二項分布經(jīng)典例題+練習(xí)題

1、二項分布1次獨立重復(fù)試驗一般地，由次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即與，每次試驗中。我們將這樣的試驗稱為次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗。（1）獨立重復(fù)試驗滿足的條件 第一：每次試驗是在同樣條件下進(jìn)行的；第二：各次試驗中的事件是互相獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結(jié)果。（2）次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率。2二項分布若隨機變量的分布列為，其中則稱服從參數(shù)為的二項分布，記作。1一盒零件中有9個正品和3個次品，每次取一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布。2.一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在

2、各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列；(2)設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.3.甲乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.（1）記甲擊中目標(biāo)的此時為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；（3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.【鞏固練習(xí)】1.（2012年高考（浙江理）已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出

3、3球所得分?jǐn)?shù)之和.()求X的分布列;()求X的數(shù)學(xué)期望E(X).2（2012年高考（重慶理）(本小題滿分13分,()小問5分,()小問8分.)甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.() 求甲獲勝的概率;() 求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望3設(shè)籃球隊與進(jìn)行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝場則比賽宣告結(jié)束，假定在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數(shù)的期望3（2012年高考（遼寧理）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨

4、機抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖;將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?()將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差.5.（2007陜西理）某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為

5、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （）求該選手被淘汰的概率； （）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）6. 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時所需次數(shù)的概率分別布.(1)每次取出的產(chǎn)品不再放回去；（2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.7. （2007山東）設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)（重根按一個計）（I）求方程x2+bx+c=0有實根的概率；（II）求

6、的分布列和數(shù)學(xué)期望；8.（本題滿分12分）某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置. 若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券. 例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.（I）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；（II）若某位顧客恰好消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元），求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 9. (本題滿分12分)中國黃石第三屆國際礦冶文化旅游節(jié)將于2012年8月20日在黃石鐵山舉行

7、，為了搞好接待工作，組委會準(zhǔn)備在湖北理工學(xué)院和湖北師范學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）湖北理工學(xué)院湖北師范學(xué)院996507211516171819891258934601若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有湖北師范學(xué)院的“高個子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)；（2）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（3）若從所有“高個

8、子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。10.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6

9、 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.11. 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下： 將頻率視為概率，解答下列問題：（I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（II）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；（

10、III）該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。鞏固練習(xí)答案【解析】本題主要考察分布列,數(shù)學(xué)期望等知識點. () X的可能取值有:3,4,5,6. ; ; ; . 故,所求X的分布列為X3456P () 所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為: E(X)=. 【答案】()見解析;() . 【考點定位】本題考查離散隨機變量的分布列和期望與相互獨立事件的概率,考查運用概率知識解決實際問題的能力,相互獨立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響,注意應(yīng)用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式. 解:設(shè)分別表示甲、乙在第次投籃投中

11、,則 , (1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知, (2)的所有可能為: 由獨立性知: 綜上知,有分布列123從而,(次) 3. 解：（1）事件“”表示，勝場或勝場（即負(fù)場或負(fù)場），且兩兩互斥；（2）事件“”表示，在第5場中取勝且前場中勝3場，或在第5場中取勝且前場中勝3場（即第5場負(fù)且場中負(fù)了3場），且這兩者又是互斥的，所以（3）類似地，事件“”、 “”的概率分別為，比賽場數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為（場）這就是說，在比賽雙方實力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說，進(jìn)行6場才能分出勝負(fù)4.【答案及解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在

12、抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而22列聯(lián)表如下: 由22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得: 因為3.0303.841,所以,沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 【點評】本題主要考查統(tǒng)計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列,期望和方差,考查分析解決問題的能力、運算求解能力,難度適中.準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵. 5.（）解法一：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）解法二：記“該選手能

13、正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）的可能值為，的分布列為1236.（1）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為P(X=1)=7/10，P(X=2)=3/107/9=7/30，P(X=3)=3/102/97/8=7/120，P(X=4)=3/102/91/8=1/120。（2）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為P(X=k)= ，k=1，2，3， （3）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為P(X=1)=7/10，P(X=2)=3/108/10=6/25，P(X=3)=3/102/109/10=27/500，P(X=4)=3/102/101/10=3/5

14、00。7. 解：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為66=36，滿足條件的事件是使方程有實根，則=b2-4c0，即b下面針對于c的取值進(jìn)行討論當(dāng)c=1時，b=2，3，4，5，6；當(dāng)c=2時，b=3，4，5，6；當(dāng)c=3時，b=4，5，6；當(dāng)c=4時，b=4，5，6；當(dāng)c=5時，b=5，6；當(dāng)c=6時，b=5，6，目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為（II）由題意知用隨機變量表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到=0，1，2根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到則P(=0)= ，P(=1)= =，P(=2)= ，的分布列為的

15、數(shù)學(xué)期望E=0+1+2=1，8.設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C.則. 3分（）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域. 4分即消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是.（）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次.隨機變量的可能值為0，30，60，90，120. 5分 10分 所以，隨機變量的分布列為： 0306090120 11分其數(shù)學(xué)期望 12分9、解：（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)為：.2分（2）由莖葉圖可知，“高個子”有8人，“非高個子”有12人，按照分層抽樣抽取的5人中“高個子”為人，“非高個子”為人；則至少有1人為高個子的概率16分 （3）由題可知：湖北師范學(xué)院的高個子只有3人，則的可能取值為0,1，2,3；故，即的分布列為：012來源:Z+xx+k.Com30123。答：（略） 12分10. 解：（I）因為又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視