小學數(shù)學解題方法、思路歸納14：小學數(shù)學數(shù)陣問題

1、第十四講 數(shù)陣問題問題 58：幻方一、三階幻方例 1.把數(shù) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分別填入下面的 9 個方格里，使每行、 每列以及每條對角線上的 3 個格里的數(shù)的和都相等，等于 15。分析與解：把所給的數(shù)按從小到的順序排列成一行，確定出排在中間位置的 數(shù)（可以叫做中位數(shù)）是 5，把 5 首先填在方格的中間。1 、2、3 、4 、5 、6 、7 、8、9中位數(shù)要使每行、每列以及每條對角線上的 3 個格里的數(shù)的和都相等，我們以 5 為 中心，把其它數(shù)等距離分為四組：1 和 9、2 和 8、3 和 7、4 和 6。那么， 1 和 9 就要排在同一行，或同一列，或同一對角線兩端的方格里；

2、同樣的道理， 2 和 8、3 和 7、4 和 6 也都要排在同一行，或同一列，或同一對角線的兩端的方 格里。此時，每行、每列以及每條對角線上的 3 個格里的數(shù)的和都等于 15。由于三個數(shù)的和是 15，9 是最大的數(shù)，9 不能填在相同的一行里，因此第 組數(shù) 1 和 9 不可能填在對角線兩端的方格里。所以，把奇數(shù)組，第組數(shù) 1 和 9、 第組數(shù) 3 和 7 分別填在中間一列、中間一行。把偶數(shù)組，第組數(shù) 2 和 8、第組數(shù) 4 和 6 分別填在對角線兩端的方格里，102由于 8 不可能與 9 在相同的一行里，所以 2 要填在與 9 相同的一行里。再經(jīng)過試 算、調整就可以填寫出來。除了上面的解法外，我

3、們還可以用逐步調整的辦法解決這個問題： 先將從 1 到 9 這九個數(shù)字按一般形式排成一個方陣（如圖（1）579 71593圖（1 ）圖（2 ）圖（3）這時，圖（ 1）的兩條對角線、第二行、第二列上的三個數(shù)字的和已經(jīng)都等 于 15。同時利用行列式的對角線法則，平行于主對角線或次對角線的三個元素： （2，6，7）；（4，8，3）；（2，4，9），（6，8 ，1）的和都等于 15 。我們采用下 面的“對角線”法則對圖（ 1）的元素作下列調整：（1）將兩條對角線上的元素 繞中心旋轉 45 度（順時針或逆時針都可），如圖（2）或圖（3）所示；（2）對于 剩下的元素 2、4、6、

4、8，考慮它所在的“主對角線組”和“次對角線組”，例如 元素 2，它對應的“主對角線組”為（2，6，7），“次對角線組”為（2，4，9）， 因此“2”的主對角元為 7，次對角元為 9，這樣 2 在圖（2）或圖（3）中的位置 應該在十字架的“7”與“9”的交叉處；同理，4 應該在“3”與“9”的交叉處； 6 應該在“7”與“1”的交叉處；8 應該在“3”與“1”的交叉處。這樣填好之 后，得到圖（4）或圖(5)。816357492672159834圖（4）圖（5）這兩個圖已經(jīng)符合題目的要求。上面的這道題是有趣的數(shù)字排列圖，叫做幻方（古人把它叫做九宮圖）?；?方是我國祖先早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的。

5、我國古代有“河圖”和“洛書”的傳 說：在原始部落伏羲時代，有龍馬出于黃河背負“河圖”，有神龜出于洛水背負“洛103書”。而這種“河圖”和“洛書”的形象最早是宋人根據(jù)鄭玄的乾鑿度中的“載九 履一，左三右七，二四為肩，六八為足 ”造出來的。如下圖所示，我們填寫的方 陣圖正好與這種“河圖” 、“洛書”的形象完全一致。“洛書”作為數(shù)字方陣，也就是 我們所說的三階幻方。直到現(xiàn)在，仍然是許多數(shù)學家和數(shù)學愛好者感興趣的問題。其實，在三階方陣里填寫的數(shù)不一定是從 1 開始的自然數(shù)，可以從任何一個 數(shù)開始，這一列數(shù)可以是任何一個等差數(shù)列。二、五階幻方我們繼續(xù)用上面的調整法來制作五階幻方。將數(shù) 1 到 25 按自

6、然排列排成一個 5 階方陣，如圖（6）所示。按照幻方的要 求，五行、五列、兩條對角線上的5 個數(shù)的和應該相等。我們首先計算這個和應 該等于多少。由于 1232425=65，而 655=13，這說明 5 階幻方與 3 階幻 方一樣，中心位置的數(shù)應該是 13。在圖（5）中，兩條對角線、第三行、第三列的 5 個數(shù)的和已經(jīng)都等于 65： 17131925=65；59131721=65像三階幻方那樣，我們仍然采用下面的“對角線”法則對圖（ 6 ）的元素作 下列調整：（1）將兩條對角線上的元素繞中心旋轉 45 度得圖（7）或圖（8）：10421234 5516 7 8 9 10 11 12 13 14 1

7、5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25圖（6 ）91 7 13 19 25 1721圖（7 ）721 17 13 91925圖（8 ）5（2）對剩余的元素，寫出它相應的“主對角線組”和“次對角線組”：例如 元素 2，它的“主對角線組”和“次對角線組”分別是（2 ，8，14，20，21），（2， 6，23，19，15），這樣 2 在圖（7）或圖（8）中應該在對角元 21 和 19 的交叉處； 同時，在圖（6 ）中關于中心對稱的兩個元素在調整后的圖（ 7）或圖（8）中的 位置也應該是關于中心對稱的，這樣 24 在圖（7）或圖（8）中的位置就應該在 7 和 5 的交叉處；如此

8、下去，就得到下面的圖（9）或圖（10）：18 24 56 1214 10 122 1817 24 181522 3915 1620 11 73 2423 57 14 1617 13 19 25 21 17 13 954 613 20 2210 11 17 23 414 20 21 2 8 圖（9 ）2 23 19 15 6 8 4 25 16 12圖（10 ）10 12 19 21 3 11 18 25 2 9圖（11 ）這種手段可以用到一般的奇數(shù)階幻方的制作上。對于奇數(shù)階幻方，有人發(fā)現(xiàn)了下面的制作方法：對于 1、2、3、n ，先將 1 置于頂行正中，按照從小到大的順序向右 上方的臨近方格填寫

9、，遇到右上方“出格”（沒有方格）的情形，按照下面三個 原則處理：（1）要填的數(shù)超出上方邊界，則填到“出格”的這一列的最下面；（2） 要填的數(shù)超出上右邊界，則填到“出格”的這一行的最左邊；（3）要填數(shù)的位置 上已經(jīng)有別的數(shù)，或者超出右上角，則填在前一數(shù)的緊鄰下方。圖（11）就是按 照這種規(guī)則得到的 5 階幻方。三、四階幻方對于偶數(shù)階幻方，就不存在上面的“對角線法”，這是因為偶數(shù)階幻方?jīng)]有105中心元，雖然兩條對角線的元素之和相等（等于（116）16（24）=34）， 但旋轉 45 度后形成不了十字架，因此“對角線法”就不存在。這里只介紹前人研究得到四階幻方的兩種制作方法：12 3 4 1623

10、131 15 14 456 7 85 11 10 812 6 7 99 10 11 12976 128 10 11513 14 15 16圖（12 ）4 14 15 1圖（13 ）13 3 2 16圖（14 ）我們先將這 16 個數(shù)按自然順序排成一個正方形（圖（12）所示），它的兩條 對角線上的數(shù)字之和已經(jīng)等于 34，將每條對角線上的元素都進行中心對稱交換， 這樣得到的圖（13）已經(jīng)符合要求。另一種是四周不位于角上八個元素做正方形 的中心對稱交換，得到符合要求的圖（14）。四、幻方欣賞1、母子幻方31 36 29 76 81 74 13 18 1130 32 34 75 77 79 12 14

11、 1635 28 33 80 73 78 17 10 1522 27 20 40 45 38 58 63 5621 23 25 39 41 43 57 59 6126 19 24 44 37 42 62 55 6067 72 65 4 9 2 49 54 4766 68 70 3 5 7 48 50 5271 64 69 8 1 6 53 46 51圖（15 ）這個幻方由 9 個小幻方組成，整體本身也是一個 9 階幻方。2、歐拉象棋馬周游世界幻方1061 48 31 50 33 16 63 183051 46 3 62 1914 3547 2 49 32 15 34 17 64 52 29 4

12、 45 20 61 36 13 5 44 25 56 9 40 21 60 28 53 8 41 24 57 12 3743 655 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11圖（16 ）這個幻方是倫哈德歐拉在 18 世紀發(fā)現(xiàn)的。它由 4 個小幻方構成，也是一 個母子幻方。這個幻方的奇妙之處是，如果按照國際象棋中馬的走法，馬從數(shù)字 1 開始，可以依次到達從 1 到 64 的每一個數(shù)。所以人們把它稱之為“歐拉象棋 馬周游世界幻方”。3、六角幻方這個幻方是一個叫阿當斯的美國人發(fā)現(xiàn)的，發(fā)現(xiàn)這個幻方，阿當斯耗費了 47 年的業(yè)余時間。不僅如此，美國研究幻方的專家馬丁加德納

13、還證明了六角 幻方僅此一個再無其它。1514 139 8 106 411 5 121 218 7 1617 193五、其它形式的幻方例 2.把 1、2、3、4、5、6、7 分別填入下面圖中的圓圈里，使每條線上的 3 個圓圈里數(shù)的和相等。107分析與解：填數(shù)的關鍵是確定圖形中心位置圓圈里的數(shù)。設中心圓圈里的數(shù)是 a，由于 a 一共加了三次，所以有：12345672a282a又由于每條線上的三個圓圈里數(shù)的和相等，那么 282a 能被 3 整除。而 28 2a39（12a），12a 就能被 3 整除，因此，a 是 1 或 4 或 7。36171672154 26453 25743例2 圖1例2 圖2

14、例2 圖3當 a 是 1 時，每條線上的三個圓圈里數(shù)的和是（282）310，每條線上 另兩個數(shù)的和是 9，所以把剩下數(shù)分為三組：2 和 7、3 和 6、4 和 5，分別填入 就可以得出一種填法，見上面的圖 1。當 a 是 4 時，每條線上的三個圓圈里數(shù)的和是（288）312，每條線上 另兩個數(shù)的和是 8，所以把剩下數(shù) 分為三組：1 和 7、2 和 6、3 和 5，分別填入 就可以得出一種填法，見上面的圖 2。當 a 是 7 時，每條線上的三個圓圈里數(shù)的和是（2814）314，每條線 上另兩個數(shù)的和是 7，所以把剩下的數(shù)分為三組：1 和 6、2 和 5、3 和 4，分別 填入就可以得出一種填法，

15、見上面的圖 3。這是一道輻射型的數(shù)陣，要填的數(shù)還可以是其它的一些數(shù)。一般來說，這幾 個數(shù)是有限等差數(shù)列的數(shù)，其解題思路與這道例題的思路完全相同。例 3 把數(shù)字 1、2、3、4、5、6 填到下面圖中的圓圈中，使每條線上 3 個數(shù) 的和相等。108分析與解：填數(shù)的關鍵是確定圖形 3 個頂點處的數(shù)。1124656453322 43325 416 516圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）設 3 個頂點處的數(shù)分別為 a、b、c，每條線上 3 個數(shù)的和為 k，把 3 條線上 的數(shù)相加得：12345621（abc）3k可以看出（abc）能被 3 整除，并且 k=7（abc）3。當 a、b、c 分別是 1、2、3 時，123=6，6 能被 3 整除，并且 k=9。把 1、 2、3 分別填到圖形的三個頂點圓圈里，再用 9 減去兩個頂點上的數(shù)，就可以確 定中間的數(shù)是什么，從而得到一種填法。如上面的圖 1。當 a、b、c 分別是 1、3 、5 時，135=9，9 能被 3 整除，并且 k=10。把 1、3、5 分別填到圖形的三個頂點圓圈里，再用 10 減去兩個頂點上的數(shù)，就可 以確定中間的數(shù)是什么，從而得到一種填