完整版四年級(jí)奧數(shù)第四講等差數(shù)列含答案

1、第四講 等差數(shù)列一、知識(shí)點(diǎn)：1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，第一項(xiàng)稱 為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。數(shù)列中共有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。2、等差數(shù)列與公差：一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與與它前一項(xiàng)的差都相等，這樣 的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項(xiàng)的差叫做公差。3、常用公式 等差數(shù)列的總和 =（首項(xiàng) +末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)） 公差+1 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 （項(xiàng)數(shù) -1） 首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差 （項(xiàng)數(shù) -1） 公差=（末項(xiàng) -首項(xiàng)） （項(xiàng)數(shù)-1） 等差數(shù)列（奇數(shù)個(gè)數(shù)）的總和 =中間項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)典例剖析：例（1） 在數(shù)列3、6、9,201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫

2、下去，第201個(gè)數(shù)是多少？分析： （1）因?yàn)樵谶@個(gè)等差數(shù)列中，首項(xiàng) =3，末項(xiàng) =201，公差 =3，所以根據(jù)公式： 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)）公差+1 ,便可求出。（2）根據(jù)公式：末項(xiàng) =首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù) -1）解： 項(xiàng)數(shù)=（201-3）3+1=67末項(xiàng) =3+3（ 201-1 ） =603答：共有 67 個(gè)數(shù)，第 201 個(gè)數(shù)是 603練一練：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，第48項(xiàng)是多少？ 508是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？ 答案 : 第 48 項(xiàng)是 286， 508 是第 85 項(xiàng)例（ 2分析 ：）全部三位數(shù)的和是多少？:所有的三位數(shù)就是從100999共900個(gè)數(shù)，觀察100、101、102

3、、998、999 這 一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)公差為 1 的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公 式來(lái)解答。解:（ 100+999）900 2=1099 900 2=494550答：全部三位數(shù)的和是 494550。練一練：求從 1到 2000 的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。答案 : 1000例（ 3）求自然數(shù)中被 10除余 1 的所有兩位數(shù)的和。分析一 ：在兩位數(shù)中，被 10除余 1 最小的是 11，最大的是 91。從題意可知，本題是求 等差數(shù)列11、21、31、91的和。它的項(xiàng)數(shù)是 9,我們可以根據(jù)求和公式來(lái)計(jì)算。解一：11+21+31+ +91=（11+91） 92=459分析

4、二：根據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、91的和是459，我們可以求得這9 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 4599=51,而 51 恰好是這個(gè)等差數(shù)列的第五項(xiàng), 即中間的一項(xiàng) （稱作中項(xiàng)），由此我們又可得到 S=中項(xiàng)n,但只能是項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，等差數(shù)列有中項(xiàng)，才能 用中項(xiàng)公式計(jì)算。解二：11+21+31+ +91=519=459答：和是 459。練一練：求不超過(guò) 500 的所有被 11 整除的自然數(shù)的和。答案 :11385例（ 4） 求下列方陣中所有各數(shù)的和：1、2、3、4、 49、50；2、3、4、5、 50、51；3、4、5、6、 51 、52；49、50、51、52、97、98;50、51、52、

5、53、98、99。分析一 ：這個(gè)方陣的每一橫行（或豎行）都各是一個(gè)等差數(shù)列,可先分別求出每一橫 行（或豎行）數(shù)列之和,再求出這個(gè)方陣的和。解一 ：每一橫行數(shù)列之和：第一行：（1+50）50 2=1275第二行：（2+51）50 2=1325第三行：（ 3+51） 50 2=1375第四十九行： （49+98）50 2=3675第五十行：（ 50+99）50 2=3725方陣所有數(shù)之和：1275+1325+1375+ +3675+3725=（1275+3725）50 2=125000分析二 ：觀察每一橫行可以看出，從第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先將第一行的和乘以 50，再加上各行

6、比第一行多出的數(shù)，這樣也能求得這個(gè)方陣所有 數(shù)的和。解二：（1+50） 50 2 50=6375050（1+2+3+ +49）=50【（1+49）492】=6125063750+61250=125000答：這個(gè)方陣的和是 125000練一練：求下列方陣中 100 個(gè)數(shù)的和。0、1、2、3、 8、9;1、2、3、4、9、10;2、3、4、5、10、11;9、10、11、12、17、18。答案 :900例（ 5）班級(jí)男生進(jìn)行扳手腕比賽，每個(gè)參賽男生都要和其他參賽選手扳一次。若一共扳 了 105 次，那么共有多少男生參加了這項(xiàng)比賽 ?分析：設(shè)共有幾個(gè)選手參加比賽，分別是 A1、A2、A3 A1、An

7、。從A1開始按順 序分析比賽場(chǎng)次：A1必須和 A2、A3、A4、,An逐一比賽1場(chǎng)，共計(jì)（n-1）場(chǎng)；A2已和A1賽過(guò)，他只需要和 A 3、A4、A5、An各賽1場(chǎng)，共計(jì)（n-2）場(chǎng)A 3已和A1 A2賽過(guò)、他只需要和 A4、A5、A6、An、各賽1場(chǎng)，共計(jì)（n-3） 場(chǎng)。以此類推，最后 An-1 只能和 An 賽 1 場(chǎng)解： Sn=（n-1 ） +（n-2） + +2+11=(1+n_1)(n-1)21 丄=n (n-1)(場(chǎng))2根據(jù)題意，Sn=105(場(chǎng))，貝U n (n-1) =210,因?yàn)閚是正整數(shù)，通過(guò)試算法，可知1514=210.則n=15,即共有15個(gè)男生參加了比賽。答：有15個(gè)

8、男生參加了比賽。練一練：從1到50這50個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50,有多少種不同的取法？答案： 625種例(6)若干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少6人，如果共有912人，問(wèn)最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？分析：從已知條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外到內(nèi)各圈依次減少6人，也就是告訴我們這個(gè)等差數(shù)列的和是912，項(xiàng)數(shù)是16,公差是6。題目要求的是等差數(shù)列末項(xiàng)an- a1 =d (n-1)=6(16-1)=90(人)解：an+a1=S 2 n=912216=114 (人)外圈人數(shù)=(90+114)2=102 (人)內(nèi)圈人數(shù)=(114-90)2=12 (人)答：

9、 最外圈有102人，最內(nèi)圈有12人。練一練：若干人圍成8圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人，如果共有304人,最外圈有幾人？答案:52人模擬測(cè)試（4 ）一、填空題（每小題5分）1、 有一串?dāng)?shù)，已知第一個(gè)數(shù)是6,而后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的數(shù)大4,這串?dāng)?shù)中第2003個(gè)數(shù)是。2、 等差數(shù)列0、3、6、9、12、45是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng)。從2開始的連續(xù)100個(gè)偶數(shù)的和是 。3、 一個(gè)劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多2個(gè)座位，第25排有70個(gè)座位，這個(gè)劇院共有 個(gè)座位。4、所有5、 除以4余1的三位數(shù)的和是。6、 時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘敲一下，一晝夜這個(gè)時(shí)鐘一共敲

10、 下。7、 一個(gè)五層書架共放了 600本書，已知下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放_(tái)本書，最下面一層放 本書。8、從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是 。9、在1949、1950、1951、1987、1988、這40個(gè)自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多。10、 有一列數(shù)：1、2002、2001、1、2000、1999、1、從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是 它前面兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個(gè)數(shù)開始到第2002個(gè)數(shù)為止這2002個(gè)數(shù)的和二、簡(jiǎn)答題（每小題10分）1、有10只金子，不相等？54個(gè)乒乓球，能不能把 54個(gè)乒乓球放進(jìn)盒子中去，使各盒子的乒乓球數(shù)2、小明家住在一條胡同里

11、，胡同里的門牌號(hào)從1號(hào)開始摸著排下去。小明將全胡同的門牌號(hào)數(shù)進(jìn)行口算求和， 結(jié)果誤把1看成10,得到錯(cuò)誤的結(jié)果為114,那么實(shí)際上全胡同有多少 家？3、有一堆粗細(xì)均勻的圓木，堆成如下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加 1根，最下面一層有 95根，問(wèn)：這堆圓木一共有多少根？4、有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，如下圖，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn), 第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，問(wèn)，這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？5、X+Y+Z=1993有多少組正整數(shù)解？模擬測(cè)試(4 )解答一、填空題1、80146+4(2003-1)=6+4 2002=80142、16(45-0)3+1=45

12、3+1=163、10100末項(xiàng)=2+ (100+1 )2=200和=(2+200)100 2=101004. 1150a1=70-(25-1)2=22(個(gè))總座位數(shù)：(22+70)25 2=1150 (個(gè))5、123525997。所有除以 4 余 1 的三位數(shù)為： 101、 105、109、 項(xiàng)數(shù)：（997-101 ） 4+1=225和：（ 101+997） 225 2=1235256、180(1+12 ) 12+1 24 =13 12+24 =180(下)7、100、140中間一層本數(shù)：6005=120（本）最上面一層：12-102=100(本）最下面一層：120+12=140（本）8、15

13、050構(gòu)成等差數(shù)列為：203、210、497。項(xiàng)數(shù) =（497-203） 7+1=43數(shù)列和 =（203+497） 43 2=150509、20(1950+1988) 20 2-(1949+1987) 20 2=3938 20 2-3936 20 2=39380-39360=2010、1782225在原數(shù)列中，以數(shù) 1為標(biāo)志，把三個(gè)數(shù)看成一組， 2002 3=6671，其中2001 個(gè)數(shù)分為 667組，有 667 個(gè) 1，因?yàn)橛嘞碌囊粋€(gè)數(shù)恰為 1，則 2002個(gè)數(shù)中有 668 個(gè) 1， 其余的數(shù)是 2002 則 669 有 1334 個(gè)數(shù)。668 1+（2002+669） 1334 2=668

14、+1781557=1782225二、簡(jiǎn)答題1 、 解：答：題中要求辦不到。2、解：誤把 1 看成 10，錯(cuò)誤結(jié)果比正確結(jié)果多 10-1=9 ，那么正確結(jié)果為 114-9=105，即全 胡同門牌號(hào)組成的數(shù)列求和為 105設(shè)全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3、n。數(shù)列求和：（1+n）n 2=105（ 1+n）n=210將 210 分解： 210=2 3 5 7=14 15則 n 為 14 答：全胡同實(shí)際有 14 家。3、解： 7+95=102（根）95-7+1=89 （層）102 89 2=4539（根）答：這堆圓木一共有 4539 根。4、解：第 100 層有點(diǎn)： 6+（99-1）6=6+98 6 =6 99=594（個(gè)）點(diǎn)陣只有點(diǎn)： 1+（ 6+594）99 2=1+600 99 2=29701 （個(gè)）答：這個(gè)點(diǎn)陣共有點(diǎn) 29701 個(gè)。5、解：當(dāng) X=1991 時(shí)，