自動控制原理2-1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、自動控制原理,第二章,自動控制原理,第二章,# 21 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,# 22 建立微分方程的一般方法,# 23 微分方程的解法,# 21 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1.數(shù)學(xué)模型的概念 2.數(shù)學(xué)模型,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,自動控制系統(tǒng)的任務(wù)是將系統(tǒng)的輸入信號（包括控制輸入與擾動輸入）的變化，及時地、準(zhǔn)確地、穩(wěn)定可靠地傳送到系統(tǒng)的輸出端，驅(qū)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)動作，使被控量按照輸入信號的要求而變化或保持恒定；,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,控制系統(tǒng)一般來說都是相當(dāng)復(fù)雜的物理系統(tǒng)，它們的組成可以是各種不同的物質(zhì)運(yùn)動形式：電、機(jī)械、液壓、氣動等。但若它們的運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型相同，則它們的分析和設(shè)計也就完全一樣。,控制系統(tǒng)的

2、數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型 定義：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)及計算所要求的精度忽略去一些次要因素，使模型既能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性，又能簡化分析、計算。 表示方法：微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖。,# 21 微分方程（時域數(shù)學(xué)模型）,一、微分方程的建立 1、確定系統(tǒng)和各元件的輸入和輸出量； 2、根據(jù)物理或化學(xué)定律，從輸入端開始按信號的傳遞順序，列寫每個元件的運(yùn)動方程； 3、消除中間變量，寫出輸入、輸出微分方程式； 4、標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的放在“=”的右側(cè)，輸出有關(guān)的放在“=”的左側(cè)，并按降冪排列。 2.舉例 （1）（2）（3）（4）

3、（5） （6）,建立微分方程的一般方法,例一、如圖為一機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為J，粘性阻尼系數(shù)為f，輸出量為慣性負(fù)載的角速度 ，T（t）為作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩。,f,T（t）,J,1、輸入T（t） 輸出 ,2、應(yīng)用牛頓第二定律,建立微分方程的一般方法,例二、列寫如圖所示電路的動態(tài)方程。,R,C,i,Ur,Uc,解：列寫電路方程組,Ur=R*i+（1/C）* idt Uc=（1/C）* i dt,整理得：,令 RC=T 則：,建立微分方程的一般方法,例三、如圖所示，設(shè)支撐點(diǎn)a的位移為 yi（t），質(zhì)量m的位移為yo（t），設(shè)k為彈簧的彈性系數(shù)，f為質(zhì)量m運(yùn)動時的摩擦系數(shù)，求動態(tài)方程。,m,y

4、i（t）,yo（t）,k,a,f,解：列寫方程，得：,整理得：,建立微分方程的一般方法,例四、根據(jù)如圖所示電路，列寫動態(tài)方程。,R1,R2,C1,C2,i1,i2,Ur,Uc,U c1,解：根據(jù)電路圖，列 寫出相應(yīng)的方程；,消去變量i1、i2,令T1=R1C1 ，T2=R2C2 ， T3=R1C2 得：,建立微分方程的一般方法,例五、試列寫電樞控制的它激直流電動機(jī)的微分方程。以電樞電壓為輸入量，以電機(jī)轉(zhuǎn)角為輸出量。,La,Ra,ia,Eb,if=常值 （激勵電流）,f,Ua,+,-,Qm,ML,J為轉(zhuǎn)動慣量,解：電動機(jī)的工 作原理如上圖所 示，Ra表示電樞 電阻，La表示電 樞電感，ia為電樞

5、 電流，Ua為電樞輸 入電壓，if為固定的激勵電流，Eb為電樞反電動勢，Qm為電機(jī)轉(zhuǎn)角，f為電機(jī)軸上的粘性阻尼系數(shù)，ML為負(fù)載力矩，并設(shè)電機(jī)重量G 及直徑D均為已知，J為電樞轉(zhuǎn)動慣量J=GD/4g,2,Mm,建立微分方程的一般方法,當(dāng)電樞兩端加上電壓Ua后，產(chǎn)生電樞電流ia，隨即獲得電磁轉(zhuǎn)矩Mm，驅(qū)動電樞克服阻力矩帶動負(fù)載旋轉(zhuǎn)，同時在電樞兩端產(chǎn)生反電動勢Eb，削弱外電壓的作用，減小電樞電流，保持電樞作恒速轉(zhuǎn)動。 根據(jù)物理學(xué)基本定律得： 式中Kb為電機(jī)反電動勢系數(shù)，Cm為電動機(jī)力矩系數(shù),建立微分方程的一般方法,消去中間變量ia、Eb、Mm即可得：,若不計La 則,建立微分方程的一般方法,例六、列

6、寫位置隨動系統(tǒng)的微分方程，該系統(tǒng)是用來控制有轉(zhuǎn)動慣量JL和粘性摩擦fL的機(jī)械負(fù)載，使其位置與輸入手柄的位置同步。,解：該系統(tǒng)有兩個電位計組成角位移誤差檢測器，它的滑動臂分別與輸入手柄及負(fù)載軸相連。 當(dāng)輸入軸與負(fù)載軸的角位移Qr與Qc不等時，產(chǎn)生誤差角Qe=Qr-Qc，誤差角Qe與誤差檢測器的靈敏度ks的乘積，即為加至放大器的電壓Us， 經(jīng)放大器放大ka倍，再加至電機(jī)電樞，驅(qū)動電動機(jī)并帶動負(fù)載轉(zhuǎn)動。ks是加至電位計兩端的電壓與電位計滑臂最大轉(zhuǎn)角之比（伏/弧度）。電機(jī)一般經(jīng)減速器帶動負(fù)載，本例設(shè)減速器只有一對齒輪，分別為Z1和Z2。,建立微分方程的一般方法,下面從輸入端Qr開始，依次列寫各元件的微

7、分方程。,誤差檢測器：Qe=QrQc Us=ks*Qe ks加至電位計兩端的電壓與電位計滑臂最大 轉(zhuǎn)角比（伏/弧度）；,放大器：Ua=ka*Us ka放大器電壓放大系數(shù)；,電動機(jī) ：由于電機(jī)帶動減速器和負(fù)載一起轉(zhuǎn)動， 因此，列寫電機(jī)方程時，應(yīng)考慮減速器及負(fù)載的轉(zhuǎn)動 慣量以及粘性摩擦的影響。一般把它們算到電機(jī)軸上， 假設(shè)電機(jī)軸的總等效轉(zhuǎn)動慣量為J及總等效粘性摩擦系 數(shù)為f，齒輪傳動比i=Z1/Z2,建立微分方程的一般方法,應(yīng)用上例，并注意本例中ML=0，可寫出電機(jī)的微分方程，,減速器：Qm除以減速器比i，即為Qc， Qc=Qm/i,建立微分方程的一般方法,從上述各式消去中間變量Qe、Us、Ua、

8、Qm，得：,若忽略La，并令k=ks*ka*Cm/Ra* i F=f+Cm*kb/Ra 得：,即位置隨動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一、二階線性常系數(shù) 微分方程，故又稱此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。,二、微分方程的求解,1.概念 2.幾種典型函數(shù)的拉氏變換 3.拉氏變換的性質(zhì) 4.拉氏反變換 5.用拉氏變換求解微分方程 6.例 （1）（2）（3）,微分方程的解法,線性 控制系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，求解這個微分方程，就得到表示系統(tǒng)動態(tài)特性的過渡過程，因此，方便地求解微分方程是至關(guān)重要的。,拉氏變換就是一種用來簡化求解微分方程的運(yùn)算方法。（P597）,一、拉氏變換的定義： 設(shè)f（t）是定義在（0，）區(qū)間上的時

9、間函數(shù)， 又s為復(fù)數(shù)（s= +jw），用e 乘以f（t）后，再將它 對t從0 進(jìn)行積分，如果這個積分收斂，則這 個積分便確定了一個以s為參量的復(fù)變函數(shù)F（s）； F（s）=L f（t） = f（t）e dt,-st,-st,0,微分方程的解法,這種通過積分的運(yùn)算，將一個已知的實變函數(shù)f（t）變換成另一個復(fù)變函數(shù)F（s）的方法 拉普拉斯變換。反之，由F（s） f（t） 的運(yùn)算稱為拉氏反變換。 f（t）=L-1 F(s)=(1/2 j） F（s）est dt F(s)-象函數(shù) f(t)-原函數(shù),+j , -j ,微分方程的解法,二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 加于控制系統(tǒng)中的外作用（指給定值和干擾）一

10、般事先是不完全知道的，而且常常隨時間任意變化。為了便于對系統(tǒng)進(jìn)行理論分析，工程實踐中允許采用幾種簡單的時間函數(shù)作為系統(tǒng)的典型輸入，即：單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、等加速函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)以及單位脈沖函數(shù)等。（P14）,微分方程的解法,1、單位階躍函數(shù)1（t） f（t）=1（t）=,1 t 0,0 t 0,f(t),1,0,t,2、單位斜坡函數(shù) f (t)=t * 1(t)= F(s)=Lt *1(t)= t *e dt =-(t/s )(e ) + (1/s)(e )dt =1/s,L1(t)=F(s)= 1*e dt=-(1/s)*e = 1/s,0,-st,-st,0,t t 0,0

11、 t 0,f(t),t,0,0,-st,-st,0,0,-st,2,微分方程的解法,3、等加速函數(shù) f(t)= F(s)=L (1/2)*t2 =1/s3,(1/2)*t t 0 0 t 0,2,4、指數(shù)函數(shù) f(t)= F(s)=Le = 1/(sa),e t 0 0 t 0,at,at,5、正弦函數(shù) f(t)= F(s)=Lsinwt=w/(s +w ) F(s)=Lcoswt=s/(s +w ),Sinwt t 0 0 t 0,2,2,2,2,微分方程的解法,三、拉氏變換的性質(zhì) 1、線性性質(zhì)： L a f(t) =a F(s) L f1(t)+f2(t)+f3(t)+.fn(t) = F

12、1(s)+F2(s)+F3(s)+.Fn(s),2、微分定理：,微分方程的解法,L d f(t)/ dt =s F(s) s f(0) f (0) L d f(t)/ dt = s F(s) f(0),2,2,2,3、積分定理： L . f(t) dt =(1/s ) F(s) + (1/s ) f (0) + .(1/s) f (0) f (0) , f (0) , , f (0)為 f(t) 的各重積分在 t= 0時的值，若初值為 0 則， L f (t) dt =(1/s) F(s) L f (t) dt =(1/s ) F(s) L . f (t) dt =(1/s ) F(s),n,

13、n,n,(-1),(-n),(-1),(-2),(-n),2,2,n,n,n,n,微分方程的解法,4、終值定理： lim f(t) = lim s F(s),t,S 0,5、位移定理： L f (t) =F(s) L f ( t t 0 ) = e F(s) L e f (t) =F(sa ),-s t0,at,微分方程的解法,例： 1、 f(t) = t + 3t + 2,2,f(t) = 2*(1/2) t + 3* t + 2* 1(t),2,F(s) = 2/s + 3/s + 2/s,3,2,2、f(t) = e sin wt,-at,F(s) = L f(t) = w/(s+a)

14、+ w ,2,2,微分方程的解法,四、拉氏反變換 查表法和部分分式展開法,F（s）通常是復(fù)變量s 的有理分式函數(shù)，即分母多項 式階次高于分子多項式， a0,.,an ; bo,.,bm 為實數(shù)， m n , m ,n 為正數(shù)；,當(dāng) A（s）中的變量s取值各為 s1、s2sn時， A（s）= 0，所以稱為F（s）的極點(diǎn)。,將函數(shù)的分母寫成下面因式分解的形式： A(s) = (ss1) (ss2) (ss3) .(ssn),根據(jù)F（s）的極點(diǎn)形式不同，分別按下述辦法進(jìn)行部分分式展開；,微分方程的解法,1、F（s）包含一系列不同的極點(diǎn)，則,例、F(s) = (s + 5 s + 9 s +7) /(

15、s + 1) (s +2 ),3,2,解： F(s) = (s + 2) + (s + 3)/( s + 1)( s + 2) 令 F1(s) = (s + 3 )/ (s + 1)( s+ 2) = c1/( s +1 ) + c2/(s + 2 ),C1 = ( s +1)*F1(s) s = -1 C2 = ( s +2) * F1(s) s= -2 = 2 = -1,所以 F(s) = (s +2) + 2/ ( s +1) 1/ ( s+ 2),f(t) = d (t)/ dt + 2 (t) + 2 e-t -e-2t,微分方程的解法,2、若F（s）有多重極點(diǎn)，設(shè)s1為m階重根，

16、Sm+1、Sm+2、.、sn為單根，即： A(s)=(s s1) ( s sm+1)(s sm+2).( s sn ),m,F(s)= B(s)/A(s) = Cm /(s-s1) + Cm-1 /(ss1) + C1/(ss1) +Cm+1/(ssm+1)+Cm+2/(ssm+2) + Cn/(ssn),m,m-1,上式中，Cm+1，Cn為單根部分分式的待定系數(shù)，可 按前述方法確定系數(shù)，而重根項待定系數(shù)C1.Cm的計算公式如下：,微分方程的解法,微分方程的解法,例：F(s)=(2s + 3s + 3)/(s + 10s + 36s + 54s +2),2,4,3,2,解： m n , 對A(

17、s)進(jìn)行因式分解，得： A(s)= ( s +1 )( s +3 ),3,F(s) = B(s)/A(s)= C1/(s+1) + a1/(s+3) + a2/(s+3) +a3/(s+3),3,2,C1= B(s)/A(s)*(s+1) s= -1 = 1/4,a1 = B(s)/A(s)*(s+3) s= -3 = -6,3,a2 = d B(s)/A(s)*(s+3) /ds s= -3 = 3/2,3,微分方程的解法,a3 = (1/2!)*d B(s)/A(s)*(s+3) 3 / ds s= -3 = 1,2,2,F(S) = 1/ 4(S+1) - 6/(S+3)3 + 3/2(

18、S+3)2 +1/(S+3),f(t) = (1/4)e - 3t e + (3/2) t e + e,-t,2,-3t,-3t,-3t,微分方程的解法,五 用拉氏變換求解微分方程,微分方程,以s為參量的象函數(shù) 的代數(shù)方程,象函數(shù),原函數(shù) (微分方程解),拉氏,變換,求解代數(shù)方程,拉氏,反變換,微分方程的解法,例1:求 Tdy/dt + y =X 的時間解 Y(t) , X(t) = 1(t) 且初始條件為0,解：1、對微分方程的兩端求拉氏變換，得：,TsY(s) +Y(s) = X(s),(Ts +1)Y(s) = X(s),X(t) = 1(t) X(s) = 1/s,(Ts +1)Y(s

19、) =1/s,Y(s) =1/ s (Ts +1),微分方程的解法,Y(s) = (1/T) / s(s + 1/T) =C1/s + C2/(s +1/T),C1 =Y(s) *ss=0 =1,C2 = Y(s) *(s + 1/T) s=-1/T = -1,Y(s) = 1/s 1/(s +1/T),y(t) = 1(t) e,-t /T,微分方程的解法,例二：設(shè)RC網(wǎng)絡(luò)如圖所示，在開關(guān)K閉合之前，電容C上有初始電壓Uc (0)。試求將開關(guān)瞬時閉合后，電容的端電壓 Uc（t）。,K,R,C,Uc,解：開關(guān)K瞬時閉 合，相當(dāng)于網(wǎng)絡(luò)有 階躍電壓Uo*1（t） 輸入，故網(wǎng)絡(luò)的微 分方程為：,微分方程的解法,RC * dUc/dt + Uc = Uo* 1(t) 拉氏變換得：,RCsUc(s) RCU(0) + Uc(s) =(1/s) Uo,Uc(s) = Uo / s ( RCs +1) +RCUc(0)/(RCs + 1) 拉氏反變換得：,Uc(s) = ( 1/s)Uo RCUo/(RCs+1) + RCUc(0)/(s + 1/RC) = Uo/s Uo/( s + 1/RC) + Uc(0)/( s +1/R