五年級(jí)奧數(shù)第33講 包含與排除(容斥原理)

1、第 33 講 包含與排除（容斥原理） 一、專題簡(jiǎn)析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個(gè)集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 便組成一個(gè)數(shù)字集合。組成集合的每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個(gè)集合，每一個(gè)學(xué)生都是這個(gè)集合的元素，數(shù)字集合中有 10 個(gè)元素。兩個(gè)集合中可以做加法運(yùn)算，把兩個(gè)集合 a、b 合并在一起，就組成了一個(gè)新的集合 c。計(jì)算集合 c 的元素的個(gè)數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把 a、b的一切元素都“包含”進(jìn)來加在一起，再“排除”a、b 兩集合的公共元素的個(gè) 數(shù)，減去加了兩次的元素，即：c=abab。

2、在解包含與排除問題時(shí)，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、 很清楚，因而容易進(jìn)行計(jì)算。二、精講精練例 1五年級(jí) 96 名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有 64 人訂了少年報(bào)，有 48 人訂了小學(xué)生報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？1練 習(xí) 一1、一個(gè)班的 52 人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有 32 人做完了語文作業(yè)，有 35 人 做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級(jí)有 122 人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有 65 人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有 87 人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？例 2：某校教師至

3、少懂得英語和日語中的一種語言。已知有 35 人懂英語，34 人 懂日語，兩種語言都懂的有 21 人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？練 習(xí) 二1、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動(dòng)。已知有 900 人愛好體育活動(dòng)，有 850 人愛好文娛活動(dòng)，其中 260 人兩種活動(dòng)都愛好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生 多少人？22、某班在一次測(cè)驗(yàn)中有 26 人語文獲優(yōu)，有 30 人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有 12 人，另外還有 8 人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個(gè)班共有多少人？例 3：學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有 250 人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的有 83 人，參加乒乓球組的有 86 人，這

4、兩個(gè)小組都參加的有 25 人。問這 250 名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？練 習(xí) 三1、五年級(jí)有 250 人，其中參加象棋組的有 83 人，參加乒乓球組的有 86 人， 這兩個(gè)小組都參加的有 25 人。兩個(gè)小組都不參加的有多少人？2、五（1）班有 50 人，在一次測(cè)試中，語文 90 分以上的有 30 人，數(shù)學(xué) 90 分以上的 35 人，語文和數(shù)學(xué)都在 90 分以上的有 20 人。兩科都在 90 分以下的有 多少人？3例 4實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有 20 人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?16 人不是四年級(jí)的，有 12 人不是五年級(jí)的。該校書法比賽 獲獎(jiǎng)的總?cè)?/p>

5、數(shù)是多少人？練 習(xí) 四1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中 24 名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28 名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有 32 名，求五、六年級(jí)和中低年 級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？2、少年樂團(tuán)學(xué)生中有 170 人不是五年級(jí)的，有 135 人不是六年級(jí)的，已知五、六年級(jí)的共有 205 人，求少年樂團(tuán)中五、六年級(jí)以外的學(xué)生共有多少人？例 5在 100 個(gè)外語教師中，懂英語的有 75 人，懂日語的有 45 人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？4練 習(xí) 五1、40 人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的 有 30 人，做對(duì)第二題的

6、有 21 人。只做對(duì)第一題的有多少人？2 、五年級(jí) 122 名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語文 65 人得優(yōu)，數(shù)學(xué) 78 人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。三、課后作業(yè)1、某班有 50 名學(xué)生，在一次測(cè)驗(yàn)中有 26 人滿分，在第二次測(cè)驗(yàn)中有 21 人滿分。如果兩次測(cè)驗(yàn)都沒得過滿分的學(xué)生有 17 人，那么，兩次測(cè)驗(yàn)都得滿分的有 多少人？2、第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有 15 人，做對(duì)第二題的有 10 人，兩題都做對(duì)的有 7 人，兩題都做錯(cuò)的有 2 人。第一小組共有多 少人？53、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得 90 分以上的有 25 人，語文得 90 分以上的有21 人，兩科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。兩科都在 90 分以上的有多 少人？4、六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有 24 朵不是紅色的，有 20 朵不是黃色的， 已知紅花和黃花一