初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座：求代數(shù)式的值

1、第三講求代數(shù)式的值用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計(jì)算， 求出代數(shù)式的值， 是一個(gè)由一般到特殊的過(guò)程具體求解代數(shù)式值的問題時(shí)， 對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題， 代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧例 1 求下列代數(shù)式的值：分析 上面兩題均可直接代入求值，但會(huì)很麻煩，容易出錯(cuò)我們可以利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的有關(guān)概念、法則，如合并同類項(xiàng)，添、去括號(hào)等，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再求值，這樣會(huì)大大提高運(yùn)算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性=0-4a 3b2-a 2b-5322=-41(-2) -1(-2)-5=-16+2-5=-19 (2) 原式 =3x2y-xyz+

2、(2xyz-x2z)+4x 2?3x 2 y-(xyz-5x2z)=3x 2y-xyz+2xyz-x 2z+4x2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2 z-5x 2z)=2xyz-2x 2z=2 (-1) 2 (-3)-2 (-1)2 (-3)=12+6=18說(shuō)明 本例中 (1) 的化簡(jiǎn)是添括號(hào)，將同類項(xiàng)合并后，再代入求值；(2) 是先去括號(hào)，然后再添括號(hào)，合并化簡(jiǎn)后，再代入求值去、添括號(hào)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化例 2 已知 a-b=-1 ，求 a3+3ab-b3 的值分析 由已知條件 a-b=-1 ，我們無(wú)

3、法求出 a，b 的確定值，因此本題不能像例 1 那樣，代入 a，b 的值求代數(shù)式的值下面給出本題的五種解法解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)a3+3ab-b3 =(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1 說(shuō)明 這是用代入消元法消去a 化簡(jiǎn)求值的解法 2 因?yàn)?a-b=-1 ，所以原式 =(a 3-b 3 )+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1 (a 2+ab+b2 )+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab=-(a 2-2ab+b2 )=-(a-b)2=-(-1) 2=-1 說(shuō)明 這種解法是利用了乘法

4、公式， 將原式化簡(jiǎn)求值的 解法 3 因?yàn)?a-b=-1 ，所以原式 =a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=(a-b) 3=(-1)3=-1 說(shuō)明 這種解法巧妙地利用了 -1=a-b ，并將 3ab 化為 -3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了 (a-b)3 解法 4 因?yàn)?a-b=-1 ，所以(a-b) 3 =(-1) 3=1，即 a 3+3ab2-3a 2b-b 3 =-1 ，a3-b 3 -3ab(a-b)=-1，所以 a 3-b 3-3ab(-1)=-1，即 a 3-b 3+3ab=-1說(shuō)明 這種解法是由 a-b=-1

5、 ，演繹推理出所求代數(shù)式的值解法 5a3+3ab-b3 =a3+3ab2-3a 2b-b 3 -3ab 2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 說(shuō)明 這種解法是添項(xiàng)，湊出 (a-b) 3，然后化簡(jiǎn)求值通過(guò)這個(gè)例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考， 才能找到簡(jiǎn)便的算法 在本例的各種解法中，用到了幾個(gè)常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：(a+b) 2=a2 +2ab+b2；(a-b) 2=a2 -2ab+b2；(a+b) 3 =a3+3a2b+3ab2+b3 ；(a-b) 3=a3 -3a 2b+3ab2 -b 3 ；

6、a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2) ；a3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2) 解 由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代數(shù)式中，消去xy ，然后化簡(jiǎn)所以解 因?yàn)?a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b 將 a，c 代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)得解 因?yàn)?(x-5) 2， m都是非負(fù)數(shù)，所以由 (1) 有由 (2) 得 y+1=3，所以 y=2下面先化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，然后再代入求值222=x y+5mx+10xy=522+0+10522=250例 6 如果 4a-3b=7，并且 3a+2b=19，求 14a-2b 的值分析 此題可以用方程組求出 a，b 的值，再分別代入 14a

7、-2b 求值下面介紹一種不必求出 a，b 的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52 x + x-1 + x-2 +x-3 +x-4 +x-5 的值分析 所求代數(shù)式中六個(gè)絕對(duì)值的分界點(diǎn)，分別為： 0， 1， 2，據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)， 將有 3 個(gè) x 和 3 個(gè)-x ，這樣將抵消掉x，使求值變得容易原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 說(shuō)明 實(shí)際上，本題只要x 的值在 2 與 3 之間，那么這個(gè)代數(shù)式的值就是9，即它與 x 具體的

8、取值無(wú)關(guān)例 8 若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7 可以寫成的形式，對(duì)于等比，我們通?？梢栽O(shè)它們的比值為常數(shù) k，這樣可以給問題的解決帶來(lái)便利x=3k，y=4k，z=7k因?yàn)?x-y+z=18 ，所以2 3k-4k+7k=18 ，所以 k=2，所以 x=6， y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8 例 9 已知 x=y=11，求(xy-1) 2 +(x+y-2)(x+y-2xy)的值分析 本題是可直接代入求值的下面采用換元法，先將式子改寫得較簡(jiǎn)潔，然后再求值解 設(shè) x+y=m，xy=n原式 =(n-1) 2+(m-2)(m-2n)22=(n-1)+m-2m-2mn+4n22=n -2n+1+4n-2