高中物理-系統(tǒng)牛頓第二定律與整體法

1、系統(tǒng)的牛頓第二定律與整體法在靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，涉及到系統(tǒng)外力時(shí)，我們往往采用整體法處理，但是很多資料并沒(méi)有講清 楚整體法的適用條件，以及背后的理論基礎(chǔ)，甚至限定只允許在幾個(gè)物體相對(duì)靜止時(shí)使用整體法，使得整 體法的適用范圍大大縮小。本文則從系統(tǒng)的牛頓第二定律入手，奠定整體法解決靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的理 論基礎(chǔ)，并通過(guò)實(shí)例展示整體法的廣闊應(yīng)用空間。一、系統(tǒng)的牛頓第二定律1、推導(dǎo)如圖所示，兩個(gè)物體組成一個(gè)系統(tǒng)，外界對(duì)系統(tǒng)內(nèi)物體有力的作用（系統(tǒng)外力），系統(tǒng)內(nèi)物體之間也 有相互作用（系統(tǒng)內(nèi)力），則對(duì) 1：對(duì) 2：f +f =m a 1 21 1 1f +f =m a 2 12 2 2f1f21f122

2、f2其中，f =-f21 121聯(lián)立，得：f +f =m a +m a 1 2 1 1 2 2這個(gè)方程中，等式左邊只剩下系統(tǒng)外力，等式右邊則是各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢量相 加。上述推導(dǎo)中，研究對(duì)象只有兩個(gè)，但是很容易將上述結(jié)論推廣到任意多個(gè)研究對(duì)象，方法仍然是分別 對(duì)各個(gè)物體列動(dòng)力學(xué)方程，然后相加由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且每對(duì)內(nèi)力總是等大反向，因此相加的 結(jié)果仍然是：等式左邊只剩下系統(tǒng)外力，等式右邊則是各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢量相加。 這個(gè)結(jié)論就是系統(tǒng)的牛頓第二定律，其通式為：f =m a +m a +m a +. 外 1 1 2 2 3 3或者：f外x=m a +m a

3、 +m a +.1 1 x 2 2 x 3 3 x，f外y=m a +m a +m a +.1 1 y 2 2 y 3 3 y2、理解系統(tǒng)的牛頓第二定律表達(dá)式左邊只有系統(tǒng)外力，因此它只適用于處理系統(tǒng)外力相關(guān)問(wèn)題，一旦涉及系 統(tǒng)內(nèi)力，則只能用隔離法。系統(tǒng)的牛頓第二定律表達(dá)式右邊為“各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢 量相加”，因此并不要求各個(gè)部分相對(duì)靜止各個(gè)部分有相對(duì)速度、相對(duì)加速度時(shí)，仍然可以選系統(tǒng)為 研究對(duì)象，使用整體法處理問(wèn)題。如果系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)部分是相對(duì)靜止的即各個(gè)部分的加速度、速度均相同，則系統(tǒng)的牛頓第二定律方程可以簡(jiǎn)化為：f =( m +m +m +.)a 外 1 2 3，這就是我們熟

4、悉的幾個(gè)物體相對(duì)靜止時(shí)的整體動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于這個(gè)方程，我們甚至可以這樣理解任何物體都是有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的，組成物體的各個(gè)部分之間都存在 相互作用和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但是，在處理某些問(wèn)題時(shí)，當(dāng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)相對(duì)整體運(yùn)動(dòng)可以忽略不計(jì)時(shí)，我們就可以 近似的認(rèn)為各個(gè)部分是相對(duì)靜止的，把物體當(dāng)作一個(gè)“質(zhì)點(diǎn)”來(lái)處理，從而只需要考慮整體所受外力的影 響。比如人站在地面上不動(dòng)，求地面支持力的大小這個(gè)問(wèn)題中，人體內(nèi)心臟在跳動(dòng)、血液在流動(dòng)、肺 部在呼吸、腸胃在蠕動(dòng)但是，在大部分問(wèn)題的處理中，我們往往并不考慮這些，而直接把人體當(dāng)作一 個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理了。不過(guò)，上述推導(dǎo)過(guò)程中，將系統(tǒng)內(nèi)力進(jìn)行了相加，并且依據(jù)一對(duì)內(nèi)力總是等大反向（牛頓第三定律

5、）， 認(rèn)為內(nèi)力總和為零。實(shí)際上，內(nèi)力作用對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體的加速度是有影響的，一對(duì)內(nèi)力的效果是無(wú)法抵 消的畢竟它們是作用在不同物體上。因此，內(nèi)力總和為零是從數(shù)學(xué)意義角度處理的，系統(tǒng)的牛頓第二ffffn 1 2m g=m gtan， f = 上cosqn上fn 地1 2定律是一個(gè)有用的數(shù)學(xué)結(jié)論。有些學(xué)生無(wú)法理解明明是作用在 1 物體上的力，如何會(huì)在 2 物體上產(chǎn)生加速 度，其原因就在這里因此，沒(méi)必要把系統(tǒng)的牛頓第二定律看成是一個(gè)因果關(guān)系方程，僅僅看作一個(gè)有 用的數(shù)學(xué)結(jié)論即可。二、整體法的應(yīng)用舉例因?yàn)椴簧婕跋到y(tǒng)內(nèi)力，所以用整體法處理問(wèn)題往往來(lái)得比隔離法分別處理各個(gè)物體要簡(jiǎn)潔、迅速得多， 因此，審題時(shí)

6、要敏銳的把握住題意是否涉及的是系統(tǒng)外力，或者只需要考慮系統(tǒng)外力即可，如果是， 優(yōu)先考慮使用整體法（系統(tǒng)牛頓第二定律）。1、靜力學(xué)中的應(yīng)用（1）系統(tǒng)內(nèi)幾個(gè)物體相對(duì)靜止的情況【例 1】(2010 山東理綜)如圖所示，質(zhì)量分別為 m 、m 的兩個(gè)物體通過(guò)輕彈簧連接，在力 f 的作用下1 2一起沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)(m 在地面，m 在空中)，力 f 與水平方向成 角則 m 所受支持力 f 和1 2 1 n摩擦力 f 正確的是( )a f m gm gfsin n n 1 2b f m gm gfcos f n 1 2c f fcosd f fsin ff【分析】地面對(duì) m 的支持力、摩擦力，是“m

7、 、m 、輕彈簧整體”的系統(tǒng)外力，因此1 1 2本題用整體法較快?！窘馕觥窟x m 、m 、輕彈簧整體為研究對(duì)象，其受力如圖所示，則有：1 2(m +m )g 1 2豎直方向：f fsin(m m n 1 2)g0水平方向：f fcos0f解得：f m gm gfsin，ffcos。選 bc。 f【例 2】(2014 濟(jì)寧模擬)如圖所示，兩個(gè)光滑金屬球 a、b 置于一個(gè)桶形容器中，兩球的質(zhì)量 m m ，對(duì)于圖中的兩種放置方式，下列說(shuō)法正確的是( )a ba 兩種情況對(duì)于容器左壁的彈力大小相同b 兩種情況對(duì)于容器右壁的彈力大小相同c 兩種情況對(duì)于容器底部的彈力大小相同d 兩種情況兩球之間的彈力大小

8、相同【分析】容器壁和容器底部對(duì)球的彈力都是系統(tǒng)外力，因此可以使用整體法分析；不過(guò)本問(wèn)題中，系 統(tǒng)在水平方向所受外力均為未知力，因此僅僅選整體為研究對(duì)象，是無(wú)法求解的。因此需要先選上面的物 體為研究對(duì)象，分析出左壁對(duì)球的彈力后，再用整體法才可。【解析】以上面的金屬球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力如圖 1所示，將三個(gè)力按順序首尾相接，得如圖 2 閉合三角形，則有：f ，由于兩種情況下 不 n1 上變，則 m 減小時(shí)，f 、f 均減小。n1 nfnm g上fn1m g上 nfn1fn2fn 地m g總fn1選兩球整體為研究對(duì)象，其受力如圖 3 所示，則有：豎直方向：f(mm )g0水平方向：f f 0 n1 n

9、2解得：f=(mn 地1m2)g 不變，fn1=fn2m 上 gtan 均變化。本題選 c.（2）系統(tǒng)內(nèi)個(gè)別物體勻速運(yùn)動(dòng)的情況【例 3】(2013 北京理綜 改編)傾角為 、質(zhì)量為 m 的斜面體靜止放置在粗糙水平桌面上，質(zhì)量為 mn 地n 地的木塊恰好能沿斜面體勻速下滑。則下列結(jié)論正確的是( )a 木塊受到的摩擦力大小是 mgcos b 木塊對(duì)斜面體的壓力大小是 mgsin c 桌面對(duì)斜面體的摩擦力大小是 mgsin cos d 桌面對(duì)斜面體的支持力大小是(mm)g【分析】桌面對(duì)斜面體的摩擦力和支持力是系統(tǒng)外力，可以選木塊、斜面體系統(tǒng)為研究對(duì)象分析這兩 個(gè)力。【解析】選木塊為研究對(duì)象，易知 a

10、 應(yīng)為 mgsin 、b 應(yīng)為 mgcos ；選木塊、斜面體系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力如圖所示，由題意，木塊、斜面體加速度均為 0，故有：fn 地豎直方向：f (mm)g0 水平方向：f 0fff解得：f=(mm)g。本題選 d。(m+m)g2、動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用（1）系統(tǒng)內(nèi)幾個(gè)物體相對(duì)靜止的情況【例 4】(2012 江蘇高考)如圖所示，一夾子夾住木塊，在力 f 作用下向上提升。夾子和木塊的質(zhì)量分別為 m、m，夾子與木塊兩側(cè)間的最大靜摩擦力均為 f。若木塊不滑動(dòng)，力f 的最大值是( )2f(mm) 2f(mm) 2f(mm) 2f(mm)a b c (mm)g d (mm)gm m m m【分析】力

11、f 是系統(tǒng)外力，可用整體法分析；但是，整體加速度取最大值時(shí)即臨界點(diǎn)是在夾 子與木塊的接觸面上靜摩擦力最大時(shí)，這是系統(tǒng)內(nèi)力，因此需先用隔離法選木塊為研究對(duì)象求出 整體加速度的最大值。【解析】設(shè)系統(tǒng)允許的最大加速度為 a。選木塊為研究對(duì)象，有：2fmg=ma選整體為研究對(duì)象，有：f(m+m)g=(m+m)a2f(mm)聯(lián)立，解得：f=m.選 a?！纠?5】如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有質(zhì)量均為 m 的兩個(gè)小物塊 a、b，a 離轉(zhuǎn)軸中心的距離為 l，a、b 間用長(zhǎng)為 l 的細(xì)線相連。開(kāi)始時(shí)，a、b 與軸心在同一直線上，細(xì)線剛好被拉直，a、b 與水平轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：

12、(1) 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)細(xì)線上開(kāi)始出現(xiàn)張力？(2) 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí) a 物塊開(kāi)始滑動(dòng)？【解析】（1）轉(zhuǎn)臺(tái)角速度取值逐漸變大的過(guò)程中，b 所受靜摩擦力先達(dá)到最大值，此時(shí)對(duì) b，有：mmg =mw212l，解得：w =1mg2l角速度取值再增大時(shí)，b 有離心運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，繩中出現(xiàn)張力。（2）轉(zhuǎn)臺(tái)角速度取值進(jìn)一步增大，a 所受靜摩擦力也逐漸增大到最大值，此時(shí)，對(duì) a、b 系統(tǒng)，有：mmg +mmg =mw22l +mw2 22l，解得：w =22 mg3 l。（2）系統(tǒng)的物體間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況直線運(yùn)動(dòng)【例 6】一個(gè)箱子放在水平地面上，箱內(nèi)有一固定的豎直桿，在桿上套著一個(gè)環(huán)，箱與桿的質(zhì)

13、量為 m，環(huán)的質(zhì)量為 m，如圖所示。已知環(huán)沿桿以加速度 a 勻加速下滑，則此時(shí)箱對(duì)地面的壓力大小為( )amg bmgmacmgmg dmgmgma fn(m+m)gnn n2112【分析】由牛頓第三定律可知，箱對(duì)地面的壓力大小等于地面對(duì)箱的支持力，地面是“箱、環(huán)系統(tǒng)” 的外面，因此分析地面對(duì)箱的支持力時(shí)可用整體法?！窘馕觥窟x箱、環(huán)系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力如圖所示，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有：解得：f(mm)gf =m0+man=(mm)gma。由牛頓第三定律可知，箱對(duì)地面壓力 f =f =(mm)gma。選 d.【例 7】如圖所示，滑塊 a 以一定初速度從粗糙斜面體 b 的底端沿 b 向上滑，然

14、后又返回，整個(gè)過(guò)程 中斜面體 b 與地面之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，那么滑塊向上滑和下滑的兩個(gè)過(guò)程中（ ）a 滑塊向上滑動(dòng)的時(shí)間等于向下滑動(dòng)的時(shí)間b 滑塊向上滑動(dòng)的時(shí)間大于向下滑動(dòng)的時(shí)間c 斜面體 b 受地面的摩擦力大小改變、方向不變d 斜面體 b 受地面的支持力大小始終等于 a 與 b 的重力之和【解析】滑塊上滑時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，加速度沿斜面向下，大小為a =g sin1q+mgcosq，下滑時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，加速度沿斜面向下，大小為 a =g sin2q-mgcosq。由于上滑、下滑位移相同，且最高點(diǎn)速度均為零，易知上滑時(shí)間短。選滑塊、斜面體整體為研究對(duì)象，其受力如圖所示；將滑塊加速度水平、 豎直分解，則有

15、：豎直方向：(mm)gf =m0+man 地 y水平方向：f m0+maf x解得：f =(mm)gma ，f ma 。n 地 y f xfffn 地(m+m)gaxaiay由于 a a 1 2，故有a1 ya2 y、a a1 x 2 x，則下滑過(guò)程相對(duì)上滑過(guò)程，有：摩擦力方向始終向左，大小減??；支持力總是小于系統(tǒng)總重力，并且增大。選 c?！纠?8】如圖所示，質(zhì)量分別為 m、2m 的兩物塊 a、b 中間用輕彈簧相連，a、b 與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 ，在水平推力 f 作用下，a、b 一起向右做加速度大小為 a 的勻加速 直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)突然撤去推力 f 的瞬間，a、b 兩物塊的加速度大小分別為(

16、 )a2a、a b2(ag)、agc2a3g、a da、2a3g【解析】撤去 f 瞬間，由于慣性，a、b 來(lái)不及發(fā)生明顯位移，則彈簧彈力不變，b 受力情況不變， 即 b 的加速度仍為 a；選 a、b、輕彈簧系統(tǒng)為研究對(duì)象，有：-m(m +2 m) g =ma +2maa解得： a =-3mg -2 a ，即 a 的加速度方向向左，大小為 2a3g。選 d。a【例 9】如圖所示，木板靜止于水平地面上，在其最右端放一可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊。已知木塊的質(zhì)量 m1 kg ，木板的質(zhì)量 m4 kg ，長(zhǎng) l2.5 m ，木板上表面與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 0.3，下表面與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù) 0.2，g 取

17、10 m/s 。欲使1 2木板能從木塊的下方抽出，對(duì)木板施加的拉力應(yīng)滿足什么條件？mmg【解析】當(dāng)木板從木塊下抽出時(shí)，木塊加速度為： a = 1 =mgm要使木板能從木塊下抽出，則抽出時(shí)木板加速度 a 需滿足： a a2 1選木塊、木板系統(tǒng)為研究對(duì)象，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有：f -m( m +m ) g =ma +ma 2 1 2；聯(lián)立，解得： f (m +m)( m +m ) g 1 2=25n。曲線運(yùn)動(dòng)【例 10】(2015 山東省桓臺(tái)模擬)如圖，質(zhì)量為 m 的物體內(nèi)有光滑圓形軌道，現(xiàn)有一質(zhì)量為 m 的小滑 塊沿該圓形軌道在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。a、c 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，b、d 點(diǎn)

18、是與圓心 o 同一水平 線上的點(diǎn)。小滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體 m 在地面上靜止不動(dòng)，則物體 m 對(duì)地面的壓力 f 和地面對(duì) m 的摩擦力nfffxff有關(guān)說(shuō)法正確的是( )a小滑塊在 a 點(diǎn)時(shí)，f mg，摩擦力方向向左nb小滑塊在 b 點(diǎn)時(shí)，f mg，摩擦力方向向右nc小滑塊在 c 點(diǎn)時(shí)，f (mm)g，m 與地面無(wú)摩擦nd小滑塊在 d 點(diǎn)時(shí)，f (mm)g，摩擦力方向向左n【解析】小滑塊在 a 點(diǎn)時(shí)，加速度豎直向下，在 c 點(diǎn)時(shí)，加速度豎直向上；在 b 點(diǎn)，豎直加速度向下 為 g，水平加速度向右指向圓心，在 d 點(diǎn)，豎直加速度向下為 g，水平加速度向左指向圓心。選 m、m 系統(tǒng)為研究對(duì)象，其豎直方向受重力(m+m)g 和地面支持力