體ABCD 1 11 1 中 E 為棱 BB1 的中點（如圖），用過點 A，E，7 5ABCDC1 的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）第1頁（共 24頁）ABCD8（5 分）莊子 ?天下篇中記述了一個著名命題： “一尺之錘，日取其半，萬世不竭”反映這個命題本質(zhì)的式子是（）A1+2B1+ 2C+1D+19

3、（5 分）如圖，在 OAB 中， P 為線段 AB 上的一點，x+y，且3，則（）A x， yBx，yC x， yD x， y10（ 5 分）已知集合 A1 ，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合 A 中任取三個元素，分別作為一個三位數(shù)的個位數(shù)，十位數(shù)和百位數(shù)，記這個三位數(shù)為a，現(xiàn)將組成 a 的三個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I（a），按從大到小排成的三位數(shù)記為D（ a）（例如 a219，則 I（a） 129， D（a） 921），閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個a，則輸出b 的值為（）第2頁（共 24頁）A792B693C594D495（分）已知點P 為橢圓+1上的

4、動點，22111 5EF 為圓 N：x +（y1）的任一直徑，求最大值和最小值是（）A16，124B17，134C19，124D20，13412（ 5 分）設(shè) ansin，Sna1+a2+an ，在 S1，S2， S100 中，正數(shù)的個數(shù)是（）A25B50C75D100二、填空題（共4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分）13（ 5 分）已知正實數(shù)x，y 滿足 xy9，則 x+9y 取得最小值時x，y14（ 5 分）等比數(shù)列 an 的首項 a11，前 n 項的和為Sn，若 S6 9S3，則 a615（5 分）如圖，為了側(cè)量河對岸電視塔 CD 的高度，小王在點 A 處測得塔頂 D 仰角 CAD

5、 為 30，塔底 C 與 A 的連線同河岸 AB 所成角 CAM 15，小王從 A 沿河岸向前走了1200m 到達(dá) M 處測得塔底 C 與 M 的連線同河岸線AB 所成角 BMC60，則電視塔 CD 的高度為m第3頁（共 24頁）16（ 5 分）設(shè) m1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù) z x+my 的最大值等于2，則 m三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17 （ 12分 ） 已 知 數(shù) 列 an 的 各 項 均 為 正 數(shù) ， 前n項 和 為Sn ， 且（）求數(shù)列 an 的通項公式；（）設(shè)，求 Tn18（ 12 分）某中學(xué)共有1000 名文科學(xué)生參加了該市高三第一次質(zhì)量檢查的考試，其

6、中數(shù)學(xué)成績?nèi)绫硭荆簲?shù)學(xué)成績分組50，70）70，90）90，110） 110，130）130， 150人數(shù)60x400360100（）為了了解同學(xué)們前段復(fù)習(xí)的得失， 以便制定下階段的復(fù)習(xí)計劃， 年級將采用分層抽樣的方法抽取 100 名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查甲同學(xué)在本次測試中數(shù)學(xué)成績?yōu)?75 分，求他被抽中的概率；（）年級將本次數(shù)學(xué)成績75 分以下的學(xué)生當(dāng)作“數(shù)學(xué)學(xué)困生”進(jìn)行輔導(dǎo)，請根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計“數(shù)學(xué)學(xué)困生”的人數(shù)；（）請根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計該學(xué)校文科學(xué)生本次考試的數(shù)學(xué)平均分（1 1 1 是底面邊長為2，高為的正三棱柱，經(jīng)過19 12 分）如圖， ABCA B CAB的截面與上底面相交于，設(shè)11

7、1（01）PQCP C A（ 1）證明： PQ A1 B1第4頁（共 24頁）（2）當(dāng) 時，在圖中作出點C 在平面 ABQP 內(nèi)的正投影 F（說明作法及理由），并求四棱錐 CABPQ 表面積20（ 12 分）已知橢圓C 的左、右焦點分別為、，且經(jīng)過點（ 1）求橢圓 C 的方程：（ 2）直線 ykx（ kR，k0）與橢圓 C 相交于 A，B 兩點， D 點為橢圓 C 上的動點，且 |AD| |BD|，請問 ABD 的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線 AB 的方程：若不存在，說明理由21（ 12 分）設(shè)函數(shù) f（ x）+（ 1 k） x klnx（）討論 f（x）的單調(diào)性；（）若 k 為正

8、數(shù)，且存在x0 使得 f（x0）k2，求 k 的取值范圍請考生在第 22， 23 題中任選一題作答，作答時請寫清題號.選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 222（ 10 分）已知曲線C1 的極坐標(biāo)方程為cos28，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為，曲線 C1、 C2 相交于 A、 B 兩點（pR）（）求 A、B 兩點的極坐標(biāo)；（）曲線C1 與直線（ t 為參數(shù)）分別相交于M，N 兩點，求線段MN 的長度選修 4-5：不等式選講 23設(shè) f（x） |x 1| 2|x+1|的最大值為 m（）求 m；第5頁（共 24頁）（）若 a，b， c（0，+），a2 +2b2+c2m，求 ab+bc 的最大值第6頁（共

9、 24頁）2018-2019 學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 小題 .每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1（ 5 分）設(shè)集合 A x|2x3 ，Bx|x+1 0 ，則集合 AB 等于（）A x|2x 1B x|2x 1C x| 1 x3D x|1 x3【分析】 先求出集合 B，再由交集的運(yùn)算求出A B【解答】 解：由題意得， Bx|x+1 0 x|x 1 ，又集合 A x|2x3 ，則 A B x| 1 x3 ，故選： C【點評】 本題考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2（5 分）若 z i，則 |

10、z|（）ABC+D+【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案【解答】 解： z i，則 |z|，故選： B【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法， 是基礎(chǔ)題3（5 分）設(shè) 0x2，且sinxcosx，則（）A 0xBCD【分析】 已知等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sinx 大于等于cosx，即可求出 x 的范圍【解答】解：|sinx第7頁（共 24頁） cosx|sinx cosx， sinxcosx 0，即 sinx cosx， 0 x2， x故選： C【點評】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵

11、4（5 分）設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a2 +a4+a9 24，則 S9（）A36B72C144D70【分析】把已知轉(zhuǎn)化為含有首項和公差的等式，求出a5 ，然后直接由 S99a5 得答案【解答】 解：在等差數(shù)列 an 中，由 a2+a4+a9 24，得： 3a1+12d24，即 a1+4d a58 S99a59872故選： B【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式， 考查了等差數(shù)列的前 n 項和，含有奇數(shù)項的等差數(shù)列的前 n 項和，等于項數(shù)乘以中間項，是基礎(chǔ)題5（ 5 分）已知 f（x）是定義在 R 上周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) x（ 0，1）時，f（x）4x 1，則 f（lo

12、g4）（）A1B1CD【分析】 由已知得f（log4） f（） f（） f（），由此能求出結(jié)果【解答】 解： f（x）是定義在 R 上周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) x（ 0， 1）時， f（x） 4x1， f（log4） f（） f（） f（）（1） 1故選： B【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)第8頁（共 24頁）的合理運(yùn)用6（ 5 分）設(shè) a，b，cR，則“1，a，b，c，16 為等比數(shù)列” 是“b4”的（）A 充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】先根據(jù)數(shù)列的第一項和第五項的值，求得公比q，進(jìn)而通過等比數(shù)列的通項公式

13、求得第三項b，再根據(jù)充分必要的條件的定義判斷即可【解答】 解：依題意可知 a11，a5 16， q416， q24，2 b a1q 4，則“ 1，a，b，c， 16 為等比數(shù)列”可以推出“ b 4”，但由 b4 不能推出“ 1， a， b， c，16 為等比數(shù)列”，故選： A【點評】 本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題7（ 5 分）正方體 ABCDA1B1C1D1 中 E 為棱 BB1 的中點（如圖），用過點 A，E，C1 的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）ABCD第9頁（共 24頁）【分析】 根據(jù)剩余幾何體的直觀圖即可得到平面的左視圖【解答】解：

14、過點 A，E，C1 的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖：則該幾何體的左視圖為C故選： C【點評】本題主要考查空間三視圖的識別，利用空間幾何體的直觀圖是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)8（5 分）莊子 ?天下篇中記述了一個著名命題： “一尺之錘，日取其半，萬世不竭”反映這個命題本質(zhì)的式子是（）A1+2B1+ 2C+1D+1【分析】根據(jù)已知可得每次截取的長度構(gòu)造一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，但累加和小于1，進(jìn)而得到答案【解答】解：根據(jù)已知可得每次截取的長度構(gòu)造一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，+11，故反映這個命題本質(zhì)的式子是+1，故選： D【點評】本題考查的知識點是等比數(shù)列的前n 項

15、和公式，數(shù)列的應(yīng)用，難度中檔第 10 頁（共 24 頁）9（5 分）如圖，在 OAB 中， P 為線段 AB 上的一點，x+y，且3，則（）A x， yBx，yC x， yD x， y【分析】由3，利用向量三角形法則可得，化為，又 x+y，利用平面向量基本定理即可得出【解答】 解：3，化為，又x+y，y故選： D【點評】本題考查了向量三角形法則、平面向量基本定理， 考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題10（ 5 分）已知集合 A1 ，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合 A 中任取三個元素，分別作為一個三位數(shù)的個位數(shù)，十位數(shù)和百位數(shù)，記這個三位數(shù)為a，現(xiàn)將組成 a 的三個數(shù)字按從小到大排成

16、的三位數(shù)記為I（a），按從大到小排成的三位數(shù)記為D（ a）（例如 a219，則 I（a） 129， D（a） 921），閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個a，則輸出b 的值為（）第 11 頁（共 24 頁）A792B693C594D495【分析】 利用驗證法判斷求解即可【解答】 解： A，如果輸出 b 的值為 792，則 a792，I （a） 279， D（ a） 972， b D（a） I （a） 972 279693，不滿足題意B，如果輸出 b 的值為 693，則 a693，I （a） 369， D（ a） 963， b D（a） I （a） 963 369594，不滿足

17、題意C，如果輸出 b 的值為 594，則 a594，I （a） 459， D（ a） 954， b D（a） I （a） 954 459495，不滿足題意D，如果輸出 b 的值為 495，則 a495，I（a） 459， D（a） 954，bD（ a） I（ a） 954459 495，滿足題意故選： D第 12 頁（共 24 頁）【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖， 用驗證法求解是解題的關(guān)鍵， 屬于基礎(chǔ)題（分）已知點P為橢圓+1上的動點，EF為圓22111 5N：x +（y1）的任一直徑，求最大值和最小值是（）A16，124B17，134C19，124D20，134【分析】根據(jù)題意，得

18、 |NE| |NF|1 且，由此化簡得1，根據(jù)橢圓方程與兩點的距離公式，求出當(dāng) P 的縱坐標(biāo)為 3 時，取得最大值 20，由此即得1 的最大值，當(dāng)P 的縱坐標(biāo)為時，取得最小值，由此即得 1 的最小值【解答】 解： EF 為圓 N 的直徑， |NE| |NF|1，且，則（+）（?+）（+）（?）1，設(shè) P（x0，y0），則有即 x02 16y02又 N（0，1），第 13 頁（共 24 頁）而 y02 ，2 ，當(dāng) y0 3 時，取得最大值 20，則120119，當(dāng) y0時，取得最小值，則11最大值和最小值是： 19，故選： C【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了向量知識以及配方法的運(yùn)用，屬于中

19、檔題12（ 5 分）設(shè) ansin，Sna1+a2+an ，在 S1，S2， S100 中，正數(shù)的個數(shù)是（）A25B50C75D100【分析】由于 f（n）sin的周期 T50，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知， a1，a2， ，a240， a26， a27， ， a490，f（n）單調(diào)遞減， a250，a26a50 都為負(fù)數(shù)，但是 |a26| a1，|a27|a2 ， ， |a49| a24，從而可判斷【解答】 解：由于 f（ n） sin的周期 T50由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2， ， a240，a250，a26， a27， ， a490， a500且 sin，sin 但是 f（n）單調(diào)遞減a26a4

20、9 都為負(fù)數(shù)，但是 |a26|a1，|a27|a2， ， |a49| a24 S1，S2， ， S25 中都為正，而 S26， S27， ， S50 都為正同理 S1， S2， ， s75 都為正， S1，S2， ， s75， ， s100 都為正，故選： D【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用， 解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用二、填空題（共4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分）13（ 5 分）已知正實數(shù)x，y 滿足 xy9，則 x+9y 取得最小值時x9， y1 第 14 頁（共 24 頁）【分析】由條件，運(yùn)用基本不等式：a+b2（ a，b0，ab 取得等號），

21、即可得到所求最小值時x，y 的值【解答】 解：由正實數(shù) x， y 滿足 xy9，可得 x+9y2 66318，當(dāng)且僅當(dāng) x 9y，即 x9，y 1 時，取得最小值 18故答案為： 9，1【點評】 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用變形和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14（ 5 分）等比數(shù)列 an 的首項 a1 1，前 n 項的和為 Sn，若 S69S3，則 a632 【分析】 由已知條件利用等比數(shù)列的前n 項和公式求出公比q，由此能求出a6的值【解答】 解： an 是首項為 1 的等比數(shù)列， Sn 為 an 的前 n 項和， S69S3，9，解得 q2， a625

22、32故答案為： 32【點評】 本題考查等比數(shù)列的第 6 項的求法，是基礎(chǔ)題，確定 q 是關(guān)鍵15（5 分）如圖，為了側(cè)量河對岸電視塔 CD 的高度，小王在點 A 處測得塔頂 D 仰角 CAD 為 30，塔底 C 與 A 的連線同河岸 AB 所成角 CAM 15，小王從 A 沿河岸向前走了 1200m 到達(dá) M 處測得塔底 C 與 M 的連線同河岸線AB 所成角 BMC60，則電視塔 CD 的高度為600m第 15 頁（共 24 頁）【分析】 在 ACM 中由正弦定理解出AC，在 Rt ACD 中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得出 CD【解答】解：在 ACM 中，MCA60 15 45，AMC180 60

23、120，由正弦定理得，即，解得 AC600在 ACD 中， tan DAC， DC ACtanDAC600600故答案為： 600【點評】 本題考查了解三角形的應(yīng)用，尋找合適的三角形是解題的關(guān)鍵16（ 5 分）設(shè) m1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù) z x+my 的最大值等于2，則 m【分析】 根據(jù) m1，可以判斷直線ymx 的傾斜角位于區(qū)間（）上，由此判斷出滿足約束條件件的平面區(qū)域的形狀，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)zx+my 對應(yīng)的直線與直線ymx 垂直，且在直線ymx 與直線 x+y 1 交點處取得最大值，由此可得關(guān)于m 的方程，從而求得m 值【解答】 解： m 1，由約束條件作出可行域如圖，第 16 頁（

24、共 24 頁）直線 ymx 與直線 x+y1 交于（），目標(biāo)函數(shù) z x+my 對應(yīng)的直線與直線y mx 垂直，且在（）處取得最大值，由題意可知，又 m 1，解得 m1+故答案為： 1+【點評】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù) zx+my 對應(yīng)的直線與直線ymx 垂直，且在（）點取得最大值，并由此列出關(guān)于m 的方程是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17 （ 12分 ） 已 知 數(shù) 列 an 的 各 項 均 為 正 數(shù) ， 前n項 和 為Sn ， 且（）求數(shù)列 an 的通項公式；（）設(shè)，求 Tn【分析】（）由，知，

25、所以（ an+an 1）（anan 1 1） 0，由此能求出 ann（）由，知，由此能求出 Tn【解答】 解：（）， 第 17 頁（共 24 頁），由 得：，（2 分）（ an+an1）（ anan 1 1） 0， an0，又， a11，（5 分）當(dāng) n1 時， a11，符合題意故 ann（6 分）（），（10 分）故（12 分）【點評】 本題考查數(shù)列的通項公式和前n 項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意迭代法和裂項求和法的合理運(yùn)用18（ 12 分）某中學(xué)共有 1000 名文科學(xué)生參加了該市高三第一次質(zhì)量檢查的考試，其中數(shù)學(xué)成績?nèi)绫硭荆簲?shù)學(xué)成績分組50，70）70，90）90，110） 1

26、10，130）130， 150人數(shù)60x400360100（）為了了解同學(xué)們前段復(fù)習(xí)的得失， 以便制定下階段的復(fù)習(xí)計劃， 年級將采用分層抽樣的方法抽取 100 名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查甲同學(xué)在本次測試中數(shù)學(xué)成績?yōu)?75 分，求他被抽中的概率；（）年級將本次數(shù)學(xué)成績75 分以下的學(xué)生當(dāng)作“數(shù)學(xué)學(xué)困生”進(jìn)行輔導(dǎo)，請根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計“數(shù)學(xué)學(xué)困生”的人數(shù)；（）請根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計該學(xué)校文科學(xué)生本次考試的數(shù)學(xué)平均分【分析】（）根據(jù)分層抽樣的定義以及概率的意義進(jìn)行求解（）求出 x，估計“數(shù)學(xué)學(xué)困生”的人數(shù)即可；（）根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行求解即可第 18 頁（共 24 頁）【解答】解：（）分層抽樣中， 每個個體被抽

27、到的概率均為：，故甲同學(xué)被抽到的概率 P； （ 4 分）（）由題意得 x 1 000（ 60+400+360+100） 80 （ 6 分）設(shè)估計“數(shù)學(xué)學(xué)困生”人數(shù)為m，則 m60+80 80故估計該中學(xué)“數(shù)學(xué)學(xué)困生”人數(shù)為80 人； （ 8 分）（ III ）該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分107.2估計該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為107.2 分 （ 12 分）【點評】本題主要考查分層抽樣、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想19（ 12分）如圖，1 1 1是底面邊長為 2，高為的正三棱柱，經(jīng)過ABCA B CAB 的截面與上底面相交于PQ，設(shè) C1P C

28、1A1（01）（ 1）證明： PQ A1 B1（2）當(dāng) 時，在圖中作出點 C 在平面 ABQP 內(nèi)的正投影 F（說明作法及理由），并求四棱錐 CABPQ 表面積【分析】（1）利用面面平行的性質(zhì)進(jìn)行證明；（ 2）點 C 在平面 ABQP 內(nèi)的正投影 F 點是 PQ 中點；根據(jù)線面垂直的判定定理，只要說明 CF平面 ABQP 即可【解答】 證明：（1）平面 ABC平面 A1B1C1，平面 ABC平面 ABQP AB，平面 ABQP平面 A1B1C1 QP， ABPQ，又 AB A1B1，PQA1B1（5分）解：（ 2）點 C 在平面 ABQP 內(nèi)的正投影 F 點是 PQ 中點，理由如下：第 19

29、頁（共 24 頁）當(dāng)時，P，Q 分別是 A1 C1，A1B1 的中點，連接 CQ 和 CP，因為 ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CQCP， CFQP，（6 分）取 AB 中點 H，連接 FH ，CH，CH在等腰梯形 ABQP 中，F(xiàn)H，連接 CF 中， CF，CF2+FH2CH2， CFFH， QP FH H， CF 平面 ABF，即 CF平面 ABQP，（9 分）所以 F 點是 C 在平面 ABQP 內(nèi)的正投影ABC2 +（12 分）SSCPQ+SCPA+SCQE+SPQEA+S【點評】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理的運(yùn)用以及線面垂直的判斷方法；關(guān)鍵是將面面關(guān)系以及線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系2

30、0（12 分）已知橢圓 C 的左、右焦點分別為、，且經(jīng)過點（ 1）求橢圓 C 的方程：（ 2）直線 ykx（ kR，k0）與橢圓 C 相交于 A，B 兩點， D 點為橢圓 C 上的動點，且 |AD| |BD|，請問 ABD 的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線 AB 的方程：若不存在，說明理由【分析】（1）根據(jù)題意，求出 a， b，即可求出橢圓C 的方程；（ 2）設(shè)直線 AB 的方程為 ykx，與橢圓方程聯(lián)立，求出 A 的坐標(biāo)，同理可得點 C 的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出 ABD 的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論【解答】 解：（1）由題意， a2，b1，橢圓 C 的方程：1；（ 2） D 在

31、AB 的垂直平分線上， OD：yx第 20 頁（共 24 頁），可得（ 1+4k2）x2 4， |AB|2|OA|24，同理可得 |OD|2，則 SABD2SOAD|OA|OD|由于，所以 SABC 2SOAC ，當(dāng)且僅當(dāng)22，即時取等號1+4k k+4ABDk1的面積取最小值直線 AB 的方程為 y x【點評】本題考查橢圓的方程， 考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題21（ 12 分）設(shè)函數(shù) f（ x）+（ 1 k） x klnx（）討論 f（x）的單調(diào)性；（）若 k 為正數(shù)，且存在x0 使得 f（x0）k2，求 k 的取值范圍【分析】（）求

32、出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)， 討論 k 的取值，分別解出 f（x）0，f（ x） 0 即可得出，（）由（）可求得函數(shù)的最小值，f（x0）k2，將其轉(zhuǎn)化成+1 lnk0，構(gòu)造輔助函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可求得k 的取值范圍【解答】 解：（） f（ x） x+1k，（） k0 時， f（ x） 0，f（ x）在（ 0，+）上單調(diào)遞增；（） k0 時， x（0，k），f（ x） 0；x（ k， +）， f（ x） 0， f（x）在（ 0， k）上單調(diào)遞減， f（x）在（ k， +）上單調(diào)遞增 （ 5 分）（）因 k 0，由（）知 f（ x）+k2的最小值為 f（k）+k2+kklnk，第 21 頁（共 24 頁）由題意得 +kklnk