(2021年整理)2020年高考理科數(shù)學(xué)《立體幾何》題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練的全部內(nèi)容。192020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型

2、歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一線面平行的證明例1如圖，高為1的等腰梯形abcd中，amcdab1?，F(xiàn)將amd沿md折起，使平面amd平面mbcd，連接ab，ac。試判斷:在ab邊上是否存在點(diǎn)p，使ad平面mpc？并說明理由【答案】當(dāng)apab時，有ad平面mpc。理由如下：連接bd交mc于點(diǎn)n，連接np.在梯形mbcd中，dcmb，在adb中，,adpn.ad平面mpc,pn平面mpc，ad平面mpc.【解析】線面平行,可以線線平行或者面面平行推出.此類題的難點(diǎn)就是如何構(gòu)造輔助線.構(gòu)造完輔助線,證明過程只須注意規(guī)范的符號語言描述即可。本題用到的是線線平行推出面面平行。【易錯點(diǎn)】不能正確地分析dn與

3、bn的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果錯誤?！舅季S點(diǎn)撥】此類題有兩大類方法：1. 構(gòu)造線線平行,然后推出線面平行。此類方法的輔助線的構(gòu)造須要學(xué)生理解線面平行的判定定理與線面平行的性質(zhì)之間的矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系。在此,我們需要借助倒推法進(jìn)行分析.首先，此類型題目大部分為證明題，結(jié)論必定是正確的，我們以此為前提可以得到線面平行。再次由線面平行的性質(zhì)可知，過已知直線的平面與已知平面的交線必定平行于該直線,而交線就是我們要找的線，從而做出輔助線。從這個角度上看我們可以看出線線平行推線面平行的本質(zhì)就是過已知直線做一個平面與已知平面相交即可。如本題中即是過ad做了一個平面adb與平面mpc相交于線pn。最后我們只須嚴(yán)格使用正確

4、的符號語言將證明過程反向?qū)懸槐榧纯?。即先證ad平行于pn,最后得到結(jié)論.構(gòu)造交線的方法我們可總結(jié)為如下三個圖形。2. 構(gòu)造面面平行，然后推出線面平行。此類方法輔助線的構(gòu)造通常比較簡單，但證明過程較繁瑣，一般做為備選方案。輔助線的構(gòu)造理論同上。我們只須過已知直線上任意一點(diǎn)做一條與已知平面平行的直線即可。可總結(jié)為下圖例2如圖,在幾何體abcde中,四邊形abcd是矩形,ab平面bec，beec，abbeec2，g，f分別是線段be，dc的中點(diǎn)求證：gf平面ade;【答案】解法一：(1）證明：如圖，取ae的中點(diǎn)h,連接hg，hd，又g是be的中點(diǎn)，所以ghab，且ghab.又f是cd的中點(diǎn)，所以df

5、cd.由四邊形abcd是矩形得，abcd,abcd，所以ghdf，且ghdf,從而四邊形hgfd是平行四邊形，所以gfdh.又dh平面ade,gf平面ade，所以gf平面ade。解法2：(1）證明：如下圖，取ab中點(diǎn)m，連接mg，mf。又g是be的中點(diǎn)，可知gmae.又ae平面ade,gm平面ade，所以gm平面ade.在矩形abcd中，由m,f分別是ab，cd的中點(diǎn)得mfad。又ad平面ade，mf平面ade，所以mf平面ade。又因?yàn)間mmfm，gm平面gmf，mf平面gmf，所以平面gmf平面ade.因?yàn)間f平面gmf，所以gf平面ade?！窘馕觥拷夥ㄒ粸闃?gòu)造線線平行，解法二為構(gòu)造面面平

6、行?！疽族e點(diǎn)】線段比例關(guān)系【思維點(diǎn)撥】同例一題型二 線線垂直、面面垂直的證明例1如圖，在三棱錐p。abc中，paab，pabc，abbc，paab=bc=2，d為線段ac的中點(diǎn)，e為線段pc上一點(diǎn)(1)求證：pabd；(2）求證：平面bde平面pac【答案】(1)證明:因?yàn)閜aab，pabc，abbcb，所以pa平面abc。又因?yàn)閎d平面abc，所以pabd.(2）證明：因?yàn)閍bbc，d為ac的中點(diǎn)，所以bdac。由（1）知,pabd，又acpaa，所以bd平面pac.因?yàn)閎d平面bde，所以平面bde平面pac.【解析】(一)找突破口第(1)問：欲證線線垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，再得線線垂直

7、；第（2)問:欲證面面垂直,應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到先證線線垂直，借助（1)的結(jié)論和已知條件可證；（二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：paab，pabc線面垂直的判定定理，可證pa平面abc（1）證明線面平行的條件：一直線在平面外,一直線在平面內(nèi)（2)證明線面垂直時的條件:直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線（3）求點(diǎn)到面的距離時要想到借助錐體的“等體積性”信息：abbc,d為ac的中點(diǎn)等腰三角形中線與高線合一，可得bdac信息:pabd證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化到證明一直線垂直于另一直線所在平面，再由線面垂直的定義可得信息:平面bde平面pac面面垂直的判定定理，線線垂直線面垂直面面垂直信息：

8、pa平面bde線面平行的性質(zhì)定理,線面平行,則線線平行，可得pade【易錯點(diǎn)】規(guī)范的符號語言描述,正確的邏輯推理過程.【思維點(diǎn)撥】(1）正確并熟練掌握空間中平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，是進(jìn)行判斷和證明的基礎(chǔ)；在證明線面關(guān)系時，應(yīng)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，尤其是一些線面平行與垂直關(guān)系，這些都可以作為條件直接應(yīng)用（2）證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行（3)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存

9、在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決（4)證明的核心是轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，面面線面線線題型三 空間向量例1如圖,四面體abcd中，abc是正三角形，acd是直角三角形，ab=bd.（1)證明:平面acd平面abc；（2）過ac的平面交bd于點(diǎn)e，若平面aec把四面體abcd分成體積相等的兩部分,求二面角daec的余弦值【答案】(1)證明：由題設(shè)可得，abdcbd，從而addc。又acd是直角三角形，所以adc90。取ac的中點(diǎn)o，連接do，bo，則doac，doao.又因?yàn)閍bc是正三角形，所以boac.所以dob為二面角dac。b的平面角在rtaob中，bo2ao2ab2.又a

10、bbd，所以bo2do2bo2ao2ab2bd2，故dob90.所以平面acd平面abc.(2)由題設(shè)及(1）知，oa，ob，od兩兩垂直以o為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o.xyz，則a（1，0，0)，b（0，0），c（1,0,0)，d(0,0,1）由題設(shè)知,四面體abce的體積為四面體abcd的體積的，從而e到平面abc的距離為d到平面abc的距離的,即e為db的中點(diǎn)，得e.故（1，0,1），（2,0,0），。設(shè)n（x1，y1,z1）是平面dae的法向量，則即可取n。設(shè)m(x2,y2，z2)是平面aec的法向量，則即可取m（0，1，）則cosn，

11、m.由圖知二面角dae。c為銳角，所以二面角d。ae。c的余弦值為.【解析】（一）找突破口第（1）問：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化去證線面垂直或證其二面角為直角,即找出二面角的平面角,并求其大小為90；第（2）問:欲求二面角的余弦值，應(yīng)轉(zhuǎn)化去求兩平面所對應(yīng)法向量的夾角的余弦值，即通過建系，求所對應(yīng)法向量來解決問題(二）尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：abc為正三角形，acd是直角三角形特殊三角形中的特殊的邊角：abc中三邊相等,acd中的直角(1）建系時要證明哪三條線兩兩垂直，進(jìn)而可作為坐標(biāo)軸(2）兩平面法向量的夾角不一定是所求的二面角,也有可能是兩法向量夾角的補(bǔ)角，因此必須說明角的范圍信息：ab

12、dcbd，abbd邊角相等關(guān)系可證兩三角形全等,進(jìn)而可證addc，adc90信息:證明：平面acd平面abc面面垂直的證明方法：幾何法或定義法信息:體積相等由體積的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到面的距離的大小關(guān)系，進(jìn)而知點(diǎn)e為db的中點(diǎn)【易錯點(diǎn)】正確建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的計算?！舅季S點(diǎn)撥】1利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算；(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論2求空間角應(yīng)注意的3個問題(1)兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos cos .（2）直線與平面所成的角的正弦值等于平

13、面的法向量與直線的方向向量夾角的余弦值的絕對值,注意函數(shù)名稱的變化(3)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角【鞏固訓(xùn)練】題型一線面平行的證明1。如圖，在正方體abcda1b1c1d1中,s是b1d1的中點(diǎn)，e、f、g分別是bc、dc、sc的中點(diǎn)，求證：（1）直線eg平面bdd1b1;(2）平面efg平面bdd1b1.【答案】詳見解析【解析】（1)如圖,連接sb，e、g分別是bc、sc的中點(diǎn)，egsb.又sb平面bdd1b1，eg平面bdd1b1，直線eg平面bdd1b1。（2）連接sd，f、g分別是dc、sc的中點(diǎn)，fgsd。又sd平面bdd1b1，fg平面bd

14、d1b1，fg平面bdd1b1，又eg平面efg，fg平面efg,egfgg,平面efg平面bdd1b1。2。如圖，四棱錐pabcd的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱pa底面abcd，且pa2，e是側(cè)棱pa上的中點(diǎn)求證:pc平面bde；【答案】詳見解析【解析】證明：連接ac交bd于點(diǎn)o，連接oe，如圖：四邊形abcd是正方形，o是ac的中點(diǎn)又e是pa的中點(diǎn)，pcoe。pc平面bde，oe平面bde，pc平面bde。3.如圖，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形,dab60，ab2cd2，m是線段ab的中點(diǎn)求證:c1m平面a1add1；【答案】詳見解析【解析】證明：因?yàn)樗倪呅蝍

15、bcd是等腰梯形，且ab2cd,所以abdc.又由m是ab的中點(diǎn)，因此cdma且cdma。連接ad1，在四棱柱abcda1b1c1d1中,因?yàn)閏dc1d1,cdc1d1,可得c1d1ma，c1d1ma，所以四邊形amc1d1為平行四邊形因此c1md1a，又c1m平面a1add1，d1a平面a1add1，所以c1m平面a1add1.題型二 線線垂直、面面垂直的證明1。如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd,abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中點(diǎn)(1)證明：cdae；（2)證明：pd平面abe;【答案】詳見解析【解析】（1)在四棱錐pabcd中，因?yàn)閜a底面abcd，c

16、d平面abcd，故pacd，accd，paaca，cd平面pac，而ae平面pac，cdae，(2)由paabbc，abc60,可得acpa,e是pc的中點(diǎn)，aepc，由(1)知，aecd，且pccdc，所以ae平面pcd，而pd平面pcd，aepd，pa底面abcd，pd在底面abcd內(nèi)的射影是ad,abad,abpd，又abaea，綜上可得pd平面abe.2.如圖，在三棱錐pabc中，papbpcac4，abbc2.求證：平面abc平面apc；【答案】詳見解析【解析】（1)證明：如圖所示，取ac中點(diǎn)o，連接op，ob.papcac4，opac，且po4sin602。babc2，ba2bc2

17、16ac2，且boac，bo2。pb4，op2ob212416pb2，opob.acobo，op平面abc。op平面pac，平面abc平面apc.3。如圖所示，四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，ab2ad2，bd，pd底面abcd.證明：平面pbc平面pbd；【答案】詳見解析【解析】（1)證明：，cd2bc2bd2,bcbd。又pd底面abcd，pdbc。又pdbdd，bc平面pbd。而bc平面pbc，平面pbc平面pbd。題型三空間向量1.已知直三棱柱abca1b1c1中，acb90，acbc2，aa14，d是棱aa1的中點(diǎn)如圖所示(1)求證：dc1平面bcd；（2)求二面角ab

18、dc的大小【答案】詳見解析【解析】(1)證明:按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系由題意,可得點(diǎn)c（0,0，0)，a(2,0,0）,b（0,2，0)，d（2，0,2)，a1(2，0,4)，c1（0,0，4）于是，（2,0,2),（2,0，2），(2,2，2）可算得0,0.因此，dc1dc,dc1db.又dcdbd，所以dc1平面bdc.(2）設(shè)n(x，y，z）是平面abd的法向量，又(2，2，0)，(0,0，2)，所以取y1，可得即平面abd的一個法向量是n（1，1,0)由（1)知，是平面dbc的一個法向量,記n與的夾角為，則cos，.結(jié)合三棱柱可知，二面角abdc是銳角，故所求二面角abdc的大小是

19、.2。如圖1，在rtabc中，acb30，abc90,d為ac中點(diǎn)，aebd于點(diǎn)e，延長ae交bc于點(diǎn)f，將abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，如圖2所示(1）求證：ae平面bcd；(2)求二面角adcb的余弦值;（3)在線段af上是否存在點(diǎn)m使得em平面adc？若存在，請指明點(diǎn)m的位置；若不存在，請說明理由【答案】詳見解析【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫鎍bd平面bcd，交線為bd，又在abd中，aebd于點(diǎn)e，ae平面abd，所以ae平面bcd。（2)由（1）中ae平面bcd可得aeef。由題意可知efbd,又aebd，如圖,以e為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ef，ed，ea所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系exyz,不妨設(shè)abbddcad2，則beed1。由圖1條件計