三值噪聲調(diào)制下電路中的隨機(jī)共振現(xiàn)象

1、三值噪聲調(diào)制下電路中的隨機(jī)共振現(xiàn)象 摘要：本文研究了在三值噪聲和熱噪聲擾動(dòng)下的rlc電路的平均輸出幅度增益。利用隨機(jī)平均法和shapiro-loginov公式，得到了平均輸出幅度增益的精確表達(dá)式。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬，畫(huà)出了平均輸出幅度增益與平坦系數(shù)、有噪聲和無(wú)噪聲時(shí)，輸出信號(hào)振幅與輸入信號(hào)頻率之間的關(guān)系曲線。從結(jié)果來(lái)看，系統(tǒng)不僅表現(xiàn)出了隨機(jī)共振現(xiàn)象，甚至還出現(xiàn)了雙共振峰，這在雙值噪聲驅(qū)動(dòng)的rlc電路中(文獻(xiàn)11)是沒(méi)有的現(xiàn)象. 關(guān)鍵詞：三值噪聲、平均輸出幅度增益、rlc串聯(lián)電路、隨機(jī)共振pacs: 05.40.-a, 02.50.-r 基金項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金（10647134）; 寧波大學(xué)學(xué)

2、校人才工程項(xiàng)目（xr0708020 ） 在人們傳統(tǒng)的觀念中，噪聲是令人厭煩的。然而，當(dāng)噪聲與非線性系統(tǒng)結(jié)合，卻出現(xiàn)了許多非常奇妙的現(xiàn)象。例如噪聲誘導(dǎo)的相變、共振激活等等。在這些現(xiàn)象中隨機(jī)共振就是一例。隨機(jī)共振概念是1981年， benzi等人在研究古氣象冰川演化問(wèn)題時(shí)首次提出來(lái)的1-2。此后，隨機(jī)共振的理論和實(shí)驗(yàn)研究都引起了人們的極大興趣。在短短的二十多年間，被發(fā)現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象、利用隨機(jī)共振現(xiàn)象的系統(tǒng)，不僅僅出現(xiàn)在物理學(xué)領(lǐng)域里，而且在化學(xué)、工程、生物、現(xiàn)代通訊領(lǐng)域等等也已見(jiàn)到。早期，人們認(rèn)為系統(tǒng)要產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象必須具備三要素：周期信號(hào)、噪聲和非線性系統(tǒng)1-5。而近年的研究表明隨機(jī)共振現(xiàn)象可以

3、出現(xiàn)在具有乘性色噪聲或分段噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)中6-9。一般情況下，人們判斷系統(tǒng)是否產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象是根據(jù)信噪比對(duì)噪聲參數(shù)的非單調(diào)依賴關(guān)系， 但電路中幅度增益往往是人們關(guān)注的特征量。文獻(xiàn)9、文獻(xiàn)10在分別研究波動(dòng)阻尼參數(shù)振子的隨機(jī)共振及單模激光系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)7在研究受乘性和加性噪聲作用的線性系統(tǒng)的隨機(jī)共振時(shí)，發(fā)現(xiàn)信噪比是乘性噪聲相關(guān)時(shí)間的非單調(diào)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)關(guān)系有最小值出現(xiàn)。文獻(xiàn)11研究了非對(duì)稱雙值噪聲作用下的rlc串聯(lián)電路，并發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象。受此文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將采用文獻(xiàn)11中的rlc串聯(lián)電路模型，研究的是在三值噪聲18和熱噪聲共同調(diào)制下rlc串聯(lián)電路的隨機(jī)性質(zhì)。1.系統(tǒng)模型 為

4、了與文獻(xiàn)11進(jìn)行比較，本文采用與它類似的rlc電路，因此，描述系統(tǒng)的微分方程是 (1)式中是周期激勵(lì)信號(hào)。 表示電導(dǎo)，假設(shè)電導(dǎo)受到三值噪聲的擾動(dòng)，即，。 同時(shí)系統(tǒng)受到熱漲落的影響，于是方程(1)變?yōu)?(2)式中是未受擾動(dòng)時(shí)的電導(dǎo)，內(nèi)部漲落是高斯白噪聲，它的統(tǒng)計(jì)特性滿足 , (3)這里代表噪聲強(qiáng)度。是三值噪聲，它在，三值之間發(fā)生躍遷，躍遷概率為. 假設(shè),它的定態(tài)概率滿足，。而且，定態(tài)時(shí)，三值噪聲滿足的統(tǒng)計(jì)特征是 ， (4)轉(zhuǎn)移概率是噪聲關(guān)聯(lián)時(shí)間的倒數(shù)，即，. 由于電導(dǎo)不能為負(fù)值，因此對(duì)于三值噪聲的所有態(tài)，限制 (5)2.計(jì)算一階矩 在 (2)式中, 令 (6)則得到 (7)對(duì)(6)、(7)兩式取

5、系綜平均，得到 (8)(9)利用shaoiro-loginov12公式 (10)(11)(9)式中的關(guān)聯(lián)因子可以寫(xiě)為 (12)(12)式中的關(guān)聯(lián)因子可以寫(xiě)為 (13)(12)式中的關(guān)聯(lián)因子可以寫(xiě)為 (14)(14) 式中的關(guān)聯(lián)因子可以寫(xiě)為 (15)式(8)、(9)、(12)、(13)、(14)以及(15)構(gòu)成了一組關(guān)于六個(gè)變量，的封閉方程組. 這些方程的通解可以寫(xiě)成如下形式 (16)是積分常數(shù), 由初始條件確定. 滿足下列的多項(xiàng)式方程 (17) 其中 為了保證(16)式解的穩(wěn)定性，除了(5)式的限制之外，要求必須滿足負(fù)實(shí)根的條件. 根據(jù)勞斯-赫爾維茨判據(jù), 得到，（18）一階矩，也就是系統(tǒng)的平

6、均輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以寫(xiě)為 (19)或者是 (20)這里 ， 代表輸出信號(hào)的振幅，代表輸出信號(hào)的相位. ，系數(shù)的表達(dá)式寫(xiě)在附錄中。 由文獻(xiàn) 11的定義，該系統(tǒng)平均輸出幅度增益為 (21)， 它代表無(wú)噪聲時(shí)系統(tǒng)的輸出信號(hào)幅度。3.模擬結(jié)果由(23) 式，可得出系統(tǒng)的平均輸出幅度增益與噪聲參量及系統(tǒng)參量之間的變化關(guān)系. 圖. 1a-3b，分別繪出了有噪聲和無(wú)噪聲時(shí)，平均輸出幅度益與平坦系數(shù)，輸出信號(hào)振幅與輸入信號(hào)頻率關(guān)系曲線。圖中電阻單位為歐姆；電感單位為亨利；電容單位為法拉；電壓?jiǎn)挝粸榉?；其余物理量的單位為?dǎo)出單位。圖.1a 平均輸出幅度增益與平坦 圖.1b 平均輸出幅度增益與平坦系數(shù)關(guān)系曲線

7、(l=0.5h,c=2,g=0.1s, 系數(shù)關(guān)系曲線(l=0.1h,c=f, ,) g=0.1s,， ) 從圖.1a-1b中，可以看到在系統(tǒng)參量及噪聲參量取不同值時(shí)，隨著噪聲的平坦系數(shù)的增加，平均輸出幅度增益逐漸增加；在平坦系數(shù)達(dá)到某一個(gè)值時(shí)，平均輸出幅度增益達(dá)到最大值；此后，隨著噪聲的平坦系數(shù)的增加，平均輸出幅度增益反而逐漸的減小。說(shuō)明隨著噪聲的平坦系數(shù)的變化，平均輸出幅度增益出現(xiàn)了峰值，即系統(tǒng)表現(xiàn)出了隨機(jī)共振現(xiàn)象。 圖.2a 有噪聲時(shí)，輸出信號(hào)振幅 圖.2b 無(wú)噪聲時(shí)，輸出信號(hào)振幅與與輸入輸入信號(hào)頻率關(guān)系曲線 與輸入輸入信號(hào)頻率關(guān)系曲線(l=0.5h,c=2f,g=1s, (l=0.5h,

8、c=2f,g=1s,),) 在圖.2a-2b中，畫(huà)出了在相同的系統(tǒng)參量條件下，有噪聲輸入和無(wú)噪聲輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)振幅與輸入信號(hào)頻率的關(guān)系。從兩幅圖中可以看到不論有沒(méi)有噪聲隨著輸入信號(hào)頻率的變化，在它達(dá)到某一值時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)振幅都出現(xiàn)了峰值，說(shuō)明系統(tǒng)出現(xiàn)了隨機(jī)共振行為。不同的是，有噪聲時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出的隨機(jī)共振現(xiàn)象更強(qiáng)烈，而且出現(xiàn)了兩個(gè)峰值。 圖.3a 。有噪聲時(shí)，輸出信號(hào)振幅 圖.3b 無(wú)噪聲時(shí)，輸出信號(hào)振幅與輸入信號(hào)頻率之間的關(guān)系曲線 與輸入信號(hào)頻率之間的關(guān)系曲線 (l=0.04h, c=f,g=0.01s, (l=0.04h,c=f,g=0.01s,), , ) 在圖.3a-3b中，

9、我們畫(huà)出了在相同的系統(tǒng)參量條件下，有噪聲輸入和無(wú)噪聲輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)振幅與輸入信號(hào)頻率的關(guān)系。和圖.2a-2b相比較，系統(tǒng)的參量是完全不同的。但從圖.3a-3b中可以看到不論有沒(méi)有噪聲隨著輸入信號(hào)頻率的變化，在它達(dá)到某一值時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)振幅都出現(xiàn)了峰值，說(shuō)明系統(tǒng)出現(xiàn)了隨機(jī)共振行為。不同的是，有噪聲時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出的隨機(jī)共振現(xiàn)象更強(qiáng)烈。4.結(jié) 論本文研究了在三值噪聲和熱噪聲擾動(dòng)下的rlc電路的平均輸出幅度增益,從研究結(jié)果來(lái)看，在適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)、激勵(lì)信號(hào)和噪聲參數(shù)條件下, 平均輸出幅度增益表現(xiàn)出了隨機(jī)共振現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)了雙共振峰。 參考文獻(xiàn)：1 benzi r, sutera a, vulp

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