平面向量知識點(diǎn)及習(xí)題分章節(jié)推薦文檔

1、( )D.質(zhì)量( )B.長度相等的向量叫相等向量D.共線向量是在一條直線上的向量uuu uuu LULTOB、CO、OD 是()B .有相同終點(diǎn)的向量D .模都相同的向量()B.對任一向量a,|a|0總是成立的C. |AB|=| BA|D. | AB 1與線段BA的長度不相等平面向量必修4第2章平面向量 2.1向量的概念及其表示重難點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示 向量，掌握平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.考綱要求：了解向量的實(shí)際背景. 理解平面向量的概念及向量相等的含義. 理解向量的幾何表示.經(jīng)典例題：下列命題正確的是()A. a與b共線，b與

2、c共線，則a與 c也共線B. 任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C. 向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D. 有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行 當(dāng)堂練習(xí)：1下列各量中是向量的是A.密度B.體積C.重力2下列說法中正確的是A.平行向量就是向量所在的直線平行的向量C.零向量的長度為零uuur3 .設(shè)0是正方形ABCD的中心，貝U向量A0、A .平行向量C相等的向量4下列結(jié)論中，正確的是A.零向量只有大小沒有方向5. 若四邊形ABCD是矩形，則下列命題中不正確的是A. AB與CD共線B. AC與BD相等C. AD與CB是相反向量D. AB與CD模相等6. 已知0是正方形ABC

3、D對角線的交點(diǎn)，在以 0, A, B, C, D這5點(diǎn)中任意一點(diǎn) 為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，uuu(1 )與BC相等的向量有 ;uuu(2)與OB長度相等的向量有 uuu(3)與DA共線的向量有7. 在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等； 相等向量一定共線；長度相等的向量是相等向量；平行于同一個向量的兩個向量 是共線向量中，不正確的命題是 .并對你的判斷舉例說 明&如圖，O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，四邊形OAED , OCFB 都是正方形，在圖中所示的向量中：UULT(1)(2)寫出與uuurAO共線的向有(3)寫出與uuurAO的模相等的有(4)UULT

4、UUU向量AO與CO是否相等？答UUU9. O是正六邊形 ABCDE的中心，且OA以A, B, C, D , E, O為端點(diǎn)的向量中：(1 )與a相等的向量有UUUUUUTOB b , AB(2)與b相等的向量有C(3)與C相等的向量有10.在如圖所示的向量a , b , c , d , e中(小正方形的邊長為是否存在：(1)(2)(3)(4)是共線向量的有 是相反向量的為 相等向量的的 模相等的向量 ABC中，D , E, F分別是邊BC , AB , CA的中點(diǎn),11.如圖，E、F為端點(diǎn)的有向線段中所表示的向量中,UUU(1)與向量FE共線的有D與AO相等的向量有uuur(2) 與向量 D

5、F 的模相等的有 .uuur(3) 與向量 ED 相等的有 .12.如圖，中國象棋的半個棋盤上有一只 馬”，開始下棋時(shí)，它位于 A點(diǎn)，這只 馬 第一步有幾種可能的走法？試在圖中畫出來.若它位于圖中的P點(diǎn)，這只 馬”第一步有幾種可能的走法？它能否從點(diǎn) A走到與它相鄰的B?它能否從一交叉點(diǎn)出發(fā)， 走到 棋盤上的其它任何一個交叉點(diǎn)？必修4第2章平面向量 2.2向量的線性運(yùn)算重難點(diǎn)：靈活運(yùn)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則解決向量加法的問題，利 用交換律和結(jié)合律進(jìn)行向量運(yùn)算；靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量 的差，以及求兩個向量的差的問題；理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義掌握實(shí)數(shù)與向量的積 的

6、運(yùn)算律體會兩向量共線的充要條件.考綱要求：掌握向量加法，減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義. 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義。理解兩個向量共線的含義. 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.經(jīng)典例題：如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是ABC三邊AB, BC,CA的中點(diǎn),uEAJnBw FDC當(dāng)堂練習(xí):1. a、b為非零向量，且|a b| |a| |b|，則uuir uuuruuur2.設(shè)(AB CD) (BCa/b ；a . a與b方向相同b . a bc . a bD. a與b方向相反uuurDA) a，而b是一非零向量，則下列各結(jié)論：a b a :a b b二b,其中正確的是A .3. 則B.3 .在 AB

7、C中，D、E、F分別c.BC、CA、ABD .的中點(diǎn)，點(diǎn) M是厶ABC的重心,4.MA MB MC等于O b . 4MD C. 4MFD. 4ME已知向量&與b反向，下列等式中成立的是|a|5.若a|a| |b| |a b| B. |a b| |a b|b| |a b| d. |a| |b| |a b|b c化簡 3(a2b)2(3b c) 2(ab)C. cD .以上都不對6.已知四邊形 ABCD是菱形,占八、P在對角線AC上uuir（不包括端點(diǎn)A、C）,則AP =uuir(ABuuurAD).(0,1)uuir(ABuuirBC).（o，）uuir uuir C(AB AD).uuu(0,

8、1)uurD.(ABBC).7.已知|OA|a|3 |OB| |b|3/ AOB=60 ,&當(dāng)非零向量a和b滿足條件時(shí),使得a9.如圖，D、E、 F分別是ABC 邊 AB、BC、CA上的中點(diǎn)，則等式：uuur uuuruuiruuiruuuruuur FD DAAF0FDDEEF0uuuruuuruuiruuuruuuruuur DE DABE0ADBEAF0UULTuuur(0,b平分a和b間的夾角。則|a b|io若向量 x、y滿足2x 3y a，3x 2y b, a、 b為已知向量，則x=；y= ? AB = a, AF = b,試用a、b表示向量BC11. 一汽車向北行駛 3 km，然

9、后向北偏東60方向行駛3 km，求汽車的位移12. 如圖在正六邊形 ABCDEF中，已知CD AD，BE5必修4第2章平面向量 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示重難點(diǎn)：對平面向量基本定理的理解與應(yīng)用；掌握平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算. 考綱要求：了解平面向量的基本定理及其意義. 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. 會用坐標(biāo)表示平面向量的加法，減法于數(shù)乘運(yùn)算. 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.經(jīng)典例題：已知點(diǎn) A(x,0), B l)。2, x), D(6,2 x).uuu uuu求實(shí)數(shù)x的值，使向量AB與CD共線；uuu uuu當(dāng)向量AB與CD共線時(shí)，點(diǎn)A,B,C,D是否在一條直線上?當(dāng)

10、堂練習(xí)：1 若向量 a=(1,1),b=(1, - 1),c=( - 1,2),則 c 等于 ()13133131A 2 a 2 b B 2 a 2 b C 2 a 2 b D 2 a+ 2 b2 .若向量a=(x - 2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則 ()A x=1,y=3 B x=3,y=1 C x=1,y= 5 D x=5,y= 1 3已知向量 a (3,4),b (sin ,cos ),且a / b，則 tan3344A 4B 4c 3D 3aA*arAi4 已知 k ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)E,設(shè)ABe1ADe，用e1,e2來表示ED的表達(dá)式()1 _1 1 11 -111

11、 1 -一 e1e2e e2e1e2e1e2A22B 22C 22D 22( )5 已知兩點(diǎn)P 1( 1,6)、P2( 3,成的比為入，則入、y的值為()11A4, 8B 4 , 86 下列各組向量中：e,( 1,2)0),點(diǎn) P (3 , y)分有向線段PP2所1C 4，81D 4, 8 e(3,5)(2, 3) e(5,7)e2 (6,10)e2(2,有一組能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的判斷是()A . B .C .D .7.若向量a= (2, m)與b = (m, 8)的方向相反，貝U m的值是&已知 a=(2，3), b =(-5，6),則 |a + b|=，|a-b|

12、= 9 .設(shè) a = (2, 9) , b =(入,6), c=(-1,卩),若 a + b = c ,則入=,卩=.10 . ABC 的頂 點(diǎn) A(2 , 3) , B( 4 , 2)和重心 G(2 , - 1)，貝U C 點(diǎn)坐標(biāo)為.11. 已知向量el、e2不共線，若 AB=e1 e2, BC =2e1 8 e2, CD =3e1 + 3 e2,求證：A、B、D 三點(diǎn)共線.若向量入e1 e2與e1入e2共線，求實(shí)數(shù)入的值.12. 如果向量AB =i 2j, BC =i+mj,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量, 試確定實(shí)數(shù) m的值使A、B、C三點(diǎn)共線.必修4第2章平面向量 2.4

13、平面向量的數(shù)量積重難點(diǎn)：理解平面向量的數(shù)量積的概念，對平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)的理解. 考綱要求：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 了解平面向量數(shù)量積于向量投影的關(guān)系. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.經(jīng)典例題：在 ABC中，設(shè)AB 2,3 ,AC 1,k ,且ABC是直角三角形，求k的值.當(dāng)堂練習(xí)：1 已知a =（3, 0）,b=（-5,5）則a與b的夾角為（）A 450B、600C、1350D、12002.已知a：=(1 , -2),b = ( 5 , 8) , c：=(2 , 3)，則 a

14、 （b c）的值為()A.34B、（34 , -68)C、-68D、(-34 , 68)3.已知a =(2,3), b:=(-4 , 7)則向量a在b方向上的投影為() 1365AJ13B、5C、5D、,654.已知a=(3 , -1),b= ( 1 ,2),向量c滿足a c=7 ,-=且bc,則c的坐標(biāo)是()A.(2 ,-1)B、(-2 , 1)c、 (2, 1)D、(-2 , -1)5.有下面四個關(guān)系式(1) 0 - 0=0 ；= ，(2) (a b ) c：=a ( b c )； (3)a b =b-a;(4) 0a=0,其中正確的個數(shù)是()A、4B、3C、2D、16. 已知a=(m-2

15、，m+3)，b =(2m+1，m-2)且a與b的夾角大于90，則實(shí)數(shù)m()A、m2 或 mv -4/3B、-4/3 mv 2C、m 2 D、m 2 且 m-4/37. 已知點(diǎn) A (1 , 0), B ( 3, 1), C (2, 0)則向量 BC與CA的夾角是 。&已知 a= (1 , -1) , b = (-2 , 1),如果(a b) (a b),則實(shí)數(shù) =。9. 若|a|=2 , |b |= 2, a與b的夾角為45,要使kb _a與a垂直，則k=10. 已知 a+b =2i -8 j , a b =-8 i +16 j ,那么 a b =11.已知 2a + b = (-4, 3)

16、, a-2b = (3, 4),求 a b 的值。12.已知點(diǎn)A ( 1,2)和B (4,-1)，試推斷能否在 y軸上找到一點(diǎn) C,使 ACB=900 ? 若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由。必修4第2章平面向量 2.5平面向量的應(yīng)用重難點(diǎn)：通過向量在幾何、物理學(xué)中的應(yīng)用能提高解決實(shí)際問題的能力.考綱要求：會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題于其他一些實(shí)際問題.經(jīng)典例題：如下圖，無彈性的細(xì)繩 A，B的一端分別固定在 A，B處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC下端系著一個稱盤，且使得B C ,試分析A,B,C三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大？當(dāng)堂練習(xí)：1 .已知A、B、

17、C為三個不共線的點(diǎn)，P ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若 PA PB PC AB，則點(diǎn)P與厶ABC的位置關(guān)系是( )A、點(diǎn)P在厶ABC內(nèi)部B、點(diǎn)P在厶ABC外部C、點(diǎn)P在直線AB上D、點(diǎn)P在AC邊上 2.已知三點(diǎn) A (1, 2) , B (4, 1), C ( 0, -1)則厶ABC的形狀為A、正三角形B、鈍角三角形C、等腰直角三角形D、等腰銳角三角形3當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為，兩人用力都為|F|,若|F|=|G|,貝V的值為()A、300B、600C、900D、12004 某人順風(fēng)勻速行走速度大小為 際感到的風(fēng)速為a,方向與風(fēng)速相同，此時(shí)風(fēng)速大小為v,則此人實(shí)A、v-aB、 a-v

18、 C、v+a5艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，船的實(shí)際航行方向與水流方向成 300角，則水流速度為km/h。6兩個粒子a, b從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為Sa=(3 ,-4 ),Sb=( 4,3),( 1)此時(shí)粒子b相對于粒子a的位移(2)求S在Sa方向上的投影。7 .如圖，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，且 AP : PB= m : n，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn),uuu uuuuuu設(shè)OA a , OB b，試用m,n,a,b的運(yùn)算式表示向量OP .&如圖， ABC中，D , E分別是BC , AC的中點(diǎn)，設(shè) AD與BE相交于G,求證:AG : GD=B

19、G : GE=2 :1.C9.如圖,uurOGO是厶ABC外任一點(diǎn)，若1 uuu uuu uuur(OA OB OC)3，求證：G是厶ABC重心(即三條邊上中線的交點(diǎn))10. 只漁船在航行中遇險(xiǎn)，發(fā)出求救警報(bào)，在遇險(xiǎn)地西南方向10mile處有一只貨船收到警報(bào)立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)漁船沿南偏東750,以9mile/h的速度向前航行，貨船以必修4 2.6平面向量單元測試1-h1 .在矩形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，若BC 5ei,DC（）3e2)品B. 23e)C. 250)D.12(5e23e2 則 OC3e)第2章平面向量2 對于菱形 ABCD，給出下列各式:F列等式中成立的是 AB BC I

20、AB | | BC | |AB CD | | ADBC |2 |AC|2|BD|4|AB|2其中正確的個數(shù)為()A . 1個B . 2個C.3個D .4個3 .在ABCD中，設(shè)ABa,ADb, ACc,BD d，則下列等式中不正確的是( )1-f-H-A. a b cB.a bdC.badD. c a b4.已知向量a與b反向,A. |a| |b| |a b| B. |a b| |a b|C . |a| |b| |a b| D . |a| |b| |a b|5. 已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一 1, 0), ( 3, 0), (1, 5),則第四個點(diǎn)的坐標(biāo)為()A . (1, 5)或(

21、5, 5) B . (1, 5)或(3, 5)C . ( 5, 5)或(3, 5) D. (1 , 5)或(3, 5)或(5, 5)B-6. 與向量d (12,5)平行的單位向量為()(12 5)( 12 色、(12、( 12( 12 色、A. (13,) B.( 13，13)C .(13,13)或(13，13) D .( 13，13)7. 若|a b| 41 20 3 , |a| 4，|b| 5，則a 與b 的數(shù)量積為()A . 10 3 B. 10 3 C . 10 2 D . 1010.已知1a 1rb)36，則a與b的夾角為A. 60B. 120 C . 135D . 150A .,2

22、3 2(T，丁)2 (B .23 2、)3丘.(2，f)2D .3 22(2，2)2C9.設(shè)k R,下列向量中，與向量Q(1, 1)一疋不平行的向量是( )A .b(k,k)Bc(k,k)C .pd2 2(k 1,k1)D-Fe(k221,k1)&若將向量a （Z1）圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4得到向量b ,則b的坐標(biāo)為11.非零向量玄滿足lal |b| |a b|,貝y a,b的夾角為12.在四邊形ABCD中，若AB a,AD b,且1a b| |a b|,則四邊形abcd的形狀是13 已知 a (3,2), b (2, 1)，若 a b與ab 平行，則入=.214 已知e為單位向量，|a|=4

23、, a與e的夾角為 3 ，則a在e方向上的投影為.te fc- * *十15已知非零向量a，b滿足|a b| |a b|,求證：a b16.已知在 ABC中，AB (2,3) , AC (1，k),且厶abc 中/ c為直角，求k的值.17、設(shè)e,，e2是兩個不共線的向量，AB2e1ke2,CBei3e2 ,CD2e1e2,若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.ffff_a._i._fe._i.18已知|a| 2 |b| 3,a與b的夾角為60o,c 5a 3b ,d 3a kb,當(dāng)當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，c / d c d19 .如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點(diǎn)，PECF為矩形, 求證：PA

24、=EF;PA丄EF.20.如圖，矩形 ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O,點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn), 求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.參考答案 第2章平面向量 2.1向量的概念及其表示經(jīng)典例題：解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可 能是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于 C,其條件以否定形式給出，所以可 從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向 量，而由零向量與任一向量

25、都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與 b都是非零向量，所以應(yīng)選C.當(dāng)堂練習(xí)：1.C; 2.C;3.D; 4.C; 5.B;6. (1) AD OA,C，D, B, A，C,DO AD,BC,CB. ; 了.；8. ( 1 ) BF ( 2 ) DE,CO,BF( 3) AE, DE,DO, BO,CO,BF,CF(4)不相等；9. ( 1)DO,CB (2)EO, DC (3 OC,ED.10. (1) a,d(2) a,d(3)不存在(4) a,d , c;11.(1)BD,DB, DC,CD,BC,CB(2) AE,EA, EC,CE(3)FB,AF.12. 3種，8種，可以

26、（轉(zhuǎn)化為相鄰兩個中的互跳） 2.2向量的線性運(yùn)算 經(jīng)典例題：證明：連結(jié)DE, EF , FD .因?yàn)镈, E,F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，所以四邊形ADEF為平行四邊形由向量加法的平行四邊形法則，得uuu uuu uuuED EF EA (1),同理在平行四邊形BEFD中，uuu FDuuu FEUJU FB，在平行四邊形CFDE在中,uuir uiur ujltDF DE DC 將（ 1）相加，得uur uuu uur uur EA FB DC EDuuuEFuuuFDuuu FEuuur DEuur DFuuu uuuuuu(EF FE) (EDuuurDE)uuur(FDuurDF)（2）

27、a,duuu mur 又Q AB/CD當(dāng)堂練習(xí):（3）不存在（4）a,d c.?J11.北偏東30方向,大小為 33 km.12 BC AOABBO AB AF*ab CD AFb -AD 2BC2a b .BE 2AF2b 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示經(jīng)典例題：uuu解（1）AB(X,1)uuuCD (4, x)uur uurQ AB/CDx24,x2（2 ）由已知得uurBC(2 2x,x 1)當(dāng)X 2時(shí)，UJUBCuur(2,1)，AB (2,1)，uur AB和uuuBC不平行，此時(shí)A,B, C在一條直線上；當(dāng)X 2時(shí)，uurBCuuu(6, 3) AB (2,1)uuu uuu

28、AB BC ,此時(shí) A,B,C三點(diǎn)共線|a|1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8.A,B,C, D四點(diǎn)在一條直線上.,D不;10. (1) a, d|b|; 9.當(dāng)堂練習(xí)：1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 310 58 ； 9. -3 , 15; 10. (8,-4);11.解析：(1) BD = BC + CD =2e1-8e2+3(e1+e2) =5 e1-5e2=5 AB BD與AB共線又直線BD與AB有公共點(diǎn)B , A、B、D三點(diǎn)共線(2) vx e1-e2 與 e1-入 e2 共線存在實(shí)數(shù) k,使入

29、el e2=k( e1X e2)，化簡得(入k)e1+(k X l )e2=0ve1、e2不共線 ,由平面向量的基本定理可知：入一k= 0且kX l = 0解得入= l,故入= l.12 .解法一：v A、B、C三點(diǎn)共線即AB、BC共線存在實(shí)數(shù)入使得AB =入 BC即 i-2j=X( i+mj)即m= 2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線.解法二：依題意知:i=(1,0),j=(0,1)則 AB =(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m)而 AB、BC 共線 .lXm 1X( 2)=0 -m = 2故當(dāng)m= 2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線. 2.4平面向量的數(shù)量積 經(jīng)

30、典例題：解：若 A 90,則ABAC，于是 2 13 k 0k2解得3 ；若B故得0 -90 ,則 ABBC，又 BCACAB1,k 3,2 13 k30k解得11；若C9。,則ACBC，故1 1k k30k解得3. 132 113.132.所求k的值為3或3或2 .當(dāng)堂練習(xí)1.51.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8.2 ;9.2; 10. - 63;11. a=(-1,2)b =(-2,-1) a b =012.令 C(0,y),則AC :=(-1,y-2) CB(4, 1y)因?yàn)?ACB=900,所以 AC ?CB=o ，即-4+（y_2）（-i-y）=oy2-y+2=0,此方程無實(shí)數(shù)解,所以這樣的點(diǎn)不存在 2.5平面向量的應(yīng)用經(jīng)典例題：rrr