全國文數(shù)第39課雙曲線

1、第39課雙曲線1 雙曲線的定義a 雙曲線定義中的限制條件（1）（經(jīng)典題,5 分）已知 Fi（ 5, 0）, F2（5, 0），動點(diǎn) P 滿足 |PFi|PF2|= 2a，當(dāng) a 為 3 和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別是（）A 雙曲線和一條直線B 雙曲線和一條射線C .雙曲線的一支和一條直線D 雙曲線的一支和一條射線答案：D解析： 依題意得|FiF2|= 10,當(dāng)a = 3時(shí)，|PFi |PF2|= 2a = 6v |FiF2|，故點(diǎn) P的軌跡為 雙曲線的右支；當(dāng) a= 5時(shí)，|PFi|PF2|= 2a= I0= |FiF2,故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.故選D.b 禾U用雙曲線的定義解決焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問題

2、（20I9匯編，I5分）（I ）已知Fi, F2為雙曲線C: x2 y2 = 2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上, |PFi|= 2|PF2|,貝U cos/ FiPF2=()b334答案：C解析：由題意可知 a= b= 2 , c= _ a2+ b2 = 2,a |FiF2|= 2c= 4.：|PFi|= 2|PF2|,設(shè) |PF2|= X,則 |PFi|= 2x,.|PFi| |PF2|= x = 2a = 2 一 2,. |PFi|= 4,2, |PF2|= 2 . 2.利用 余弦定理得cos/ FiPF2=|PFi|2+ |PF2|2 |FiF2|2 _2|PFi| |PF2|=(4.,2)

3、2+( 2 .2)2X 4. 2X 2 2C.2 2（n ）已知F為雙曲線C： X h = i的左焦點(diǎn)，P, Q為C右支上的點(diǎn)若|PQ|= i6，點(diǎn)9 I6A（5, 0）在直線PQ上，則 PQF的周長為（）A I2B 28C 44D 60答案：C22解析：顯然點(diǎn)A（5, 0）為雙曲線C: X 器=I的右焦點(diǎn).t P, Q為雙曲線C右支上的點(diǎn)， |PF| |PA|= 6, |QF| |QA|= 6，兩式相加得 |PF|+ |QF| |PA| |QA|= |PF|+ |QF| |PQ|= i2. 又/ |PQ|= I6 , |PF|+ |QF|= 28,.山 PQF 的周長為 |PF|+ |QF|

4、+ |PQ|= 44.故選 C.2 2（川）設(shè)P為雙曲線IX6 y = i上一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若/FiPF2 = 60則厶PFiF2的面積為（）D. 9C.|答案：B2 2解析：(法一)由雙曲線的方程 1X6一y| = 1 得 a= 4, b = 3, c=“*16+ 9 = 5,. F1f2= 2c =10.由雙曲線的定義，得 PFi- PF2= 8,兩邊平方，得 PFi2+ PF22-2PFiPF2= 64， 在厶 PF1F2 中，由余弦定理，得 FiF22 =PFi2+ PF22-2PFi |PF2|cos60 即 PFi2+ IPFzf 1 iyf3PFi |PF

5、2= 100一，得 |PFi| |PF2|= 36,.S pFF = PFi |PF2|sin60 = x 36X =9 ,3故選B.（法二）根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式,可得tan/ F1PF29tan30 9.3.故選B.2（3）（2016浙江，4分）設(shè)雙曲線x2- 3 = 1的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2若點(diǎn)P在雙曲線上，3且厶F1PF2為銳角三角形，則pF1+ PF2啲取值范圍是 .答案：（2訓(xùn)，8）解析： PF1F2為銳角三角形，不妨設(shè)P在第一象限，點(diǎn) P在P1與P2之間運(yùn)動（不與P1, P2重合），如圖所示.由題意可知 a= 1, b = 3, c=a2+ b2= 2.在 RtA

6、P1F1F2 中，/ FpF2= 90 二 PFf2 2 2 1 2+ P1F2 = F1F2 = 4 = 16.又/ P1F1- |P1 F2= 2 ,二 尸仆1| P1F2=- ?(尸仆1- P1F2D - (P1F12+ P1F22) = 6,此時(shí) |P1F1|+ P1F2U l P1F+ P1F2f + 2尸尸 F2= 16+ 2X 6= 2,7. 在 RtA P2F1F2 中,/ P2F2F1= 90 - Xp2 = 2,易知 丫巳=3,此時(shí) P2F1+ P2F2= P2F2+ 2 + P2F2= 2P2F21+ 2 = 8. 當(dāng)厶 PF1F2為銳角三角形時(shí)，PF11+ PF2 (2

7、 . 7, 8).2 2變式思考：(I )已知以y= 3x為漸近線的雙曲線D : X2-2= 1(a0, b0)的左、右焦a b點(diǎn)分別為F1, Fp,若P為雙曲線D右支上任意一點(diǎn)，則 HF1-呼2的取值范圍是.PF1+ PF22 2(n )已知雙曲線C： 2- b= 1(a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, Fp，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1+ PFp= 6a,且厶PF1F2最小內(nèi)角的大小為 30則雙曲線C的漸近線方程為()A . x. 2y= 0C. xy= 0B. ,2xy= 0D. 2x/= 0答案：（1）o, 2(n)b解析：（I ）雙曲線D :2 x2 ay2b-j= 1(a0, b0

8、)的漸近線是 y= 3x,.牙=, 3,可得 b=,3a,c= a2+ b2= 2a. P 為雙曲線 D 右支上一點(diǎn)，二 |PF i|PF2|= 2a.而 |PFi | +|PF2p |FiF2|2C J2a =|PF2|,.A PF1F2的最小內(nèi)角為/ PFiF2= 30 a在厶PF1F2中，由余弦定理得 4a2 =4c2 + 16a2 2 x 2cx 4ax cos30 解得 c=-3a, a c2= 3a2,. a2+ b2= 3a2, a b = 2a，故 雙曲線的漸近線方程為 y=土,2x ,即一2x/= 0.故選B.c.禾U用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離2（4）（201

9、5全國I , 5分）已知F是雙曲線C: X2 y = 1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，8A（0 , 6晶.當(dāng) APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為 .答案：12 6解析：由已知得雙曲線的右焦點(diǎn)F（3, 0）.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為 F,貝U F（ 3, 0）.由雙2+ 32= 15 , APF曲線的定義及已知得 |PF|= 2a + |PF = 2+ |PF |AF|= |AF = ( 6/6) 的周長最小等價(jià)于|PA|+ |PF|最小，而|PA|+ |PF|= |PA|+ 2+ |PF 目|AF +|2 = 17,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段AF與雙曲線左支的交點(diǎn)時(shí)取等號，故此時(shí)厶APF的周長最小.設(shè)此時(shí)

10、P點(diǎn)坐標(biāo)為（xo, y。）, yo0,易得直線 AF的方程為3 +為6= 1，聯(lián)立直線 AF與雙曲線的方程，得x y * + 寺=1,2消元得y2 + 6?/6y 96 = 0,解得y= 2寸6或y= 8亞，所以yo= 2*6.故當(dāng)2 y 1x 8 =1， APF的周長最小時(shí)，該三角形的面積S= Saaff SaPff =6x (6“：；:6 2込：6) = 12 ,6.d .橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)的問題2 2 2 2（5）（2018四川南充模擬，5分）已知橢圓Ci：+器=1（aibi0）與雙曲線C2：吉=1心20, b20）有相同的焦點(diǎn)Fi, F2若點(diǎn)P是Ci與C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|FiF

11、2|= 2|PF2|，設(shè)Ci 與C2的離心率分別為ei, e2，貝U e2 ei的取值范圍是（ ）A.牛+ B. g，+r cg+sj D.g,+R ；答案：D解析：（法一）設(shè)橢圓與雙曲線的焦距|FiF2|= 2c, |PFi|= t，則|PF2| = c.由題意可得t+ c=2a1, t c = 2a2,A t= 2a1 c= 2a2+ c,a a1 a2 = c.由 e1 = , e2=可知 =aia2ei e2c2 e21，- e1 =島，二 e2 e1= e2 e? 1 e2+ 11e21，二 0丁1，二 02故選D.(法二)設(shè)橢圓與雙曲線的焦距|F1F2= 2c, |PF1= t,則

12、|PF2= c由點(diǎn)P為橢圓與雙曲線在c 2c 2c 第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，可知ct3c.由題意知t+ c= 2a1, t c= 2a2，故e1 = = - = , e2a1 2a1 t + c2 2 2c 2c 4c. -2 22222. 4c 1t2 c2 .T ct3c,. c t 9c，0t c ，c 2c 2c,=,e2 e1 =a2 2a2 t ct c t+ c1. 故選D.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 a .兩種雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解2 2(2016全國I , 5分)已知方程存 y = 1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的m + n 3m n距離為4,則n的取值范圍是()A . ( 1, 3)

13、B. ( 1 , . 3)C. (0, 3)D. (0, ,3)答案：A2 24,解析：方程冷-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為m2+ n0, * ；3m2 n0,2 2m + n + 3m n = 4m2+ n0,或3m2 n2,于是有|CC1|= r + 2,|CC2|= r 2或 CC1 2，|CC2|= r + 2,解：易知圓C1和C2的圓心坐標(biāo)分別為 C1( .5, 0), C2( . 5, 0),半徑均為2.設(shè)圓C的 |CCi|CC2| = 4V 2 .5= |CiC2|,.動圓圓心C的軌跡是以Ci, C2為焦點(diǎn)，4為實(shí)軸長的雙曲線,（4分）.動圓圓心C的軌跡方程為c.利

14、用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2y=x,（8）（2017全國川，5分）已知雙曲線C:字b2= 1（a0,b0）的一條漸近線方程為2 2且與橢圓12+y3 = 1有公共焦點(diǎn)，貝y C的方程為（）1232 2 2 2x AQ -丘=110x BN-5=12222C.y-= 1D.x -y-= 15443答案：B解析：（法一）雙曲線C的一條漸近線方程為 y=x,.-7.2 a 22 2雙曲線C與橢圓+匕=1有公共焦點(diǎn)，123雙曲線的半焦距 c=12 3= 3, a2 + b2= c2= 9.由解得a = 2, b= 5,2 2雙曲線c的方程為Xy = 1故選b.452 2（法二）雙曲線C與橢圓話

15、+二=1有公共焦點(diǎn),雙曲線C的方程可設(shè)為12廠3=1（30, b0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為. 2.若經(jīng)過F和P(0, 4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為2XA.XT2XC.X4答案：2治12y-= 18B2 2B 18 82 2D 184解析:(法一)ab21+三=.2,二a = b,雙曲線的漸近線方a4 0_ 40 ( c)c2 2 =1，解得c= 4又/ a2+ b2= c2,.a= b= 2 2,二雙曲線的方程為 X y = 1故選B.8 8(法二)直接根據(jù)離心率為.2得到雙曲線為等軸雙曲線，又經(jīng)過 F和P(0, 4)兩點(diǎn)的直線 平行于雙曲線的一條漸近線，c= 4根

16、據(jù)a : b : c= 12 2的方程為X y = 1.故選B.8 8程為y=c由經(jīng)過F和P(0, 4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，可得2 2變式思考：(2016北京，5分)雙曲線字*= 1(a0, b0)的漸近線為正方形 OABC的邊OA,0C所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2,則a =.答案：2解析：由題意易得/ AOB = 45 此雙曲線為等軸雙曲線.點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，1 : 1 :2,可得 a= b = 2.正方形OABC的邊長為2,c =QB|= ,22+ 22= 2.2.根據(jù)等軸雙曲線的性質(zhì)a : b : c =2(10)(2016天津，5分)

17、已知雙曲線X b2y2= 1(b0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A, B,C, D曲線的方程為()2c22,2X A-紐1B.X 處=144432222XC-y-= 1D.X- 土 = 1C. 44412答案：D解析：易知四邊形ABCD為矩形,不妨設(shè)A(X0,yo)在第一象限,zrx0+ yc)= 22,四點(diǎn)，四邊形 ABCD的面積為2b，則雙由題意得2X0 2y0= 2b，由得x0= .yo=；xo， y0= l4 x164+ b24b24+ b2，由可得b2= 12.2 2雙曲線的方程為X42= 1.故選d .3. 雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用a .利用

18、雙曲線的定義求離心率2 2X V（11）（2016全國n,5分）已知Fi,F2是雙曲線E:孑詁=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,1MF1與x軸垂直，sin/ MF2F1 = 3,貝卩E的離心率為（）A. .2B.|C. 3D . 2答案：A解析：（法一）由雙曲線的定義得|MF2| |MF1|= 2a,由已知得 sin/ MF2F1 話計(jì)3,|MF1|= a, |MF2|= 3a.在 RtA MF1F2 中，由勾股定理得 |MF+ 尸們2|2= |MF 2|2，即 a2 + (2c)2A.=(3a)2,. c2= 2a2,. E 的離心率為 e= C = 2.故選a *（法二）I MF1與x軸垂直，

19、令x= c,解得y =-|MF 11=：.又由雙曲線的定義可知|MF2| |MF1|= 2a,b2- |MF2|= 2a+ |MF1|= 2a+ “a1 sin / MF2F1= 3,黑=p= 3，化簡得| | 2a+1a= b,雙曲線E的離心率（法三）I MFx軸,b21 +2.故選 A.不妨設(shè) |MF1|= 1，則 |MF2|= 3,- |F1F2|= ,|MF2|2TMF=32 12= 2 2,.離心率為 e= c = Tc=|F1F2|= J2 = 2.故選 A.a 2a |MF2| |MF1| 3 12 2變式思考：（經(jīng)典題，5分）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線字*= 1（a0 , b0）的右支上，

20、雙曲線的左、 a b右焦點(diǎn)分別為F1, F2, |PF1|= 4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是 .答案:解析：(法一)由雙曲線的定義得|PFi| |PF2|= 2a，與已知|PFi|= 4|PF2|聯(lián)立，解得|PFi|2 82c 5|PF2| = 3a.由 |PFi|+ |PF2| IF1F2I，得3a+ 3a2c,解得 e= -1 ,雙曲線離心率的取值范圍是(法二)由雙曲線的定義得8|PFi|PF2|= 2a，與已知 |PFi|= 4|PF2|聯(lián)立，解得 |PFi| = 3-，PF2I=|a.點(diǎn)P在雙曲線的右支上,8由雙曲線的幾何性質(zhì)可知|PFi|c+ a(或|PF2|c a),即3

21、ac是 圍5- 35 即 |a c,雙曲線的離心率c 5W 3少1雙曲線離心率的取值范b .雙曲線漸近線性質(zhì)的應(yīng)用2(i2)(20i8全國I , 5分)已知雙曲線C: % y2= i , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M , 若厶OMN為直角三角形，則|MN| =()3A. 2B . 3C . 2 .3D . 4答案：B解析：(法一)由題意可得F(2, 0)，雙曲線C的漸近線方程為.假設(shè)直線MN與直線丫= fx交于點(diǎn)N,由對稱性，不妨設(shè) MN丄ON，則直線MN的斜率為 3，方程為y=,3(x 2)，與兩漸近線方程聯(lián)立解得M(3,3), N(|,23),所以

22、|MN|= 3，故選B.(法二)由雙曲線 C的漸近線斜率為 壬，可知在厶OMN中，/ MOF = Z NOF = 303/ MON = 60.假設(shè) MN 丄ON，設(shè)|OM|= m, |ON|= n(m0 , n0).因?yàn)?|OF|= 2,所以由三角形111面積公式可得 Saomn = 2m 2 sin30 +?n 2 in30 = ?mnsin60 :且 m= 2n,解得 m= 3,n = /3, 所以 |MN|=ntan60 = 3,故選 B.22(13) (2019改編，5分)設(shè)P為雙曲線 字1(a0)右支上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于 A,

23、 B兩點(diǎn)，若平行四邊形PAOB的面積為15,則雙曲線的漸近線方程為 .答案：y=解析：易得雙曲線爲(wèi)a和=1的漸近線方程為y=至x,即5xay= 0.不妨設(shè)OA的方程為25a22y = 5x, P 點(diǎn)坐標(biāo)為(X0, y)，則x曇=1, 25x0 a2y2= 25a2.易得 PA 的方程為 y y= 5(xaa 25axo),聯(lián)立直線OA與PA的方程，解得 A5x0 + ay 5x0+ ay，2a5x0+ ayx=105x0+ ay。 y=2a5/ tan / AOx =a cos/ AOx =a _,0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線PO, P

24、F2分別交雙曲線 C左、右支于另一點(diǎn)|PF1| |PF2|= 2a.又T |PF1|= 2|PF2|, |PF1| =4a, |PF2|= 2a.易得 |OP|= |OM|, |OF1|= |OF2|, -四邊形 PF1MF2是平行四邊形.又二 MFqN =60F1PF2= 60在厶 PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2=|PF+ IPFzf 2|PFj| |PF2|cos60 ,即 4c2= 16a2 + 4a2 2 4a 2a cos60, - c2= 3a2,. a2+ 8 = 3a2,. a2= 4,.雙曲線 C 的方程2 2 為y = 1故選B.48d 構(gòu)造三角形的中位線進(jìn)行

25、幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化2 2（15）（2018安順模擬，5分）已知Fi, F2分別是雙曲線 C:拿b2= i（a0, b0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F2關(guān)于直線bx ay= 0的對稱點(diǎn)恰好落在以 Fi為圓心，|OFi|為半徑的圓上，則 雙曲線C的離心率為（）A. .2B. 2C. 3D. 3答案：B解析：由題意得F c, 0） ,F2（c,0），則點(diǎn)F2到漸近線bx ay= 0的距離為 |bC 1= bJa2 +b2設(shè)F2關(guān)于漸近線bx ay= 0的對稱點(diǎn)為 M , F2M與漸近線交于點(diǎn) A,a |MF2|= 2b, A為F2M 的中點(diǎn).又點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)， OA是厶F1MF2的中位線， 二 OA /

26、F1M， / F1MF2= 90F1MF2為直角三角形，由勾股定理得 |F1F2|2=|MF1f+ |MF2|2，即 4c2 = c2 + 4b2, 3c2= 4（c2 a2）,.c2= 4a2,. c = 2a, 雙曲線C的離心率e= C = 2.故選B.a4. 直線與雙曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題 a .直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷問題2 2（16）（經(jīng)典題，5分）若直線I: x+ by+ 2= 0與雙曲線鄉(xiāng)二=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線 I 有（）A . 1條B . 2條C . 3條D . 4條答案：C2 2 解析：直線I: x+ by+ 2= 0與雙曲線x y = 1的方程聯(lián)立，消去x,得（3

27、b2 4）+ 12by43=0當(dāng)3b2 4= 0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，滿足題意的直線 有2條；當(dāng)3b2 4工0時(shí)，由= 0,即（12b）2 4（3b2 4）X 0= 0，解得b= 0,此時(shí)直線與雙2 2 曲線相切，滿足題意的直線有1條.故當(dāng)直線I: x+ by+ 2 = 0與雙曲線x = 1只有一個(gè)公 共點(diǎn)時(shí)，直線I有3條，故選C.（17）（經(jīng)典題，5分）若直線y= kx+ 2與雙曲線x2 y2= 6的右支交于不同的兩點(diǎn)，那么k的取值范圍為.答案:f 22 nx y = 6,2 2解析：由/得(1 k2)x2 4kx10 = 0,y= kx+ 2直線與雙曲線的右支交

28、于不同的兩點(diǎn),1- & 0,= 40 24k20,4k20,1 k ，10、10，解得-3* 1，即k的取值范圍為b.弦長和面積問題(18)(經(jīng)典題,2 212分)已知雙曲線C:予一器=1(a0, b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1( 2, 0), ,7)在雙曲線C 上.C的方程；F2(2, 0)，點(diǎn) P(3,(I )求雙曲線2 2答案：x-才1解：由已知得c= 2又點(diǎn)P(3,.7)在雙曲線 C上,a2+ b2= 4,32 孑-解得=1,2 2雙曲線C的方程為x- y=(5分)(n )記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q(0,2)的直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn) E,F，若 OEF 的面積為2 2，求直線I的方

29、程.答案：y= .2x+ 2或 y= .2x+ 2解：由題意得，直線I的斜率必定存在， 故可設(shè)直線I的方程為y= kx+ 2.= kx+ 2,聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程，得$ yf_i12 2消去y并整理得(1 k2)x2 4kx 6 = 0.(7分)設(shè)直線I與雙曲線C交于E(X1，y”，F(xiàn)(x2，拓，則X1，x2是一元二次方程(1 k2)x2 4kx 6 = 0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，二1 k2z0，且 =16k2+ 24(1 k2)0，解得k2/2,22即（Xi x?） =（Xi + X2） 4xiX2= 8, 3 k2= （k2 1）2,即 k4 k2 2= 0, （k2+ 1）（k2 2）

30、= 0.又 k2+ 10,. k2 2= 0, k= 2,經(jīng)驗(yàn)證符合式,直線l的方程為y= 2x+ 2或y= ,2x+ 2.（12分）(法二)易得kz 0,.可設(shè)直線y= kx+ 2與x軸的交點(diǎn)為 M|k|SaOEF= |OM I |y1 y2|= 1 k（ X12）-1 =| X1 X2|=2 2一下過程同法一(法三) OEF 的面積 Saoef= 1|EF|d = 1 稈（ 1 + k2）（ 3-k2）- ； k2= 2 2 =2 2,即（k2+ 1）（k2 2） = 0.又 k2+ 10,. k2 2= 0,. k= 2，經(jīng)驗(yàn)證符合式, 直線l的方程為y= ,2x+ 2或y= ,2x+

31、2.（12分）c.“中點(diǎn)弦”問題(19)(2018撫州模擬，8 分)求過定點(diǎn)(0, 1)的直線被雙曲線 x2 : = 1截得弦的中點(diǎn)的軌 跡方程.答案：4x2 y2 + y= 0(y0 ,解得|k| 5，且kz翌.(2分)（法一 ）I X1 + X2= T, X1X2 = 4_5?2,4 k4 k-x=如1+ X2)=占,y=知 + y2)= 2(x1+X2)+1 = 4p.k小x=42，由消去k得4x2 y2 + y= 0.(5分)4y=42- |k| 5,且 2 戈，2 2 14 k 0 或 04 k 4, y 4 或 y1.綜上，弦中點(diǎn)的軌跡方程為4x2 y2 + y= 0(y 4或y1

32、). (8分)4xi yi = 4,（法二）22一得 4(xi + x2)(xi x2)= (yi+ y2)(yi y2),易知 yi + 科汙0, xiXi+ X24x2 y2 = 4,由y=0，占=4(X1-X2)，即 x= 4,聯(lián)立 y= kx+ 1，整理得 4x2 y2 + y = .(5 分) x2= 16y2，而 |k| .5,且 k工坦2“2務(wù)2或0w x7，即弦中點(diǎn)的軌跡方程為4X2 y2+ y= 0（y 4或y1）.2 2 2 2或Ow x2y，即7y2y 丫三丫2或三y *，存，解得y0 , b0） 的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線分別交于點(diǎn) A, B，且A t,冷42

33、，若 ABF2為等邊 三角形，則 BF1F2的面積為（）B. 2A . 1答案：C解析：由已知得 |BF2 |BF1|= 2a, |AFf|AF2= 2 a. 又 ABF2 為等邊三角形，陽|AF2| =|BF1|= 2a,. |BF2|= 4a. 在 AF1F2 中，|AFr|= 6a, |AF2|= 4a, IF1F2U 2c,/ F1AF2= 60 由余弦定理得 4c2 = 36a2+ 16a2 2 6a 4a cos60, c2= 7a2,. b2 = c2 a2 = 6a2,.雙曲線的 孑=1由等面積法可知 2 6a 4a sin60 1 2c yA,將 Ya =也2代入可得 a =

34、2?,2方程為X2aA2 x3. （2018大連模擬，5分）雙曲線C: a2 a分別為F, A,點(diǎn)P為雙曲線C左支上一點(diǎn).心率為（）A. 8答案：B解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F,則|PF |PF = 2a,=|AF|+ |AP|+ |PF 卅 2a.T |AP|+ |PF 尋 |AF,| / AFP85B85CW2b2= 1（a0, b0）的右焦點(diǎn)和虛軸上的一個(gè)端點(diǎn) 若厶APF周長的最小值為6b,則雙曲線C的離 AFP 的周長為 |AF|+ |AP|+ |PF| 周長的最小值是 |AF | + |AF T 2a =495,a雙曲線c2、22 c2 a2 b2 + c2+ 2a 6b,解得 7b

35、6a, 49b2 36a2,： 49(c2 a2) 36a2,二 Sabfif2= 1 4a 2a sin 120 =2 3a2= 3.故選 C.的離心率e c竽故選b.a 72右=1(a20, b20)2 2 24.（2018廣州模擬，5 分）已知P是橢圓器+ 游1（a1b10）和雙曲線塞 垃 一的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，&,e2分別為橢圓和雙曲線的離心率，/ F1PF2n,則-1的最大值是（）3e1 e2B. .32 ,3A. 3C也C. 3答案：A解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義得，|PFi|+ |PF2|= 2ai, |PFi|PF2|= 2a

36、2, |PFi|= ai + a?, |PF2|= ai a?.設(shè)|FiF2|= 26在厶 PF1F2 中，由余弦定理得，4c2= (ai + a2)2 + (ai a2)2 2(ai + a2)(ai a2)cos-,即即 af + 3a2= 4c2，兩邊冋除以c2,得 2+2eie2=4, T 2+基2,即4 空,/ei e2eie2ei e2丄eie2攀當(dāng)且僅當(dāng)PF即V2ei=2V6e2=2時(shí)取等號,3黑的最大值為攀，故選A.2X5. (2018臨沂模擬，5分)已知雙曲線-2 a2b2= i(a0, b0)的一條漸近線平行于直線+ 2y+ 5 = 0,且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線I上，則雙曲

37、線的方程為()2222xA 一 -丄iB.xy- i2055203x2-應(yīng)i2 23x 3y “ D.= iC. 25iooi0025答案：A22解析：雙曲線x2 a治=i(a0, b0)的一條漸近線平行于直線1:x+ 2y+ 5 = 0,且雙曲b = i 線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線I 上, I與x軸交于(一5, 0), a 2又a2+ b2= c2,. a= 2 5 ,Ic= 5.2 2b = . 5 , 雙曲線的方程為|0-5 =1.故選A.2 26. (2018全國川，5分)設(shè)Fi , F2是雙曲線C: X2 *= 1(a0 , b0)的左、右焦點(diǎn)，0a b是坐標(biāo)原點(diǎn).過 F2作C的一條漸近線的

38、垂線，垂足為P.若|PFi|= 6|0P|，貝y C的離心率為( )A. .5B. 2C.3D. 2答案：C解析：設(shè)Fi( c, 0), F2(c, 0)，取雙曲線的一條漸近線方程為y = x,易得直線PF2的a方程為 y= (x c), by = ax,聯(lián)立方程得I y=- b(x c),解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P *, a?，則|0P|= a,呼： + c又 |PF1|= 6|OP|,a4+ c4+ 2a2c2+ a2 (c2 a2)2=,c2+ 3a2所以c2+ 3a2= 6a，整理得2 = 3,a所以C的離心率為e= |= 3.故選C.7. （2018福建模擬，5分）已知雙曲線2X2 a2yb

39、= 1(a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2,sin / PF 1F2a若雙曲線上存在點(diǎn)P,使sin/ PF1F2 = a，則該雙曲線的離心率e的范圍為()sin / PF2F1cB. (1, 1 + . 3)D. (1, 1 + .3A . (1, 1+ .2) C. (1 , 1+ 2 答案： 解析：弦定理得:A:由題意，易得點(diǎn)|PF1|sin/ PF2F1 sin/ PFP不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則sin / PF2F1 = 0在 PF1F2中，由正|PF2|又sin/ PF1F2 sin/ PF2F1|PF1| cca，即 |PF1|=aF2|PF2|,點(diǎn)P在雙曲線右支上，由雙曲線

40、的定義，得|PF1| |PF2|= 2a,c-；|PF2|PF2|= 2a, - |PF2|=亙c a(法一)- |PF1| + |PF2| = |PF2|&+ 12a + 加,|PF1| + |PF2|F1F2| , c a2 a 28. （2018山東模擬，5分）如圖41 10所示，已知雙曲線 C:字*= 1（a0, b0）的右頂點(diǎn)為A, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 A為圓心的圓與雙曲線 C的其中一條漸近線交于 P, Q兩點(diǎn)，若/ PAQ= 60且OQ = 3OP，則雙曲線 C的離心率為（） + 2ac2 c,即 c2 2ac a20, e2 2e 10，解得一 2 + 1e1 ,c a雙曲線的離心

41、率 e的范圍是(1, 1 + 2).故選A.(法二)由雙曲線的幾何性質(zhì)，知|PF2|c a,22c a,即卩 c 2ac a 0, c ae2 2e10, b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙 曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，若厶ABE是鈍角三角形， 則該雙曲線的離心率 e的取值范圍是()A . (1 ,+s )B . (1 , 2)C. (1 , 1+ .2)D. (2 ,+ )答案：D解析：(法一)如圖，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，|EA|=|EB|,故若 ABE是鈍角三角形，顯然/ AEB為鈍角，因此 EA -EB0.由于 AB過左焦點(diǎn)且垂直于x軸， A c,：，B c

42、,：.又 E(a, 0), EA = c a,EB = c a，專, EA EB =(4c a)2 b0 ,化簡整理得 a(a+ c)0 ,兩邊同時(shí)除以aa2 ,得e2 e 20 ,解得e2或e 45 在 RtA AEF 中有 |AF|EF|,即一 a2 a+ c , a2+ ac0)的左焦點(diǎn)作直線l與雙曲線交于 A, Baa的取值范圍是()兩點(diǎn)，使得|AB|= 4,若這樣的直線有且僅有兩條，則A.B . (2,+ )C.121 U (2,+ )答案：D解析：要使?jié)M足條件的直線有且僅有兩條，可以分為兩種情況討論.第一種情況：當(dāng)直線與雙曲線的左支相交于兩點(diǎn)時(shí)，有2b2=-v 4，且a2a 4,解得