人教版九年級下冊數(shù)學(xué)《相似三角形應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計與同步練習(xí)(含答案)

1、相似三角形的應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)1 進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識2 能夠運(yùn)用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的一些實(shí)際問題3 通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：運(yùn)用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度2難點(diǎn)：靈活運(yùn)用三角形相似的知識解決實(shí)際問題（如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）3難點(diǎn)的突破方法（1）本節(jié)主要探索的是應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)等知識去解決某些簡單的實(shí)際問題（計算不能直接測量物體的長度和高度及盲區(qū)問題），學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了相似三角形

2、的概念、判定方法及性質(zhì)， 在此基礎(chǔ)上通過本課的學(xué)習(xí)將對前面所學(xué)知識進(jìn)行全面應(yīng)用初三學(xué)生在思維上已具備了初步的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，在心理特點(diǎn)上則更依賴于直觀形象的認(rèn)識（2）在實(shí)際生活中，面對不能直接測量出長度和寬度的物體及盲區(qū)問題，我們可以應(yīng)用相似三角形的知識來測量， 只要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型， 再利用線段成比例來求解 在教學(xué)中，要通過這些知識的教學(xué)， 幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題。另外， 還可以根據(jù)學(xué)生實(shí)情，選擇一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識解決問題的能力（ 3）課上可以通過著名的科學(xué)家名句和如何測量神秘的金字塔的高度來激發(fā)學(xué)

3、生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生積極參與探索，體驗(yàn)成功的喜悅（ 4）運(yùn)用三角形相似的知識解決實(shí)際問題對于學(xué)生來說難度較大，可以適當(dāng)增加課時教學(xué)過程一、例題的意圖相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面：（ 1）測高 ( 不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）測距 (不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離) 本節(jié)課通過教材P49 的例 3 P50 的例 5（教材 P49 例 3是測量金字塔高度問題；P50 例 4是測量河寬問題；P50 例 5是盲區(qū)問題）的講解，使學(xué)生掌握測高和測距的方法知道在實(shí)際測量物體的高度、寬度時，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實(shí)物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出

4、比例式求解講課時， 可以讓學(xué)生思考用不同的方法解這幾個實(shí)際問題，以提高從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力應(yīng)讓學(xué)生多見些不同類型的有關(guān)相似三角形的應(yīng)用問題，便于學(xué)生理解： 世上許多實(shí)際問題都可以用數(shù)學(xué)問題來解決，而本節(jié)的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是：運(yùn)用相似三角形相似比的相關(guān)知識解決問題，并讓學(xué)生掌握運(yùn)用這方面的知識解決在自己生活中的一些實(shí)際問題的計算方法其中 P50 的例 5 出現(xiàn)了幾個概念，在講此例題時可以給學(xué)生介紹（ 1）視點(diǎn)：觀察者眼睛的位置稱為視點(diǎn)； （ 2）視線：由視點(diǎn)出發(fā)的線稱為視線；（ 3）仰角：在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；（ 4）盲區(qū)：人眼看不到的

5、地方稱為盲區(qū)二、課堂引入問：世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”塔的個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230 多米據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了10 萬人花了20 年時間原高146.59 米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道， 那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時條件下是個大難題，因?yàn)槭呛茈y爬到塔頂?shù)哪阒捞├账故窃鯓訙y量大金字塔的高度的嗎？五、例題講解例 1（教材 P4

6、9 例 3測量金字塔高度問題）分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行， 從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度解：略（見教材P49）問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）解法二：用鏡面反射（如圖，點(diǎn)A 是個小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形） （解法略）例 2（教材 P50 例 4測量河寬問題）分析：設(shè)河寬PQ 長為 x m ，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形， 因此有 PQQR ，即x60 再PSSTx45 90解 x 的方程可

7、求出河寬解：略（見教材 P50）問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略） 例 3（教材 P50 例 5盲區(qū)問題）分析：略（見教材 P50）解：略（見教材P51）三、課堂練習(xí)1 在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例在某一時刻，有人測得一高為1.8 米的竹竿的影長為3 米，某一高樓的影長為60 米，那么高樓的高度是多少米?2 小明要測量一座古塔的高度，從距他 2 米的一小塊積水處C 看到塔頂?shù)牡褂埃阎∶鞯难鄄侩x地面的高度DE 是 1.5 米，塔底中心B 到積水處C 的距離是40 米 .求塔高 ?四、課后練習(xí)1 教材 P51.練習(xí) 1 和練習(xí) 22 如圖，小明

8、在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng) 5 米的位置上，求球拍擊球的高度h(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動 )3 小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m 的竹竿影長0.9m ，但當(dāng)他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得的樹高是多少？教學(xué)反思相似三角形應(yīng)用舉例同步練習(xí)一、基礎(chǔ)練習(xí)1如圖1， AB是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳B 距離1.6m ，梯上點(diǎn)D 距墻1.4m， ?BD ?長0.55m，則梯子的長為_m（1）（2）（3）2?要做甲、?乙兩個形狀相似的三角形框架， ?已知三角形框架甲

9、的三邊分別為 50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一邊長為 20cm那么， ?符合條件的三角形框架乙共有 _種，這種框架乙的其余兩邊分別為_3在 ABC 中， AB=3 ，AC=4 ， BC=5 ，?現(xiàn)將它折疊，?使點(diǎn) B?與點(diǎn) C?重合， ?則折痕長是_ 4如圖 2，矩形 ABCD ，AD=a ，AB=b ，要使 BC 邊上至少存在一點(diǎn)P，使 ABP ，? DPA，? PCD 兩兩相似，則 a， b 間的關(guān)系一定滿足（）13D a 2bA a bB a bC a b225如圖 3，已知三角形鐵皮ABC 的邊 BC=acm ，BC 邊上的高 AM=hcm ?要剪出一個正方形鐵片 DEF

10、G ，使 D、E 在 BC 上，G、F 分別在 AB 、AC 上，則正方形 DEFG 的邊長 =_ 6如圖 4，鐵道口的欄桿短臂長 1m，長臂長 16m當(dāng)短臂端點(diǎn)下降 0.5m 時， ?長臂端點(diǎn)升高 _m（桿的寬度忽略不計） （ 4）（5）（ 6）7如圖 5，設(shè)在小孔口前24cm 處有一枝長21cm 的蠟燭 AB ，AB 經(jīng)小孔 O 形成的像A ?B 恰好澆在距小孔后面16cm 處的屏幕上，則像A B的長是 _cm8如圖 6 所示，一張矩形紙片ABCD ， AD=9 ， AB=12 ，將紙片折疊，使A 、C 兩點(diǎn)重合，?折線 MN=_ 9如圖7 所示， ABCD為正方形，A 、E、F、G在同一

11、條直線上，并且AE=5cm ，EF=3cm ，?那么FG=_cm （ 7）（8）10如圖 8，在 Rt ABC 中， CD 為斜邊 AB 上的高， DE 為 Rt CDB 的斜邊 BC 上的高，若 BE=6 ， CE=4，則 AD=_ 二、整合練習(xí)1如圖，現(xiàn)有兩個邊長比為1： 2 的正方形 ABCD 與 A B C D，已知點(diǎn) B 、 C、 B、 C 在同一直線上，且點(diǎn) C 與 B 重合，請你利用這兩個正方形，通過截割、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，拼出兩個相似比為 1：3 的三角形，要求：（ 1）借助原圖拼圖； （ 2）簡要說明方法； （3）注明相似的兩個三角形2如圖，運(yùn)河邊上移栽了兩棵老樹4m 的 A

12、 、 C 處，向兩側(cè)地面上的點(diǎn)AB 、 CD ，它們相距20m，分別自兩樹上高出地面E 和 D 、B 和 F 處用繩索拉緊，以固定老樹，那么繩3m、索AD與 BC的交點(diǎn)P 離地面的高度為多少米？3小 R、小 D、小 H 在一起研究相似三角形，分別得到三個命題：（ 1）兩個相似三角形，如果它們的周長相等，那么這兩個三角形全等；（ 2）兩個相似三角形，如果有兩組邊長相等，那么這兩個三角形全等；（ 3）不等邊 ABC 的邊長為a、b、c，那么以a 、b 、c 為邊長的 A B ?C?一定不能與ABC 相似請你判定一下，這三個命題中，哪些是真命題？說說你的理由答案：一、基礎(chǔ)練習(xí)1 4.42 3若 20

13、 與 50 對應(yīng)，則另兩邊分別為24cm、 32cm；若 20 與 60 對應(yīng)，則另兩邊分別為50 cm, 80cm；若 20 與 80 對應(yīng)，則另兩邊分別為25cm、 15cm3323因 ABC 為 Rt ， B 與 C 重合，折痕 DE 為 BC 的中垂線交 BC 于 D 、AC 于 E、Rt CDE Rt CAB ， DECD ,DE351542ABCA84 ABP 、 DPA、 PCD 兩兩相似，即 APD=90 ，即以 AD 為直徑的圓與 BC?至少有一個交點(diǎn)P，所以 a 2b，選 D5設(shè)正方形 DEFG 的邊長為 x，由 FGBC ，所以 AGF ABC ，設(shè) AM 交 GF 于

14、N， ANGF ,即 hxx ,解得 xahAMBChaa h（ cm）6 8m 7 148設(shè) MN 與 AC 交于點(diǎn) O， MN 垂直平分 AC ， AD=9 ，AB=12 ，AC= AB2AC2 =15， CON CDA ， NOAD,NO915 , MN 2ON45OCDC12249設(shè) FG=xcm ，由 AFD GAB 和 AED GEB，得8xADAE5 ,解得FG16 8BGEG 3x3BEBC10由 DE AC ， BDE BAC ， CE=4，BE=6 ， DE 為 RtCDB 斜邊 BCBDAB上的高，22DEB CED ， DE =CE BE=24 ， BD =24+36=

15、60 ，BD=215 ，AD=4 153二、整合練習(xí)1連結(jié) BD 并延長交 A D 于點(diǎn) E，交 CD 的延長線于點(diǎn) F，將 DA E 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)至 FD E 位置，則 BAD FC B，且相似比為1：32過 P 作 PH BD 于 H，由于 AB BD ，CD BD ，所以 AB CD ， PH CD， ABP DCP， BP： PC=AB ： CD=3 ： 4，BP： BC=3 ： 7，又 BPH BCD ， PHBP=3 ，CDBC7所以 PH= 34= 12 ，即點(diǎn) P 離地面的高度為 12m777（這里 AB 、 CD 相距 20m 為多余條件） 3真命題為（1）、（3）理由是（ 1）若 ABC A B C，它們的相似比為k，（ ?k0）則ABBCCA =k ，ABBCCA ABC 的周長為 AB+BC+CA ， A B C的周長為 A B+B C +C A ， ?又 AB=A B k， BC=B C k， CA=C A k由周長相等，得k=1，所以 AB=A B， BC=B ? C， CA=C A ，所以 ABC A B C（2）是假命題，可舉反例若 ABC A BC，設(shè) AB=1 ，BC=2 ，CA= 2 ，AB =2 ，BC=22 ，CA =2，雖然有兩組邊長相等