北京市朝陽區(qū)2020屆高三上學期期中質量檢測數(shù)學試題 Word版含答案

1、x -xa b*北京市朝陽區(qū) 20192020 學年度第一學期高三年級期中 數(shù)學試卷201911（考試時間 120 分鐘滿分 150 分）本試卷分為選擇題（共 40 分）和非選擇題（共 110 分）兩部分考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。（1）已知集合a =x z x2a ”是“ a 為遞減數(shù)列”的n 1 2 n（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c）充分必要條件 （d）既不充分也不必要條件（8

2、）設f1，f2為橢圓 c ：x 2 y 2+ =1 的兩個焦點， m 為 c 上一點且在第二象限.若 9 5 mf f1 2a b第二部分為等腰三角形，則點 m 的橫坐標為（a）3 15 15 3 （b） （c） - （d） -2 2 2 2（9）在 abc 中， bac =90 ， bc =2 ，點 p 在 bc 邊上，且 ap (ab +ac ) =1 ，則 ap 的取值范圍是1 1（a） ( , 1 （b） ,12 2（c） (2 2 ,1 （d） ,12 2（10）已知集合 a ， b 滿足：（） a b =q ， a b =；（） x a ，若 x q 且 x y 1 2 2 1給出

3、以下命題：，則 x a2，則 y b 2；. 若集合a中沒有最大數(shù)，則集合b中有最小數(shù)；234若集合 a 中沒有最大數(shù)，則集合 b 中可能沒有最小數(shù)； 若集合 a 中有最大數(shù)，則集合 b 中沒有最小數(shù)；若集合 中有最大數(shù)，則集合 中可能有最小數(shù).其中，所有正確結論的序號是（a） （b） （c）（d）（非選擇題共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。（11） 已知向量 a =(1,-1) ， b =(3, m ) ，且 a /b ，則 m =_ （12） 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為_，最長棱的長度為_11正（主）視圖1側（左）視圖（第 12 題圖）

4、（13 ）已知直線 x -2 y +a =0 與圓 o : x2+y2=2相交于 a ， b 兩點（ o 為坐標原點），且俯視圖 aob 為等腰直角三角形，則實數(shù) a 的值為_（14）已知 a ， b 是實數(shù)，給出下列四個論斷： a b ；1 10 ； b 0 .以其中兩個論斷作為條件，余下的論斷中選擇一個作為結論，寫出一個正確的命題：-，_a x 2（15）已知函數(shù) f ( x ) = xex -1, x b 0) a 2 b 2經過兩點p (1,22)， q ( - 2,0) .（）求橢圓 c 的標準方程； （）過橢圓的右焦點 f 的直線 l圓交于另一交橢圓 c 于 a ， b 兩點，且直

5、線 l與以線段 fp 為直徑的點 e （異于點 f ），求 ab fe 的最大值.（21）（本小題 14 分）已知函數(shù) f ( x ) =ln xx +a( a 0)（）求曲線 y = f ( x ) 在點 (1, f (1) 處的切線方程；（）當 a =1 時，證明： f ( x)x -12；（）判斷 f ( x)在定義域內是否為單調函數(shù)，并說明理由（22）（本小題 13 分）已知無窮數(shù)列 a ， b ， c 滿足： n n *， a =| b | -| c | ， b =| c | -| a | ，n n n n +1 n n n +1 n nc =| a | -| b | 記 d =ma

6、x| a |,| b |,| c | （ max x, y , z 表示 3 個實數(shù) x ， y ， z 中的最 n +1 n n n n n n大值）（）若 a =1 ， b =2 ， c =3 ，求 b ， c 的可能值；1 2 3 1 1（）若 a =1 ， b =2 ，求滿足 d =d 的 c 的所有值；1 1 2 3 1（）設 a ， b ， c 是非零整數(shù)，且| a | ，| b | ， | c | 互不相等，證明：存在正整數(shù) k ，使 1 1 1 1 1 1得數(shù)列 a ， b ， c 中有且只有一個數(shù)列自第 k 項起各項均為 0 n n n， ，北京市朝陽區(qū) 20192020 學

7、年度第一學期高三年級期中質量檢測數(shù)學參考答案201911第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題 目要求的一項）（1）c（2）c （3）d （4）b （5）d（6）b （7）b（8）d （9）a（10）b第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）1（11） -3 （12） ， 3 （13） 561 1（14）若 a b ， b 0 ，則 a b（答案不唯一）（15）121； ( -,0 （16） ； 40112三、解答題（共 6 小題，共 80 分。解答應寫出文字

8、說明、演算步驟或證明過程） （17）（本小題 13 分）解：（）因為 apc =60，所以 apb =120.在 abp 中，ab =2 7， apb =120， bp =2，由余弦定理 ab2=ap2+bp2-2 ap bp cos apb，得ap2+2 ap -24 =0.所以ap =4.6 分（）在apc中，ap =4 pc =1 apc =60，由余弦定理 ac2=ap2+pc2-2 ap pc cos apc ，得 ac = 13 由正弦定理ap ac=sin acp sin apc 4 13= ，sin acp sin 60，得所以sin acp =2 391313 分（18）（本

9、小題 13 分）解：（）設a的公比為 nq，因為a =16,2 a +3a =32 1 3 2，n所以2 q2+3q -2 =0解得 q =-2（舍去）或q =12因此an的通項公式為1a =16 ( )2n -1=25-n6分（）由（）得b =3(5 -n )log 2 =15 -3n n 2，當 n 2 時， b -bn n -1=-3，故b 是首項為 b =12 ，公差為 -3的單調遞減等差數(shù)列. n 1則s =12n + n1 3n (n -1)(-3) =- ( n2 -9n) 2 2.又b =05，所以數(shù)列bn的前4 項為正數(shù)，所以當 n =4 或 5 時， s 取得最大值，且最大

10、值為ns =s =30 4 513分（19）（本小題 14 分）解：（）如圖，取 pa 中點 f ，連結 ef , bf . 因為 e 為 pd 中點， ad =4 ，p所以 ef / ad ， ef =12ad =2 .又因為 bc /ad ， bc =2 ， 所以 ef / bc ， ef =bc ， 所以四邊形 efbc 為平行四邊形. 所以 ce /bf .fe又因為 ce 平面 pab ,bf 平面 pab ，ad所以 ce / 平面 pab .4 分（）取 ad 中點 o ，連結 op ， ob .因為 pad 為等邊 三角形，所以 po od .bc又因為平面 pad 平面 ab

11、cd ，平面 pad 平面 abcd = ad ， 所以 po 平面 abcd .因為 od / / bc ， od =bc =2 ，所以四邊形 bcdo 為平行四邊形.因為 cd ad ，所以 ob od .如圖建立空間直角坐標系 o -xyz ，則 a(0, -2,0), b (2,0,0), c (2,2,0), e (0,1, 3), p (0,0,2 3) .所以 ac =(2,4,0), ae =(0,3, 3) .p設平面 ace 的一個法向量為 n =( x, y , z ) ，1eadybxc1 2則n ac =0, 1 即n ae =0, 12 x +4 y =0, 3 y

12、 + 3 z =0.令 x =-2，則 n =( -2,1,- 3) .1顯然，平面 acd 的一個法向量為 n =(0,0,1) ，2所以 cos = 1 2n n - 3 6 1 2 = =-n n 2 2 4 1 2.由題知，二面角 e -ac -d 為銳角，6所以二面角 e -ac -d 的余弦值為 .10 分4（）直線 ab 上存在點 q ，使得 pq / 平面 ace .理由如下：設 aq =lab .因為 ab =(2,2,0)， pa =(0, -2, -2 3) ，所以 aq =lab =(2l,2l,0)， pq =pa +aq =(2l,2l-2, -2 3) 因為 pq

13、 平面 ace ，所以 pq /平面 ace 當且僅當 pq n =0 .1即 (2l,2l-2, -2 3) (-2,1, - 3) =0 ，解得 l=2 .所以直線 ab 上存在點 q ，使得 pq / 平面 ace ，此時 （20 ）（本小題 13 分）aqab=2 14 分x 2 y 2解：（）因為橢圓 c : + =1(a b 0) 過點 p (1,a 2 b 222)， q ( - 2,0) ，a = 2, a = 2, 所以 1 1 得 + =1, b=1, a2 2b 2故橢圓 c 的標準方程為x 22+y 2 =14 分（）由題易知直線 l的斜率不為 0，設 l：x =ty

14、+1，由x =ty +1, x2+y 2 =1, 2得( t2+2) y2+2 ty -1 =0，顯然 d0 .設a( x , y ), b ( x , y ) 1 1 2 2，則y +y =1 2t-2t, y y =2 +2 t-12 +2.又 ab = 1 +t 2 y -y12.2以 fp 為直徑的圓的圓心坐標為(1,24)，半徑為r =24，故圓心到直線 l的距離為 d =1 -2t -141 +t 2=2t41 +t2.所以fe =2 r 2 -d 2 =21 1 t- 8 8 t 22 2 1=+1 2 t 2 +1.所以ab fe =22y -y =1 222( y +y )

15、1 22-4 y y1 2=224t 2 4 2 + =(t 2 +2) 2 t 2 +2 28t 2 +8 (t 2 +2) 2=2t 2 +1 (t 2 +2) 2=2(t211+1) + +2 t 2 +1，因為 t 2 +11 ，所以 (t +1) +t21+12 ，即(t21+1) +t21+1+214所以 ab fe 214=1當 t =0 時，直線與橢圓有交點，滿足題意，且ab fe =1，所以 ab fe（21）（本小題 14 分）的最大值為113 分解：函數(shù) f ( x )的定義域為 (0，+)， f(x) =a -ln x + +1x ( x +a ) 2（）因為 f (1

16、) =0，f(1)=1a +1，所以曲線 y = f ( x) 在點 (1, f (1) 處的切線方程為y -0 =1a +1( x -1)，即 x -( a +1) y -1 =04 分（）當a =1時，f ( x ) =ln xx +1欲證f ( x)x -12，即證ln x x -1 ，x +1 2即證 2ln x -x 2 +10令h ( x) =2ln x -x2+1，則 h(x) =2 -2( x -1)(x +1) -2 x =x x當x變化時， hxh(x)h( x )(x), h ( x)變化情況如下表： (0,1)10+極大值(1, +)-所以函數(shù) h( x)的最大值為 h

17、(1) =0，故 h( x) 0 所以f ( x)x -129分（）函數(shù) f ( x)在定義域內不是單調函數(shù)理由如下：令 g ( x) =-ln x +ax+1，因為 g1 a x +a(x) =- - =- 0且g (e a +1) =-ln e a +1 +eaa +1+1 =a (e1a +1-1) 0，從而 f(x) 0，所以函數(shù) f ( x)在 (0, m )上單調遞增；當 x (m, +)時， g ( x) 0，從而 f (x) 0，所以函數(shù) f ( x )在 ( m, +)上單233調遞減故函數(shù) f ( x )（22）（本小題 13 分）在定義域內不是單調函數(shù)14 分解：（）由

18、b =| c | -| a | ，得 | c | -1 =2 ，所以 c =3；2 1 1 1 1由 c =| a | -| b | ，得 | a | -2 =3 ，所以 a =5，3 2 2 2 2又 a =| b | -| c |=|b | -3 -3 ，故 a =5 ， | b |=8 ， b =8 2 1 1 1 2 1 1所以 b ， c 的所有可能值為1 1b =8 ， c =3 ；1 1b =8 ， c =-3；1 1b =-8， c =3 ；1 1b =-8， c =-33 分1 1（）若 a =1 ， b =2 ，記 c =x,1 1 1則a =2-| x |, b =|x

19、| -1, c =-1 2 2 2，2-| x |,0 | x | 1, d =1, 1 | x | 2, | x | -1,| x | 2,a =| x | -1| -1， b =1-| 2-| x | ， c =|2-| x | -| x | -1| ，3 3 3當 0 | x |1 時， a =-| x |, b =| x | -1, c =1 ， d =1 ，由 d =d ，得 | x | =13 3 3 3 3 2，不符合；當 1 | x |2 2-| x |,1 | x |1.5,d =|x | -1,1.5 | x | 2,時 ，a =| x | - 332 b =, x -|2|c，= 1-, x由 d =d3 2 當 | x | 2，得 | x |=1 ，符合；時， a =|x | -2, b =3-| x |, c =-13 3 3，1, 2 | x | 3, d =|x | -2,| x | 3,-2 - ,由 d =d ，得 | x |=2 ，符合；3 2綜 上 ， c 的 所 有1. 8 分取值是（）先證明“存在正整數(shù) k 3 ，使 a , b , ck k k中至少有一個為 0”假設對任意正整數(shù)k3，a , b , c k k k都不為 0，由a , b , c 1 1 1是非零整數(shù)，且| a |,| b |,| c |