概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案(2)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案(2)習(xí)題二1一袋中有5只乒乓球，編號為1, 2, 3, 4, 5, 在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球 中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】X 3,4,51P(X 3)-30.1C53P(X 4)0.3C5c2P(X 5)-40.6C5故所求分布律為X345P0.10.30.62設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其 中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以 X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函數(shù)并作圖；(3)PX 丄, P1 X -, P1 X -, P1 X 22 2 2 解X 0,1,2.故X的分布律為0223511235C

2、3C1322C；535.1 2C2C1312U535U31C；535.21P(X 0)P(X 1)P(X 2)35當(dāng) x0 時(shí)，F(xiàn) (x) =P (X x) =0 當(dāng) 0 x1 時(shí)，F(xiàn) (x) =P(X x) =P(X=0)=2235當(dāng) 1 x2 時(shí)，F(xiàn) ( x) =P ( X x ) =p(x=0)+p(x=1)=3435(x) =P (X2時(shí)，F(xiàn)故X的分布函數(shù)0,22F(x)3534351,2) f(1) 222 2X -) F2 2 35353 3X ?)P(X 1) P(1 X ?)35P(1 X 2)F(2)F(1) P(X 2)1 34 丄 0.35353.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3

3、次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分 布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2 次的概率.解P(XP(1P(12, 3.35(3 F(1) 34 34 012設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,P(X0)(0.2)3 0.008P(X1)C；0.8(0.2)20.096P(X2)C3(0.8)20.2 0.384P(X3)(0.8)30.512故X的分布律為0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,0.008,F(x) 0.104,0.488,x 00 x 11 x 22x3x 3P(X 2) P(X 2) P(X 3)0.8964. (1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

4、kPX=k=a ,其中k=0, 1, 2,，入0為常數(shù)，試 確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=a/N，k=1，2,N，試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知k1 P(X k) a agek 0k 0 k!故a e(2)由分布律的性質(zhì)知NN1 P(X k) ak 1k 1 N即a 1 .5. 甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7, 今各投3次，求：(1) 兩人投中次數(shù)相等的概率；(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令 X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，貝VXb (3, 0.6)，丫b(3,0.7)(1) P(X Y) P(X 0,Y0) P(X 1Y 1) P(X

5、2,Y2)P(X 3,Y3)(0.4)3(0.3)3 c30.6(0.4)2c30.7(0.3)2 +2 2 2 2 3 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)0.32076(2) P(X Y) P(X 1,Y0) P(X 2,Y0) P(X 3,Y0)P(X 2,Y1) P(X 3,Y1) P(X 3,Y2)C10.6(0.4)3(0.3)3 C3(0.6)30.4(0.3)3(0.6) 3(0.3)3 C3(0.6) 30.4C；0.7(0.3)3(0.6)3C；0.7(0.3)3(0.6)3C3(0.7)30.3=0.2436設(shè)某機(jī)場每天有200架飛機(jī)在此

6、降落，任一飛 機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的試問該機(jī)場需配備多少 條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而 沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02)，設(shè)機(jī)場需配備N條跑道，則有P(X N) 0.01200Ck00(O.O2)k(O.98)200 k0.01k N 1利用泊松近似np 200 0.024.e 44kP(X N) B 0.01k n 1 k!查表得N 9.故機(jī)場至少應(yīng)配備9條跑道.7有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè) 每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為 0

7、.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則 Xb (1000，0.0001)P(X 2)1 P(X 0) P(X 1)0.1 0.1e 0.1 eX滿足8已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)PX=1=PX=2，求概率 PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則14223C5 P(1 P)C5P (1 P)P(X 4) C；G)4233102439.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 0.3, 當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號，(1)進(jìn)行了 5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號的概率；(2)進(jìn)行了 7次獨(dú)

8、立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信 號的概率.【解】(1)設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的 次數(shù)，則 X6(5，0.3)5P(X 3) c5(0.3)k(0.7)5 k 0.16308k 3(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次 數(shù)，則 Yb(7，0.3)7P(Y 3)Ck(0.3)k(0.7)7 k 0.35293k 310.某公安局在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊 急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松 計(jì))(1) 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；(2) 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至 少收到1次呼救的概率.【解】(1)P(X5P(X 1)1 P(X 0)1 e 11設(shè) PX=k=k

9、k “C2P (1o)P)3e2(2)PY =m=c：pm(1 p)分別為隨機(jī)變量k,k=0,1,2m=0,1,2,3,4X，丫的概率分布，如果已知PX 1=5，試求PYA 1.【解】因?yàn)镻(X故 P(X 1) 9 .P(X 1) P(X 0)(1故P)2(1 p)從P(Y 0) 1650.802478112某教科書出版了 2000冊，因裝訂等原因造成 錯(cuò)誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中 恰有5冊錯(cuò)誤的概率.P(Y 1)(1P)【解】令 X為2000冊書中錯(cuò)誤的冊數(shù)，則Xb(2000,0.001)利用泊松近似計(jì)算，np 2000 0.0012P(X255) F 001813. 進(jìn)行

10、某種試驗(yàn)，成功的概率為弓，失敗的概率74為4.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次1 34g4115數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù) 的概率.解X 1,2丄,k,LP(Xk)(州P(X 2) P(X 4) L P(X 2 k) LL擴(kuò)134L14. 有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡 的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可 從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率(2) 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮(1) 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為

11、2500 X12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為 X，則Xb(2500,0.002), 則所求概率為P(2000 X 30000) P(X 15)1 P(X 14)由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有P(X 15)1145 ke 50.000069P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)P(300002000X10000) P(X 10)105k0.986305e 5k 0 k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于 10000元的概率在98%以上P (保險(xiǎn)公司獲利不少于20000 )P(300002000X20000) P(X 5)5 e55k0.615961即保險(xiǎn)公司獲利不少于 20000元的概率

12、約為62%15. 已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae 兇，oo x+ oo,求：(1) A 值；(2) P0X1;【解】(1)F(x).f(x)dx 1 得Ae Ixdx 2Ae xdx2A1 11) - exdx2 0當(dāng)x 0 時(shí)，F(xiàn)(x) X 1 e |x|dx1 -ex 21 x 2e F(x)211 一 e2-exdx2x 1一 e xdx0 216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管, 管使用壽命X的密度函數(shù)為100 f(x)=正，0, x 求: (1) 概率；電子x 100,100.在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的(2)在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；(3) F (x).

13、解(1)13827P(X 150)Pi P(X 150)3(|)C3 捋2 4當(dāng)x 100 時(shí) F(x)P2=0f(t)dt100f(t)dtx 100100 t2d 1001 F (x)x0,xf (t)dt100d 1001 -xx 100x 0Xa17. 在區(qū)間0, a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以 表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0, 中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成 正比例，試求X的分布函數(shù)解】 由題意知XU 0,a，密度函數(shù)為1,0 x af (x) a0, 其他故當(dāng)x0時(shí)F (x) =0當(dāng)Ow xa 時(shí)，F(xiàn) (x) =1即分布函數(shù)O,x 0xF (x), Oxaa1,x a18. 設(shè)

14、隨機(jī)變量X在2,5上服從均勻分布 現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的觀測值 大于3的概率.解 XU2,5，即2 x 5f(x) 30, 其他P(X 3)5ldx -333故所求概率為p c2(2)21 c3(2)3 203332719. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X (以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布E(1).某顧客在窗口等5待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月 要到銀行5次，以丫表示一個(gè)月內(nèi)他未等到 服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出 Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知XE(1),即其密度函數(shù)為1 f(x) 5e，X 00, x 0該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為P(X 10)1edx e

15、210 5Yb(5,e2),即其分布律為P(Y k) C；(e2)k(1 e2)5k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2)5 0.516720某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走 . 第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間 X 服從N (40, 102);第二條路程較長，但阻 塞少，所需時(shí)間X服從N (50，42).1小時(shí)，問應(yīng)(1) 若動身時(shí)離火車開車只有 走哪條路能乘上火車的把握大些？45分鐘，問(2) 又若離火車開車時(shí)間只有 應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？(40, 102),【解】(1)若走第一條路，則x 4060 40P(X 60) p 帀10(2)0

16、.97727若走第二條路,X 50(50, 42),則P(X 60) P60 50(2.5)0.9938 +故走第二條路乘上火車的把握大些.(2)若 XN (40, 102),則P(X 45) P 處10 10(0.5)0.6915若 XN (50, 42),則P(X 45) p3 Z44(1.25)1(1.25)0.1056故走第一條路乘上火車的把握大些.21. 設(shè) XN (3, 22),(1) 求 P2X總, P 4 2, PX 3;(2) 確定 c 使 PX c= PX c.解(1)P(2 X 5)(1)(1)10 320.8413 1 0.69150.5328P( 4 X 10)0.9

17、996P(|X| 2)P(X 2)P(X2)2 2 2 20.6915 1 0.99380.6977X 33- 3P(X 3) P(_2- )1(0)0.5c=322. 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度(cm ) XN(10.05,0.06)，規(guī)定長度在10.05 0.12內(nèi)為合 格品,求一螺栓為不合格品的概率.解P(|X 10.05| 0.12)X 10.050.060.120.061 (2) ( 2) 21 (2)0.045623. 工廠生產(chǎn)的電子管壽命 X (小時(shí))服從正態(tài) 分布 N (160, *),若要求 P120 V X0.8,允許最大不超過多少？解P(120 X 200)P 120 160

18、X 160200 1604040401 0.8401.2931.2524. 設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為A0,Bextx 0,x 0.0),(1) 求常數(shù)A, B;(2)求 PX3;(3) 求分布密度f (x)【解】(1)由xlim F(x) 1得 A 1lim F(x)lim F(x)得 B 1x 0x 0P(X2)F(2)P(X3) 1F(3)1 (1 e3 )(3) f(x) F (x)e x, x00,x025. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x,0x1,f (x)= 2 x, 1 x 2,0,其他.求X的分布函數(shù)F( x)，并畫出f (x)及 F (x).【解】當(dāng)x0時(shí)F (x) =0當(dāng) 0W

19、x1 時(shí) F(x) x f(t)dt 0 f (t)dt : f(t)dtxtdt0當(dāng) 1 x 2 時(shí) F(x)_2x22x 1xf(t)dt 10,x02x01F(x)2 2xx2x 1, 1x221,x226. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(1) f(x)=ae |x|, X 0;bx, 0x1,(2) f(x)= 4，1 x 2,0, 其他.試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F (x)【解】(1)由 f (x)dx 1 矢口 1 ae |x|dx 2 e xdx 空故a 2即 密 度 函 數(shù) 為當(dāng) x 0 時(shí) F(x)xf(x)dx0xe xdxe xdx2 0 2故其分布函數(shù)1 1eF(x)

20、 1 21 x2e ，(2)由 if(x)dx1bxdx0=dx1 x2得即X的密度函數(shù)為x,1 ,x0,b=1f (x)i其他當(dāng) x 0 時(shí) F (x) 當(dāng)0x1時(shí) F(x)=0f (x)dxxxdx0f (x)dx2x2x0 f(x)dx當(dāng) 1 x 2 時(shí) F (x) =1故其分布函數(shù)為0,2xF(x)21,x 227.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，(1)=0.01,求 z ；(2)=0.003,求 z，z /2.【解】(1) P(X z ) 0.01即1(z )0.01即(z )0.09故z 2.33(2)由 P(X z )0.003 得1(z )0.003即(z ) 0.997查表得z 2

21、.75由 P(X Z/2)0.0015 得1 (z /2)0.0015即(z /2)0.9985查表得z /2 2.9628設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0,1, 4, 9P(Y0)P(X0)15P(Y1)P(X1)P(X1) 6 15P(Y4)P(X2)1511P(Y9)P(X3)30730故丫的分布律為Pk1/5刀301/511/3029.設(shè) PX=k=(f)k, k=1,2,，令Y 1,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變量X的函數(shù)丫的分布律.P(X 2 k) L(擴(kuò)L解 P(Y 1) P(X 2) P(

22、X 4) LU)2 L2 21 11()/(1 )；443P(Y 1) 1 P(Y1)30設(shè) XN (0, 1).(1)求Y=eX的概率密度;(2) 求Y=2X2+1的概率密度;(3) 求Y= | X |的概率密度.【解】(1)當(dāng) yW 0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) P(Y y) 0當(dāng)y0時(shí) ,FY(y) P(Y y) P(ex y) P(X ln y)In yfx(x)dx故fY(y) dFY(y) - fx(ln y) -Xe , y 0 dy yy(2n(2) P(Y 2X2 1 1) 1當(dāng) y1時(shí) FY(y) P(Y y) P(2X2 1 y)2 y 1P X22P T X占(y 1)/2故fY

23、(y)訴心寸圧fX F fX FF21.談(7 1 P(Y 0) 1當(dāng) yW 0 時(shí) FY(y) P(Y y) 0、/FyW)P(|X | y) P( y Xy)yfx(x)dxy故fY(y) dyFY(y)fx(y)fx( y)2y2/22ne31. 設(shè)隨機(jī)變量XU (0,1),試求：(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；(2) Z= 2InX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1)P(0 X 1) 1故 P(1 Y eX e) 1P(Y y) 0X當(dāng) 1y e 時(shí) FY(y) 即分布函數(shù)P(ey) 10,In y,1,故Y的密度函數(shù)為fY(y) y,0,FY(y)1 y e其他(2)由 P(0X

24、1)=1 知P(Z 0)1當(dāng) Z0 時(shí)，F(xiàn)Z(z) P(Z z) P( 2ln X z)P(l nX|) P(Xz/2e )z,x1 e z/2e即分布函數(shù)Fz(z)0 -z/2故Z的密度函數(shù)為fz(Z)1 z/2 e20,32. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2x 門f(x)= ? 0 x n0, 其他.試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】P(0 Y 1) 1當(dāng) y 0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) P(Y y) 0當(dāng) 0y0,且 jnxdx i故f(x)是密 度函數(shù)。在, n上0nsin xdx 2 1.故f(x)不是密度函數(shù)。在扌，0上sinx 0，故f(x)不是密度函數(shù)。在0,| n上，當(dāng) n x | x時(shí)

25、，sinx0) =1,故 01 e2X1,即(0 丫1) =1、/,Fy (y) =0當(dāng) yA 1 時(shí)，F(xiàn)y (y) =1當(dāng) 0y k=2/3，求k的取值范圍 (2000研考)【解】由P (X k)=知P (Xk)=】33若 k0,P(Xk)=0若 0 k 1,P(Xk)= ok1dx 彳 當(dāng) k=1 時(shí) P (Xk) =13若 K k 3 時(shí) P (Xvk)=1-dx03kOdx1若 3k6,則 P(X6,則 P (Xk) =f.故只有當(dāng)1 k 1) =19知 P(X=0) = (1 p) 3=專故p=144. 若隨機(jī)變量X在(1, 6)上服從均勻分布, 貝I方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概

26、率是多少？【解】其.1-504 一 52)X/V2)X /V P 2)X /VP 42(X45若隨機(jī)變量 XN (2, /),且 P2X4=0.3 , 則PX2) 臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú) 立).求(1) 全部能出廠的概率a ;(2) 其中恰好有兩臺不能出廠的概率3 ;（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率 e.【解】設(shè)A=需進(jìn)一步調(diào)試, B=儀器能出廠,A=能直接出廠，AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠 由題意知B = A U AB，且P(A) 0.3,P(B|A)0.8P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 0.8 0.24P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令X為新生

27、產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，貝y X6 (n , 0.94)故P(XP(XP(X)(0.94)n2) C；(0.94)2)1 P(X(0.06)21) P(X n)n(0.94)n 10.06(0.94)n47某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百 分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求 考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績，則XN (72,(T)0.023 P(X 96) P 3 71泮)故(24) 0.977查表知卻2,即o=12從而 XN (72, 122)故 P(60 X 84) P 沱 g U12 12 12

28、(1) ( 1) 2 (1) 10.68248在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概 率分別為0.1，0.001和0.2 (假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N (220，252)試求：(1)該電子元件損壞的概率a ；(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200240V的概率3【解】設(shè) A1=電壓不超過200V, A2=電壓在200-240V,A3=電壓超過240V, B=元件損壞。 由 XN (220, 252)知P(A,) P(X 200)P X 22025(0.8) 1200 22025(0.8) 0.212P(A2)P(200 X 240)P 20

29、0 220 X 220240 220252525(0.8)( 0.8) 0.576P(A3)P(X 240)1 0.212 0.5760.212由全概率公式有3P(B) P(A)P(B|A) 0.0642i 1由貝葉斯公式有P(A2|B) P(A)P(B|A2)P(B)0.00949.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1, 2) 上服從均勻分 布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】fXM 0其他2因?yàn)?P (1X2) =1,故 P (e2vYve4) =1FY(y) P(Y y) P(e2Xy)當(dāng) ywe2 時(shí) Fy (y) =P(Ywy)=0. 當(dāng) e2y 1) =1當(dāng) y 1時(shí) ,Fy(v) P(Y y) P(eXln y