第七章參數估計

1、第七章 參數估計7.1 參數的點估計 7.2 估計量的評選標準一、 填空題1矩估計法是通過 參數 與 總體矩 的聯系，解出參數，并用 樣本矩 代替 總體矩 而得到參數估計的一種方法；2極大似然估計法是在 總體分布形式 已知情況下的一種點估計方法；3設是正態(tài)總體的一個樣本，則的極大似然估計為 ；總體方差的矩估計為 ；4.設為未知參數的估計量，若，則稱為的無偏估計量；5設為總體的一個樣本，則總體均值的無偏估計為 ；總體方差的無偏估計為 ；6.設總體服從二項分布已知，是來自的樣本，則的極大似然估計量為；解 ， ， ，令得到。7.在天平上重復稱量一重為的物品，假設各次稱量結果相互獨立且服從正態(tài)分布，若

2、以表示次稱量結果的算術平均值，則為使，的最小值應不小于自然數16。解 ，所以 ，解得所以只需，得到。二、 計算下列各題1. 設來自指數分布的一個樣本，試求的矩估計。解 ，令，所以的矩估計為。2. 設總體的密度函數為，是取自的簡單隨機樣本，（1）求的矩估計量；（2）求的方差。解 （1）因為 令即，所以的矩估計量為； （2）由于 所以。3. 設總體服從兩點分布（-分布），為未知參數，。是來自該總體的簡單隨機樣本，試求未知參數的矩估計和極大似然估計。 解 (1) ，所以的矩估計； 。4. 設總體的密度函數為，其中是未知參數，是來自該總體的一個簡單隨機樣本，試求參數的矩估計和極大似然估計。解（1）矩法

3、 ，令，則，所以的矩估計 ；（2）極大似然法 ，故， 并且令，解得。5. 設是來自參數為的泊松分布總體的一個樣本，試求的矩估計量及極大似然估計量。解 （1）總體的分布律為，因為 ，所以令，得到的矩估計量為；（2）樣本的似然函數為，則，令，解得的極大似然估計量為。6. 設總體其中未知，為其子樣，試證下述統計量：, ,都是的無偏估計，并指明哪個估計“最好”。證 同理可得, 故均為的無偏估計。又同理可得 , , , 故最好。7.(1)設是來自總體的樣本，試證是的無偏估計量； （2）試證在的一切形為的估計中，為最有效的。 證 （1）因為，所以是的無偏估計； (2)，下面求函數在條件下的極小值點。為此令

4、，令解得，得，從而得，從而證明了最有效。8. 設為正態(tài)總體的一個樣本，試適當選擇，使為的無偏估計。解 ，。 9.設是參數的兩個相互獨立的無偏估計，且，找出常數使也是的無偏估計，并且使它在所有的這種形狀的估計量中方差最小。解 要使,只需 即可；，即求最小值，且。設 ，令, 解得。10.設分別來自總體和中抽取容量為的兩獨立樣本，其樣本方差分別為，試證，對于任意常數，都是的無偏估計，并確定常數使達到最小。證 因為對于正態(tài)分布來說，樣本方差為其總體方差的無偏估計，即，而，所以 是的無偏估計。又因為，所以，所以由二次函數性質知，當時取最小值。這時，所以 當，時取最小。11.設某產品的壽命的概率密度為，是

5、測得個樣品的壽命，試求（1）的矩估計量；（2）的極大似然估計量。解 （1）由已知， ， 令，解得 ，其中； （2）似然函數 ，所以，因為，所以是的單調增函數，所以，故當時，取得最大值，故應取。又令得，當時，由，知在處達到最大，故有，從而得的極大似然估計量為，7.3 參數的區(qū)間估計一、填空題1. 設由來自正態(tài)總體，容量為的樣本，得樣本均值，則未知參數的置信度為的置信區(qū)間是 ；2.方差未知時,數學期望的置信度為的置信區(qū)間是；2. 方差的置信度為的置信區(qū)間為 ；4. 設是取自正態(tài)總體的樣本，其中和都是未知參數，的置信度為的置信上限為 ；5.設總體，是來自的樣本，總體是來自的樣本，為已知常數，兩個樣本

6、相互獨立，則的置信度為的置信區(qū)間為。二、計算下列各題1. 某種零件的長度服從正態(tài)分布，已知總體的標準差，從總體中抽取200個零件組成樣本，測得它們的平均長度為8.8cm，試估計在95%置信度下，全部零件平均長度的置信區(qū)間。解 ，對應于,所以 ，查表得 ， 因而置信區(qū)間為，即。2. 某縣1996年進行的一項抽樣調查結果表明：調查的400戶農民家庭每人每年的化纖布消費量為3.3m。根據過去的資料可知總體方差為0.96，試以95%的置信度估計該縣1996年農民家庭平均每人化纖布消費的置信區(qū)間。解，對應于, 查表， 置信區(qū)間為。3. 抽查食鹽的包裝重量，得重量(g)如下：506, 508, 499,

7、503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496設袋裝重量服從正態(tài)分布，試求總體均值與方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 （1） ，所以的置信區(qū)間為即 ；（2）由，查表得，方差的置信區(qū)間。4. 某車間生產銅絲，設銅絲折斷力服從正態(tài)分布，現隨機地取出10根，檢查折斷力，得數據如下：578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584，求銅絲折斷力方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 因為，這里，查自由度為10-1=9的分布表，得，從而 所以銅絲折斷力方差的置信度為0.95的

8、置信區(qū)間為（35.87, 252.44）。5. 已知兩個總體，方差已知，容量為，求的置信度為的置信區(qū)間。解 , , ， , ，所以 ，所以所求置信區(qū)間為 。6.分別使用金球和鉑球測定引力常數（單位：）， 用金球測定觀察值為6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672 用鉑球測定觀察值為6.661，6.661，6.667，6.667，6.664. 設測定值總體為，均為未知，但有，求兩個測定值總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間。解 由題意知：總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間為 ，這里，本題中，查表得，代入上述區(qū)間得總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間為。7.某

9、廠利用兩條自動化流水線灌裝番茄醬，分別從兩條流水線上抽取樣本：及，算出。假設這兩條流水線上裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布， 相互獨立，其均值分別為，（1）設兩總體方差，求的置信度為0.95的置信區(qū)間； （2）求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 （1）由于 ， 對，查分布表得，于是有 ，因此的置信度為0.95的置信區(qū)間上，下限分別為， 和， 所以的置信區(qū)間為； （2）由于，對于給定的置信水平， 即 ，的置信區(qū)間為。 由分布表對，查得，因此的置信度為0.95的置信區(qū)間為。8.設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（單位：小時）分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，

10、設干燥時間總體服從正態(tài)分布，在下列兩種情形下求的置信度為0.95的單側置信上限，（1）由以往經驗知（小時）；（2）若為未知。解 （1） 當已知時，于是即 于是，的置信度為的單側置信區(qū)間為，則為其單側置信上限。此時，查表得，代入上式得； （2）方差未知，此時，于是得，此處，查表得，代入上式得。9. 設兩位化驗員a,b獨立地對某種聚合物含量用相同的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為。設分別為a,b所測定的測定值總體的方差，設總體均為正態(tài)的，求方差比的置信度為0.95的置信上限。解 這時，于是，由此得，的置信度為0.95的單側置信上限為，查表得，將代入上式得的置信上限為2.84。10.設是來自