二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系

1、本科生畢業(yè)論文目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1引言11二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念的定義12二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念之間的關(guān)系22.1二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系22.2二元函數(shù)連續(xù)與可微之間的關(guān)系32.3二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系32.4二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系4二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的關(guān)系圖6參考文獻(xiàn)7致謝8二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系摘要 一元函數(shù)可微與可導(dǎo)等價(jià)，可導(dǎo)必連續(xù).但二元函數(shù)并非如此，以下文章給出了二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系，并給出了簡(jiǎn)單的證明，且用實(shí)例說(shuō)明了它們之間的無(wú)關(guān)性和在一定條件下

2、所具有的共性.關(guān)鍵詞 二元函數(shù) 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù) 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a conti

3、nuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函數(shù)

4、的偏導(dǎo)數(shù)存在、函數(shù)連續(xù)、可微是二元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)重要概念.對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的人來(lái)說(shuō)，必須弄清三者之間的關(guān)系，才能學(xué)好、掌握與之相關(guān)的理論知識(shí).本文詳細(xì)討論這三者之間的關(guān)系.1 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念的定義定義1 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，（或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)），對(duì)于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要，就有，則稱關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù).定義2 設(shè)函數(shù)，若且在的某一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限存在時(shí)，則稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作.定義3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于中的點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為，其中、是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，是較高階的無(wú)窮小量，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微.2

5、 二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微三個(gè)概念之間的關(guān)系2.1 二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系例 在偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù).證明 因?yàn)?，同理可知 . 所以 在偏導(dǎo)數(shù)存在.因?yàn)?極限不存在，所以 在不連續(xù).例 在點(diǎn)連續(xù)，但不存在偏導(dǎo)數(shù).證明 因?yàn)?，所以 在點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)?,該極限不存在，同理 也不存在.所以 在點(diǎn)連續(xù)，但不存在偏導(dǎo)數(shù).此二例說(shuō)明: 二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在不等價(jià)，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，連續(xù)不一定偏導(dǎo)數(shù)存在.這與一元函數(shù)不同.一元函數(shù)中，可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo).2.2 二元函數(shù)連續(xù)與可微之間的關(guān)系定理 若在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)一定連續(xù).證明 在點(diǎn)可微， (1)所以 當(dāng)時(shí)，有，即 在該點(diǎn)連續(xù)

6、.例 證明在點(diǎn)連續(xù)，但在點(diǎn)不可微.證明 令，則.因?yàn)?,所以在點(diǎn)連續(xù).按偏導(dǎo)數(shù)定義,同理 .若在點(diǎn)可微，則應(yīng)是較高階的無(wú)窮小量.因?yàn)?該極限不存在,所以在點(diǎn)不可微.此例說(shuō)明: 二元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定可微，但可微一定連續(xù).這與一元函數(shù)有相同的結(jié)論.2.3 二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系定理 若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且(1)式中的.證明 因?yàn)?在點(diǎn)可微，則.若令上式中 ,則,所以 .即.類似可證.例 設(shè),則在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但在該點(diǎn)不可微.解 事實(shí)上（1），,故 在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在.（2）因?yàn)?，此時(shí)若令，則，此極限顯然不存在，所以不存在，所以 在

7、點(diǎn)不可微.此例說(shuō)明: 二元函數(shù)中，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微；可微則偏導(dǎo)數(shù)存在.這與一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)等價(jià)有區(qū)別.2.4 函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系定理 若二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在，且與在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微.證明 我們把全增量 在第一個(gè)括號(hào)里，它是函數(shù)關(guān)于的偏增量;在第二個(gè)括號(hào)里，則是函數(shù)關(guān)于的偏增量.對(duì)它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，得 （2）由于與在點(diǎn)處連續(xù)，因此有 ， （3） , （4）其中 當(dāng)時(shí)，有.將（3） ，（4）代入（2）式，則得.所以 函數(shù)在點(diǎn)處可微.例在處可微，但與均在處不連續(xù). 解 因?yàn)?所以 在處連續(xù).,同理 .當(dāng)時(shí)，極限不存在,故在點(diǎn)不連續(xù).

8、 同理可證在處不連續(xù).,所以在處可微.此例說(shuō)明 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件.由此可知定理3是可微的充分條件.由此引出定理4，降低函數(shù)可微的條件.定理 若在內(nèi)存在，且在連續(xù)，在存在，證明：在可微.證明 由已知 存在，且在連續(xù), 有 ,因?yàn)?，所以 ，又因 ，所以 在點(diǎn)可微.注 此定理中與互換，結(jié)論仍然成立.二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的關(guān)系如圖二元函數(shù)連續(xù) 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在 二元函數(shù)可微 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)參考文獻(xiàn)1常庚哲，史濟(jì)懷，數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，2003.6：972劉文燦，劉夜英，數(shù)學(xué)分析M.西安：陜西人民出版社，2004.9：1163朱正佑，數(shù)學(xué)分析M.上海：上

9、海大學(xué)出版社，2001.7：1884黃玉民，李成章，數(shù)學(xué)分析M.北京：科學(xué)出版社，1995.5：61-625華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（第二版）M.北京：高等教育出版社，1106周良金，王愛(ài)國(guó)，函數(shù)連續(xù)及可微的關(guān)系J.高等函授學(xué)報(bào)2005.10，19（5）：357陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004.10：142-1438劉新波，數(shù)學(xué)分析選講M.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.3：1519大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)編寫(xiě)組，數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)M.北京：中國(guó)水利水電出版社，2004：147-148 致謝 感謝老師對(duì)本論文從選題、構(gòu)思、資料收集到最后定稿的各個(gè)環(huán)節(jié)給予的指引和教導(dǎo)，使我對(duì)分段函數(shù)的分析性質(zhì)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，并最終得以完成畢業(yè)論文，對(duì)此我表示衷心的感謝，老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、豐富淵博的知識(shí)、敏銳的學(xué)術(shù)思維、精益求精的工作態(tài)度、積極進(jìn)取的科研精神以及誨人不倦的師者風(fēng)范是我畢生的學(xué)習(xí)楷模. 通過(guò)這一階段的努力，我的畢業(yè)論文已接近尾聲，作為一個(gè)本科生的畢業(yè)論文，由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒(méi)有老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)，完成本次畢業(yè)論文將變得十分困難.老師平日工作繁多，但在這篇論文的寫(xiě)作過(guò)程中，老師不辭辛勞，多次就論文中許多核心的問(wèn)題做深入細(xì)致的探討并給我提出切實(shí)可行的指