全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題(1990)完整word版

1、歷年全國初1990 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷 第 一 試 一、一、 選擇題選擇題 本題共有 8 個(gè)小題，每小題都給出了(a)、(b)、(c)、(d)四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè) 是正確的，請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)。 1的值是（ ） 31 2 31 1 31 1 44 （a）1 （b）1 （c）2 （d）2 2在abc 中,ad 是高,且 ad2 = bdcd，那么bac 的度數(shù)是（ ） （a）小于 90 （b）等于 90（c）大于 90 （d）不確定 3方程是實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)根、kkkxkx(02)13(7 22 ，且 01，12，那么 k 的取值范圍是（ ） （

2、a）3k4； （b）2k1； （c）3k4 或2k1（d）無解。 4恰有 35 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分相同，那么這個(gè)相同整數(shù)是（ ） （a）17 （b）18 （c）35 （d）36 5abc 中，設(shè)為邊上任一點(diǎn)，22ab2ac2bcpbc 則（ ） （a）（b）pbpa 2 pcpbpa 2 pc （c）（d）的大小關(guān)系并不確pbpa 2 pcpbpa 與 2 pc 定 6若六邊形的周長等于 20，各邊長都是整數(shù)，且以它的任意三條邊為邊都不能構(gòu) 成三角形，那么，這樣的六邊形（ ） （a）不存在 （b）只有一個(gè) （c）有有限個(gè)，但不只一個(gè) （d）有無窮多個(gè) 7若的尾數(shù)是零，且，那么下

3、列四個(gè)b a log 2 loglog 1 logab b baa 結(jié)論：（ ） （1） （2） 2 1 ab b 0loglogab ba （3） （3）10ba01 ab 中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）4 8如圖，點(diǎn)，分別在的邊上、上，pqrabcabbcca 且，那么，面積的最大值是（ 1rcqrpqbpabc ） （a） （b）2 （c） （d）335 二、二、 填空題填空題 1 已知，則= 8 2 1 2 1 xx x x1 2 2，1234567892的和的個(gè)位數(shù)的數(shù)字是 222 3,2,1 3 方程，有兩個(gè)整數(shù)根，則 01)8)(xaxa 4

4、中，邊有 100 個(gè)不同的點(diǎn)，abc2 acabbc 1 p ，記 ( 1，2，100) 則 2 p 100 p iii bpapm 2 cpii = 21 mm 100 m 第 二 試 一、一、已知在凸五邊形 abcde 中，bae = 3，bc=cd=de，且bcd=cde=180 2，求證：bac=cad=dae 二、二、表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，令 xx xxx （1）找出一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足x1 1 x x （2）證明：滿足上述等式的，都不是有理數(shù)x 三、三、設(shè)有個(gè)正方形方格棋盤，在其中任意的個(gè)方格中各有一枚棋子。nn22n3 求證：可以選出行和列，使得枚棋子都在這行和列中。nnn3nn

5、19901990 年年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第一試 一、一、 選擇題選擇題 1 （d） 原式= 31 2 31 2 2 2 322 2 322 2 （d） 如圖，由，有 2bdad 2 cdbdad2 2 cd 222 2adcdbdbdcdbd2 22 cd )()( 2222 cdadadbd 2 )(cdbd 即 222 bdacab 可得 bac90 如圖,雖然 ,點(diǎn)在bdad 2 cdd 外,90,90abcabcbac 因此的度數(shù)不確定bac 3.（c） 記2)13(7)( 22 kkxkxxf 由1243 03)2( 082) 1 ( 02)0( 2 2 2 kk

6、 kkf kkf kkf 或 4.（a） 高這 35 個(gè)連續(xù)自然數(shù)最小的是,最大的是 2 n1) 1( 2 n 35) 1( 2 nn 即 3512n 17n 5.（c） 如圖,設(shè),xbp xpc 2 在中,由余弦定理,有abp bpcosbabbpabpa2 222 bxxcos248 2 在中,由余弦定理,有abc 2222 )2(2)22( cos 222 b 8 25 28 10 85 22 xxpa 而 2 2)2(xxxxpcpb 令 222 285xxxxpcpbpay 0 8 15 ) 4 7 (2872 22 xxx pcpbpa 2 6.（d） 若能找到 6 個(gè)整數(shù)使?jié)M足,

7、 21 aa, 6 a （1）； 21 aa20 6 a （2），； 1 a 2 a 21 aa 3 a 32 aa 4 a ，； 43 aa 5 a 54 aa 4 a （3） 54321 aaaaa 6 a 則以為邊長的六邊形，即可符合要求, 21 aa 6 , a 事實(shí)上，對(duì)任選三整數(shù) 1 6，必有，可見此六邊形的任ijk ji aa k a 三邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形 現(xiàn)取 ，則,8, 5, 3, 2, 1 654321 aaaaaa 4321 ,aaaa 滿足全部條件. 65,a a 故這樣的六邊形至少存在一個(gè).又由 n 邊形(n4)的不穩(wěn)定性,即知這樣的六邊形有 無窮多個(gè). 7. (a

8、) 由.bbb b aaaa log 2 1 loglog 1 log得 所以 0b a log 得,0log1, 11, 1ababa b 且或 所以結(jié)論(3)與結(jié)論(2)都是錯(cuò)誤的. 在結(jié)論(1)中,若.所以結(jié)論(1)也是錯(cuò)誤的. 2 . 1 . 1 , 1 ababb b 得從而得 這樣,只有結(jié)論(4)是正確的. 事實(shí)上,由,可得 2 loglogab aa b ab a ba log 1 log2log 2 1 又因?yàn)?0log2, 4)(log, 0log 2 bbb aaa 即所以 因?yàn)闉檎麛?shù),所以=-1,b a logb a log 即,結(jié)論(4)正確.1, 1 ab a b從而

9、 8. (b) 首先,若以,分別記,則 s,s,s均不大于pqrcrqbpqapr, .又因?yàn)? 2 1 11 2 1 acbpqr)(180 所以易證:(,分別為公共邊pr上的高,因若作出pqr關(guān)于pr 2 h 1 h 1 h 2 haprqrp , 的對(duì)稱圖形pqr，這時(shí)q，a都在以pr為弦的含a的弓形弧上，且因pq=qr，所 以q為這弧中點(diǎn)，故可得出h1h2） 。 從而s，這樣 1 s 2 1 =s+s+s+sn abc s2 2 1 4 最后，當(dāng)ab=ac-2，a=90時(shí)， sabc=2 即可以達(dá)到最大值 2。 二填空題二填空題 1 62 .622)( 11 2 2 1 2 1 2 x

10、x x x x x 018)8( 2 axax cpbpapm iiii 2 2 5 因 123456789=1012345678+9 所以所求數(shù)字等于 （1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字。 即 58+5=45 的個(gè)位數(shù)的數(shù)字，故所求數(shù)字為 5。 3 8 原方程整理為設(shè)x1,x2為方程的兩個(gè)整數(shù)根，由 x1+x2=a+8，知a為整數(shù)，因此，x-a和x-8 都是整數(shù)。故由原方程知 x-a=x- 8(=1) 所以 a=8 4400 作adbc，如圖，則bd=dc。 設(shè)bd=dc=y，dpi =x, 則 . 4 )( 2

11、 22 222 2 ac yad yxap yxxyap i i .400 10021 mmm 第二試 一一. .證明證明 如圖, 連 bd, ce. 因 .cdebcd cdebcd decdbc 2180 .decdcecdbcbd 3180)2180(bce 又 ,3bae 共圓 共圓同理可證 共圓 edcba edba ecba , , , .daecadbac 二二. .解法解法 1 設(shè), 0 , ,( 1 ,為整數(shù)nmn x mx) 1, 若 x+=+=1 x 1 是整數(shù)。1 1 nmnm x x 令 ),( 1 為整數(shù)k x x 即 01 2 kxx 解得 ).4( 2 1 2

12、kkx 當(dāng)易驗(yàn)證它不滿足所設(shè)等式。1,2xk時(shí) 當(dāng)3 時(shí)，是滿足等式的全體實(shí)數(shù)。k)4( 2 1 2 kkx 由于不是完全平方數(shù)（事實(shí)上，若則但當(dāng)3 時(shí)，4 2 k 22 4hk4 22 hkk 兩個(gè)平方數(shù)之差不小于 5） 。 所以 x 是無理數(shù)，即滿足題設(shè)等式的 x，都不是有理數(shù)。 解法 2 （1）取或)53( 2 1 x)53( 2 1 x （2）用反證法證明之。 反設(shè)滿足等式之x為有理數(shù)。 首先，若x為整數(shù)，則x=0，代入等式得=1，與 01 矛盾。 x 1 x 1 其次，若x為非整數(shù)的有理數(shù)。 令 （其中 n，p，q 均為整數(shù) 1. qp 且（q，p）=1） p q nx 則(其中 s

13、,r 為整數(shù)當(dāng) n0 時(shí) 0rnp+q 當(dāng) n-1 時(shí),np+qr0) qnp r x x 1 = x 1 qnp r 若x滿足等式，即 1 qnp r p q 即 .)()(qnppprqnpq 從而得 .)1 ( 2 rqnnppq 即 矛盾.1),(, 2 qpqp與整除 故滿足等式之x都不是有理數(shù). 三三. .證明證明 設(shè)各行的棋子數(shù)分別.且 nnn ppppp 2121 , . 1 p 2 p n p 1n p n p2 由題設(shè) ,3 2121 nppppp nnn 選取含棋子數(shù)為的這 n 行,則, 21n ppp , n ppp 21 n2 否則, 若, n ppp 21 12 n

14、 則 中至少有一個(gè)不大于 1, n ppp , 21 由,得 , nn pp 21 1n 從而中至少有一個(gè)大于 1,這與所設(shè)矛盾. nn pp 21 選出的這 n 行已含有不少于 2n枚棋子,再選出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚), 這樣選取的n行和n列包含了全部 3n枚棋子. 19911991 全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷試卷 第一試 一、選擇題一、選擇題 本題共有 8 個(gè)小題，每小題都給出了（a） 、 （b） （c） 、 （d）四個(gè)答案結(jié)論，其中只有 一個(gè)是正確的請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi) 設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中yaaxayaaxa)()( a，x，y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，

15、則的值是（ ） 22 22 3 yxyx yxyx （a）3 ； （b）； （c）2； （d） 3 1 3 5 如圖，abefcd，已知ab=20，cd=80，bc=100，那么ef的值是（ ） （a）10； （b）12； （c） 16； （d）18 方程的解是（ ）01 2 xx （a）； （b）； 2 51 2 51 （c）或； （d） 2 51 2 51 2 51 已知：（n 是自然數(shù)） 那么，的值是（ )19911991( 2 1 11 nn x n xx)1( 2 ） （）；（）； 1 1991 1 1991 （）；（）1991) 1( n 1 1991) 1( n 若，其中為自然數(shù)

16、，n 為使得等式成立的最大的m n 1210099321 自然數(shù)，則（ ） （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）能被整除，但不能被整除； （）不能被整除，也不能被整除 若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足，那么cbadcbadc 的最大值是（ ）dcba （）；（）；（）；（）150 如圖，正方形opqr內(nèi)接于abc已知aor、bop和crq 的面積分別是，和，那么，正方形opqr1 1 s3 2 s1 3 s 的邊長是（ ） （）；（）；（）2 ；（）323 在銳角abc中，abc的外接圓半徑1，則（ 1accab 60ar ） （） c 2 ； （）0 2；

17、（d）c = 2 二、填空題二、填空題 是平行四邊形abcd中bc邊的中點(diǎn)，ae交對(duì)角線bd于 g，如果beg的面積是，則平行四邊形abcd的面積是 1 1 s =1 3 s 3 2 s 已知關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)0 2 cbxax 系數(shù)，誤求得兩根為和；乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，誤求得兩根為和 ，那么，么， a cb32 3設(shè)m，n，p，q為非負(fù)數(shù)，且對(duì)一切x ，恒成立，則 q p n m x x x x) 1( 1 ) 1( q pnm 22 )2( 四邊形abcd中， abc，bcd，ab，bc， 135 120635 cd = 6，則ad = 第二試 一、

18、實(shí)數(shù) x 與 y，使得 x + y，x y，x y， y x 四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（x , y） 二、abc中，abacbc，d點(diǎn)在bc上，e點(diǎn)在ba的延長線上，且 bdbeac，bde的外接圓與abc的外接圓交于f點(diǎn)（如圖） 求證：bfafcf 二、 將正方形abcd分割為 個(gè)相等的小方格（n是自然數(shù)） ，把相對(duì)的頂點(diǎn) 2 n a，c染成紅色，把b，d染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩色中的一種顏 色證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù) 19911991 全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第 一 試 一、選擇題一、選擇題 120 135 1 （b

19、） 據(jù)算術(shù)根性質(zhì)，由右端知yaq，則上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾 若n (b)= (c); (d)不確定.mmm 3.若,則的個(gè)位數(shù)字是( )0113 2 xx 44 xx (a)1; (b)3; (c)5; (d)7. 4.在半徑為 1 的圓中有一內(nèi)接多邊形,若它的邊長皆大于 1 且小于,則這個(gè)多邊2 形的邊數(shù)必為( ) (a)7; (b)6; (c)5; (d)4. 5.如圖,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖)0(aaxyxy和)0(k x k y 像分別相交于 a 點(diǎn)和 c 點(diǎn).若和 rt的面積分別為 s1和 s2,則aobrtcod s1與 s2的關(guān)系是( ) (a) (b) (c

20、) (d)不確定 21 ss 21 ss 21 ss 答( ) 6.在一個(gè)由個(gè)方格組成的邊長為 8 的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為 4 的圓,若把88 圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部 1 s 分的面積之和記為,則的整數(shù)部分是( ) 2 s 2 1 s s (a)0; (b)1; (c)2; (d)3. 7.如圖,在等腰梯形abcd中, ab/cd, ab=2cd, ,又e是底邊ab上一點(diǎn),60a 且fe=fb=ac, fa=ab.則ae:eb等于( ) (a)1:2 (b)1:3 (c)2:5 (d)3:10 8.設(shè)均為正整數(shù),且 9321 ,xxxx

21、 ,則當(dāng) 921 xxx 220 921 xxx 的值最大時(shí),的最小值是( ) 54321 xxxxx 19 xx (a)8; (b)9; (c)10; (d)11. 二.填空題 1.若一等腰三角形的底邊上的高等于 18cm,腰上的中線等 15cm,則這個(gè)等腰三角形的 面積等于_. 2.若,則的最大值是_.0 x x xxx 442 11 3.在中,的平分線相交于點(diǎn)，又于點(diǎn)，abcbac和,90pabpee 若，則 .3, 2acbcebae 4.若都是正實(shí)數(shù)，且，則 .ba,0 111 baba 33 )()( b a a b 第二試第二試 一、設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，

22、當(dāng)這樣的06 2 axx 三角形只有一個(gè)時(shí)，求的取值范圍.a 二、如圖，在中，是底邊上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，abcdacab,bcead 且.acedbed2 求證：.cdbd2 三、某個(gè)信封上的兩個(gè)郵政編碼 m 和 n 均由 0，1，2，3，5，6 這六個(gè)不同數(shù)字組成， 現(xiàn)有四個(gè)編碼如下： a：320651b：105263 c：612305d：316250 已知編碼 a、b、c、d 各恰有兩個(gè)數(shù)字的位置與 m 和 n 相同.d 恰有三個(gè)數(shù)字的位置 與 m 和 n 相同.試求：m 和 n. 19921992 全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第一試 一選擇題 1.(c) 由(1,0)(0,1

23、). 0 1 ab ba 又由(1,1). 1 , 0 ab ba 共有 3 對(duì). 2.(b) 設(shè)是方程的根,則. 0 x0 0 2 0 cbxax 所以 2 0 2 0 22 0 44)2(babxxabax acbcbxaxa4)(4 2 0 2 0 .acb4 2 3.(d) 由知.所以,.0113 2 xx0 x13 1 xx1672132 22 xx ,從而的個(gè)位數(shù)字為 9-2=7.21672 44 xx 42 xx 4.(c) 若滿足條件的多邊形的邊數(shù)大于或等于 6,則至少有一邊所對(duì)的圓心角不大于 60. 由余弦定理知該邊長必不大于 1;同理,若存在滿足條件的四邊形,則它至少有一邊

24、長不小 于.2 5.(b) 設(shè) a 點(diǎn)的坐標(biāo)為(),c 點(diǎn)的坐標(biāo)為(), 11, y x 22, y x 則.kyxyx 2211 . 222111 2 1 2 1 2 1 2 1 scdodyxyxabobs 6.(b) 據(jù)正方形的對(duì)稱性,只需考慮它的部分即可.記圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分 4 1 的面積之和為，圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外部分的面積之和為，則1 s2 s ，.841 s4152 s . 44 . 2 56 . 4 415 84 4 4 2 1 2 1 s s s s 故的整數(shù)部分是 1. 2 1 s s 7.(b) 設(shè),則,易證,1cd2 abfa1 2 1 abbc 9

25、0abc .3acfbfe fg 是等腰三角形 bfd 頂角平分線，因而也是底邊 bd 上的中線即 bg=gd所以 bd=2bg=2dc 三、對(duì)于編碼 m，考慮編碼 a 中恰有兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字與 m 中相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相 同設(shè)這兩位是 x1，x2 數(shù)位由于 b、c 中該兩數(shù)位上的數(shù)字均與 a 在這兩數(shù)位上的數(shù) 字不同，因此 b，c 中這兩數(shù)位上的數(shù)字必與 m 中這兩數(shù)位上的數(shù)字不同，于是 b 中與 m 中數(shù)字相同的數(shù)位必異于 x1，x2不妨設(shè)為 x3，x4；同理 c 中與 m 中數(shù)字相同的數(shù)位只 能是異于 x1，x2，x3，x4 的 x5，x6 兩位關(guān)于 n 也有類似的結(jié)論這就是說，在每個(gè) 數(shù)

26、位上，a，b，c 分別在該數(shù)位上的數(shù)字中，必有一個(gè)與 m 在該數(shù)位上的數(shù)字相同；同樣 地，也必有一個(gè)與 n 在該數(shù)位上的數(shù)字相同 由此知，d 中的 6，0 兩數(shù)字必不是 m，n 在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字于是 d 的 3，1，2，5 中 只有一個(gè)數(shù)字與 m 在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字不同；與相比較也有類似的結(jié)果 (a)若 3 不對(duì)，則有 610253，013256； (b)若 1 不對(duì)，則有 360251，301256； (c)若 2 不對(duì)，則有 312056，310652； (d)若 5 不對(duì)，則有 310265，315206 經(jīng)檢驗(yàn)知：該信封上編碼 m，n 或者同為 610253，或者同為 310265或

27、者一個(gè) 是 610253，另一個(gè)是 310265 19931993 全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷試卷 第一試第一試 一一. .選擇題選擇題 本題共有 8 個(gè)小題,每小題都給出了(a), (b), (c), (d)四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是 正確的.請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi). 1.多項(xiàng)式除以的余式是( )1 612 xx1 2 x (a)1; (b)-1; (c); (d);1x1x 2.對(duì)于命題 .內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形. .內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形,以下四個(gè)結(jié)論中正確的是( ) (a),都對(duì) (b)對(duì),錯(cuò) (c)錯(cuò),對(duì). (d),都錯(cuò). 3.設(shè)是實(shí)數(shù),.下列四個(gè)結(jié)

28、論:x11xxy .沒有最小值; y .只有一個(gè)使取到最小值;xy .有有限多個(gè)(不止一個(gè))使取到最大值;xy .有無窮多個(gè)使取到最小值.xy 其中正確的是( ) (a) (b) (c) (d) 4.實(shí)數(shù)滿足方程組 54321 ,xxxxx . ; ; ; ; 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是實(shí)常數(shù),且,則的大 54321 ,aaaaa 54321 aaaaa 54321 ,xxxxx 小順序是( ) (a); (b); 54321 xxxxx 53124 xxxxx (c); (d). 52413 xxxxx 2413

29、5 xxxxx 5.不等式的整數(shù)解的個(gè)解( )73) 1(1 2 xxx (a)等于 4 (b)小于 4 (c)大于 5 (d)等于 5 6.在中,則的值abcbcaooa,是垂心是鈍角)cos(ocbobc 是( ) (a) (b) 2 2 2 2 (c) (d). 2 3 2 1 答( ) 7.銳角三角abc的三邊是a, b, c,它的外心到三邊的距離分別為m, n, p,那么m:n:p等于( ) (a); (b) cba 1 : 1 : 1 cba: (c) (d).cbacos:cos:coscbasin:sin:sin 答( ) 8.可以化簡成( ) 1 333 3 ) 9 1 9

30、2 9 4 (3 (a); (b) (c) (d) 12(3 33 ) 12(3 33 12 3 12 3 答( ) 二二. .填空題填空題 1. 當(dāng)x變化時(shí),分式的最小值是_. 1 563 2 2 1 2 xx xx 2.放有小球的 1993 個(gè)盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 個(gè)小球,且每四 個(gè)相鄰的盒里共有 30 個(gè)小球,那么最右面的盒里有_個(gè)小球. 3.若方程有四個(gè)非零實(shí)根,且它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距kxx)4)(1( 22 排列,則=_.k 4.銳角三角形abc中,.以bc邊為直徑作圓,與ab, ac分別30a 交于d, e,連接de, 把三角形abc分成三角形ade

31、與四邊形bdec,設(shè)它們的 面積分別為s1, s2,則s1:s2=_. 第二試第二試 一.設(shè)h是等腰三角形abc垂心,在底邊bc保持不變的情況下讓頂點(diǎn) a至底邊bc的距離變小,這時(shí)乘積的值變小,變大,還是不變?證 hbcabc ss 明你的結(jié)論. 二.中, bc=5, ac=12, ab=13, 在邊ab ,ac上分別取點(diǎn)d, abc e, 使線段de將分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段de的最abc 小長度. 三.已知方程分別各有兩個(gè)整數(shù)根及,00 22 bcxxcbxx及 21,x x 21,x x 且., 0 21 xx0 21 x x (1)求證:; 0, 0, 0, 0 2121

32、xxxx (2)求證:;1bc1b (3)求所有可能的值.cb, 19931993 年年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷答案試卷答案 第第 一一 試試 一選擇題一選擇題 1 （a） ，1) 1(1 66612 xxxx 余式為 1. 2 （b） 命題 i 正確，證明如下： 如圖，abcde為圓內(nèi)接五邊形，各內(nèi)角相等.由，知=，于是=.ba bce cea bc ea .eabc 同理可證 .故abcde是正五邊形.eacdabdebc 命題 ii 不正確，反例如下：如圖，abcd為圓內(nèi)接矩形， a=b=c=d =90,，但，顯然，abcd滿足命題 ii 條件，但不是正cdab dabc bcab 四邊

33、形. 3 （d） 因?yàn)椤⒎謩e表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn) 1 和點(diǎn)-1 的距離.1x1x 因此，當(dāng)-1x1 時(shí)，；211xxy 當(dāng)時(shí)，；1x212211xxxy 當(dāng)時(shí)，.1x212211xxxy 而在-1 與 1 之間無窮多個(gè)實(shí)數(shù)x，故有無窮多個(gè)x使y取到最小值. 4 （c） 給定方程組中的方程按順序兩兩相減分別得 ， 2141 aaxx 3252 aaxx ， 4313 aaxx 5424 aaxx ， 54321 aaaaa ，. 41 xx 52 xx 13 xx 24 xx 于是有 . 52413 xxxxx 5 （a） 注意到 73) 1(1 2 xxx . 0 )6)(1( , 0) 1)(

34、2( xx xx .210) 1)(2(xxxx或 .610)6)(1(xxx 于是原不等式的整數(shù)解是介于-1 與 6 之間且不等于 1,2 的整數(shù).即 0,3,4,5 四個(gè)整 數(shù). 6 （a） 設(shè)的三條高線ad、be、cf相交于點(diǎn)o.因?yàn)殁g角三角形，故其垂心oabcabc 在的外部（如圖）.abc b、d、f、o四點(diǎn)共圓， 故 .21 又由題設(shè) ，bcoa 知 ，oafrtbcfrt ，bfof 于是 .45bof 而 ocbobc ，135180bof 135cos)cos(ocbobc . 2 2 7 （c） 如圖，設(shè)o是的外心，abc ，rocoboa ，aboc r m cos 2

35、1 cos .armcos 同理 ，.brncoscrpcos .cbapnmcos:cos:cos: 8 （d） 原式 1 3 1 3 2 3 1 3 1 ) 122() 9 1 (3 .1212 12 1)2( 3 3 3 1 1 3 1 3 3 1 二、填空題二、填空題 14 22 2 6 22 10126 1 2 1 563 22 2 2 2 xxxx xx xx xx ， 1) 1( 2 6 2 x 當(dāng) x=-1 時(shí)，公式取最小值 4. 27 設(shè)從左到右小盒里的球數(shù)為 7,a2,a3,a1993, ，307 432 aaa30 5432 aaaa .7 5 a 同理 .7 19931

36、417139 aaaaa k 3 7 4 設(shè)，原方程變?yōu)?設(shè)此方程有根，則原yx 2 045 2 kyy)0(, 方程的四個(gè)根為，.由于它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距排列， ，故.)(9 由韋達(dá)定理 ，得5 ， 2 1 2 9 于是 ， 4 9 4k . 4 7 k 43 如圖，bc為圓的直徑， ，90180becaeb . 2 3 30coscosa ab ae 又 ，adeabc . 2 3 ab ae ac ad 由此可知 2 )( sin 2 1 sin 2 1 ab ae aacab aaead s s abc aed . 4 3 因而四邊形dbce面積 . abc ss 4 1 2

37、.3: 21 ss 第第 二二 試試 一、解法一、解法 1 1 不妨設(shè)角a是銳角，連接ah并延長交bc于d點(diǎn).延長bh、ch分別交 ac于 e，交ab于f，如圖. ,ahebhd .haehbd 因此 bdhrtadcrt . hd dc bd ad 又 ,bcdcbd 2 1 . 2 4 1 bcdcbdhdad 于是) 2 1 )( 2 1 (bchdbcadss hbcabc . 4 16 1 bc 當(dāng)a90時(shí)，同理可證上式也成立，由于bc是不變的，所以當(dāng)a點(diǎn)至bc的距離 變小時(shí)，乘積保持不變. hbcabc ss 解法解法 2 2 作圖如解法 1，再延長ad至g，使dg=dh，并分別連

38、接bg，gc. 由hbdgbd知， .cagcbhcbg 因而，a,b,g,c 四點(diǎn)共圓.由相交弦定理，得 dcbddgadhdad . 2 4 1 bc 因此， hbcabc ss ) 2 1 )( 2 1 (bchdbcad . 4 16 1 bc 由于bc是不變的.所以當(dāng)點(diǎn)a至bc的距離變小時(shí)，乘積保持不變. hbcabc ss 二、二、 由于，知abc是直角三角形.如圖.， 222 1312530125 2 1 abc s 設(shè) ，xad yae 由于 axys ade sin 2 1 ，15 ， 13 5 sina 知 xy = 78. 由余弦定理知： )cos1 (2)(cos2 2

39、222 axyyxaxyyxde ) 13 12 1 (782)( 2 yx 12，12)( 2 yx 當(dāng)x=y時(shí)，上式的等號(hào)成立，此時(shí) 達(dá)到最小值.3212 de 三、三、 （1）假如,同由，知，對(duì)于已知兩個(gè)方程用韋達(dá)定理0 1 x0 21 xx0 2 x 得，這與已知，矛盾.因此，. 2121 xxbxx0 21 xx0 21 xx0 1 x0 2 x 同理 ，.01x02x （2）由韋達(dá)定理及 ，有0 1 x0 2 x 1) 1( 2121 xxxxbc 0,) 1)(1( 21 xx cb-1. 對(duì)于方程 進(jìn)得同樣討論，得 bc-1.0 2 bcxx 綜合以上結(jié)果，有 b-1cb+1.

40、 （3）根據(jù)（2）的結(jié)果可分下列情況討論： （i）當(dāng) c=b+1 時(shí)，由韋達(dá)定理有從而.由于1 2121 xxxx2) 1)(1( 21 xx x1,x2都是負(fù)整數(shù)，故 或 . 2 1 , 11 2 1 x x . 1 1 , 21 2 1 x x 由此算出，.5b6c 經(jīng)檢驗(yàn) ，符合題意.5b6c （ii）當(dāng)c=b時(shí)，有，從而.因此 )( 2121 xxxx1) 1)(1( 21 xx .故 .2 21 xx4 cb 經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意.4 cb （iii）當(dāng)時(shí)，對(duì)方程 作（i）類似討論，得1 bc1 cb0 2 bcxx ，.6b5c 綜上所述得三組值： , 6 5 c b , 5 6 c

41、b . 4 4 c b 19941994 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試 一、選擇題 本題共有 8 個(gè)小題，每小題都給出了（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）四個(gè)結(jié)論，其中只有一 個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確結(jié)論代表字母在題后的圓括號(hào)內(nèi)。 1若 0ab，a+b= c，則 n=_。 2當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是_。6|1|x12|xxxy 3在abc 中，設(shè) ad 是高，be 是角平分線，若 bc=6，ca=7，ab=8，則 de=_。 4把兩個(gè)半徑為 5 和一個(gè)半徑為 8 的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相切，若要 用大圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑

42、等于 _。 第二試 一、如圖所示，在abc 中，ab=ac，任意延長 ca 到 p，再延長 ab 到 q 使，ap=bq，求證：abc 的外心 o 與 a，p，q 四點(diǎn)共圓。 二、周長為 6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在， 請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明共有幾個(gè)？ 三、某次數(shù)學(xué)競賽共有 15 個(gè)題，下表是對(duì)于做對(duì) n（n=0,1,2,15）個(gè)題人數(shù)的一 個(gè)統(tǒng)計(jì)，如果又知其中做對(duì) 4 個(gè)題和 4 個(gè)題以上的學(xué)生每人平均做對(duì) 6 個(gè)題，做對(duì) 10 個(gè) 題和 10 題以下的學(xué)生每人平均做對(duì) 4 個(gè)題，問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少？ n012312131415 做對(duì) n 個(gè)題的人數(shù) 78102115

43、631 19941994 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案 第第 一一 試試 一、選擇題 1 （a） ， a a a aa a 2 2 1 ) 1 () 1 ( 原式. a a aa a a a 1 1 1 1 1 1 2 2 （d） )(2)(2 222 cabcabcbazyx ，0)()()( 222 accbba 即，故x,y,z中至少有一個(gè)大于 0.0zyx 3 （b） 如 圖， 連接oc，od.設(shè)半圓o的半徑為 r，則在aod中，邊ao與 da上的高都為r，故ao=da. 同理，bo=bc.故ab=bc+da=5. 4 （b） 因?yàn)椋?，?于是， 2 199

44、41 x1994) 12( 2 x0199344 2 xx 20013 )199419974(xx 2001 22 1)199344()1993414(xxxxx .1) 1( 2001 5 （d） 因?yàn)槊恳粋€(gè)“三線八角”基本圖形中都有兩對(duì)同旁內(nèi)角，而從所給圖形中可以分解 出如下 8 個(gè)基本圖形，共有 16 對(duì)同旁內(nèi)角. 6 （c） 取，代入原方程得，即.此時(shí)方程有一個(gè)負(fù)根，于1pxx101 2 xx 是可排除（a） ， （b）. 取，代入原方程得，無解，故排除（d）.因此應(yīng)選（c）.1p01 2 xx 7 （b） 由題設(shè)可知，h，d，c，e四點(diǎn)共圓.因此，有（如圖） aeacahad bae

45、abaccos )( 2 1 222 bcabac .)( 2 1 222 acb 同理， ，)( 2 1 222 bacbebh .)( 2 1 222 cbacfch 所以 .)( 2 1 222 cbacfchbebhadah 8 （c） 由及可得及.故 xx a1994 zy b1994 xz a 11 1994 bz b 11 1994 .因此. z yx z ab 1 11 1 19941994)( 9972199411994ab 但a,b均不為 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b 1996 二、填空題二、填空題 1-4 ，且，所以，取，從而)2)

46、(1(2 2 xxxxba 2a1b .因此，1bac . 1 1 2 2 2 2 xxxx nmx 在上式中，令，得.0 x4n 216 由6 解得-7x5.1x 當(dāng) 0 x5 時(shí)，此時(shí) 22 ) 1(12xxxy ；16) 15( 2 增大 y 當(dāng)-7x0 時(shí)，此時(shí) 22 ) 1(212xxxy 因此，當(dāng)-7x5 時(shí)，y的最大值是 16. 3. 4 151 如圖，由已知有.由此可得 ab bc ea ce . abbc bc eace ce .3 14 6 7ce 又 bcac abbcac c 2 cos 222 ， 4 1 672 867 222 cdccedccedecos2 222

47、 . 16 151 4 1 4 1 732) 4 1 7(3 22 因此， . 4 151 de 4 3 1 13 如圖，設(shè)o1的半徑為 8，o2，o3的半徑為 5，切點(diǎn)為a，由對(duì)稱性可知，能蓋 住這三個(gè)圓的最小圓形片的圓心o必在對(duì)稱軸o1a 上，且與已知三個(gè)圓相內(nèi)切.若設(shè)這個(gè) 圓形紙片的半徑為r，則在 rto1o2a 中， .125)58( 22 1 ao 在 rtoo2a 中， 222 )812(5)5(rr 解出 . 3 1 13 3 40 r 第第 二二 試試 一、證明 如圖，連接oa,oc,op,oq.在和中，oc=oa.由已知，ocpoaq ，.abca bqap .aqcp 又o

48、是的外心，abc .oacocp 由于等腰三角形的外心必在頂角的平分線上. ，從而.oaqoacoaqocp 因此， ，ocpoaq 于是， .aqocpo 所以，o,a,p,q四點(diǎn)共圓. 二、這樣的直角三角形存在，恰有一個(gè).設(shè)此直角三角形斜邊為c,兩直角邊分別為 a,b,面積為s,則 abc1,k為整數(shù)）.若n=4k，此時(shí)12 kn n=k+(k+1) 由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)或(k1,k為整數(shù)).若，此時(shí)kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn 與是互質(zhì)的，因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k12 kndk12mdk12 (m,n是自然數(shù)

49、)，則，可見，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數(shù)相矛盾. 若 ，此時(shí)24 kn .)32() 12(kkn 與是互質(zhì)的.因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數(shù))，則，可見，所以，這與，均為奇2)(dnm2d2d12 k12 k 數(shù)相矛盾. 若 ，此時(shí)24 kn .)32() 12(kkn 與是互質(zhì)的.因?yàn)槿羲鼈冇泄驍?shù)d2，設(shè), 12 k32 kndk12mdk32 (m,n是自然數(shù))，則，可見，即d=2 或 4.這與，均為奇4)(dnm4d12 k32 k 數(shù)相矛盾. 綜上所述，原命題得證. 19951995 年全國初中數(shù)

50、學(xué)聯(lián)賽參考答案年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案 第一試 一、選擇題 1講解：這類指數(shù)冪的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或 化為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有 c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。選c。 利用lg20.3010，lg30.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以，但沒有優(yōu)越性。 2講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z1,進(jìn)而可求出兩個(gè) 解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程組 直接判斷：因?yàn)閤y(否則不是正整數(shù))，故方程組或無解或有兩個(gè)解，對(duì)照 選擇支，選b。 3講解：顯然，方程的一個(gè)根為1，另兩根之和為

51、x1x221。三根能 作為一個(gè)三角形的三邊，須且只須x1x21又 有044m1 4講解：四個(gè)選擇支表明，圓的周長存在且唯一，從而直徑也 存在且唯一又由 ab2ad225260252（52122）52132 (3242)132392522bc2cd2 故可取bd65為直徑，得周長為65，選d 5講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦?由是錯(cuò)誤的比如有的考生取ab為直徑，則mn0，于是就選b其 實(shí)，這只能排除a、c，不能排除d 不失一般性，設(shè)ceed，在ce上取cfed，則有ofoe，且s acesadesaef2saoe同理，sbcesbde2s boe相加，得sabcs

52、dab2soab，即mn選b 若過c、d、o分別作ab的垂線（圖3） ， ceab、dfab、olab，垂足分別為e、f、l連cf、de，可得 梯形cedf又由垂徑分弦定理，知l是ef的中點(diǎn)根據(jù)課本上做過 的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差 的一半，有 cedf2ol 即mn選b 6講解：取a-1、b2可否定a、c、d，選b一般地，對(duì)已知不等式平 方，有 a(ab)aab 顯然a(ab)0（若等于0，則與上式矛盾） ，有 兩邊都只能取1或-1，故只有1-1，即 有a0且ab0，從而b-a0選b 二、填空題 1講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力經(jīng)計(jì)算 12

53、，22，102，知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有4216，6236然后，對(duì)兩位數(shù) 10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有 b4或6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1，2，95中個(gè)位數(shù)出 現(xiàn)了幾次4或6，有29119 2.講解：這類問題一般都先化簡后代值，直接把a(bǔ) 學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡的方向不明確，最后又不會(huì)將a2a作為 整體代入這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活比如，由有 由，得 由并將代入，得 還可由得 即得所求 3講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)yx2x與反比例函數(shù) 因而x1時(shí)，y有最小值1 5 講解：

54、此題由筆者提供，原題是求sincab，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合 的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75、sin15 6 解法如下： 與ab2ab2ac2 聯(lián)立，可推出 而式、表明，ab、ac是二次方程 改為求cab之后，思路更寬一些如，由 第二試 一、講解：首先指出，本題有imo29-5（1989年）的背景，該題是：在直角 abc中，斜邊bc上的高，過abd的內(nèi)心與acd的內(nèi)心的直線分別交邊ab和ac 于k和l，abc和akl的面積分別記為s和t求證s2t 在這個(gè)題目的證明中，要用到ak alad 今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出akalad(斜邊上的高)，再求 證kl通過abd、adc的

55、內(nèi)心（圖7） 其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連fc、fd、fe， 然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過f作三邊的垂線，然后證明其中兩 條垂線段相等下面是幾個(gè)有代表性的證法 證法1：如圖6，連df，則由已知，有 連bd、cf，由cdcb，知 fbdcbd45 cdb45fdb， 得fbfd，即f到b、d和距離相等，f在線段bd的垂直平分線上，從而也在 等腰三角形cbd的頂角平分線上，cf是ecd的平分線 由于f是cde上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是cde的內(nèi)心 證法2：同證法1，得出cdf459045fde之后，由于 abc=fde，故有b、e、d、f四點(diǎn)共圓連ef，在證

56、得 fbd=fdb之后，立即有fedfbdfdbfeb，即ef是ced的平分 線 本來，點(diǎn)e的信息很少，證ef為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許 多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到e上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜 由這個(gè)證明可知，f是dcb的外心 證法4：如圖8，只證cf為dce的平分線由agcgbagab45 2， agc=adc=cad=cab+1 =45+1 得12 從而dcfgcf， 得cf為dce的平分線 證法5：首先df是cde的平分線，故 cde的外心i在直線df上 現(xiàn)以ca為y軸、cb為x軸建立坐標(biāo)系，并記cacbcdd,則直線ab是一次 函數(shù) y-xd 的圖象（圖9） 若記內(nèi)心

57、i的坐標(biāo)為（x1，y1） ，則 x1y1chih chhbcbd 滿足，即i在直線ab上，但i在df上，故i是ab與df的交點(diǎn)由交點(diǎn)的唯一性知i 就是f，從而證得f為rtcde的內(nèi)心 還可延長ed交o于p1，而cp為直徑來證 二、講解：此題的原型題目是： 于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫 坐標(biāo)的格點(diǎn) 這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式 求正整數(shù)解直接解，數(shù)字較繁但有巧法，由 及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63，從而 y21，所求的格點(diǎn)為(21，63) 經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算 有x2x1810 x 當(dāng)x0時(shí)，有x211x18

58、0， 得2x9，代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 當(dāng)x0時(shí)，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn)： (-6,6),(-3,3) 對(duì)x0，取x2,4,7,9,12,14,順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且當(dāng)x9時(shí)，由 對(duì)x0，取x-1,-3,-6,-8,順次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且當(dāng)x-x，再無滿足yx的解 故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略 解法3：先找滿足條件yx的整點(diǎn)，即分別解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)

59、再找滿足yx的整點(diǎn)，這時(shí) 2x9或-6x-3， 依次檢驗(yàn)得(4，3)、(7，6)故共有6個(gè)整點(diǎn) 三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n6時(shí)，在2，3，n2中，必有一個(gè)數(shù)a 與n互質(zhì)(2an2)，記bna2，有nab 此時(shí)，a與b必互質(zhì)，否則a與b有公約數(shù)d1，則d也是n的約數(shù)，從而a與n 有大于1的公約數(shù)，與a、n互質(zhì)矛盾 但是，對(duì)于初中生來說，這個(gè)a的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體 找出來 (1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 n2(n2)， (2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有 (3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有 19961996 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試第一試 一一. . 選擇題選擇題 本題共有 6 個(gè)小題，每一個(gè)小題都給出了以（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）為代號(hào)的四個(gè)答 案，其中只有一個(gè)答案是正確的.請(qǐng)將正確的答案用代號(hào)填在各小題的括號(hào)內(nèi). 1實(shí)數(shù)滿足，記，則的關(guān)系ba,1ab b b a a n ba m 11 , 1 1 1 1 、mn 為（ ） （a） （b） （c） （d）不確定. ;nm ;nm ;nm 2設(shè)正整數(shù)滿足，則這樣的的取值（ nma,nma24 2