圓錐曲線(橢圓-雙曲線-拋物線)的定義、方程和性質(zhì)知識總結(jié)

1、1. 橢圓的定義：第一定義： 平面內(nèi)與兩個定點F1、F2 的距離之和等于常數(shù)（大于F1 F2 ）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動點 M 到定點 F 的距離和它到定直線l 的距離之比等于常數(shù) e(0e 1) ，則動點 M 的軌跡叫做橢圓。定點 F 是橢圓的焦點，定直線 l 叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e 叫做橢圓的離心率。說明： 若常數(shù) 2a 等于 2c ，則動點軌跡是線段F1F2 。若常數(shù) 2a 小于 2c ，則動點軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：x 2y2中y 2x21(ab 0)標(biāo)準(zhǔn)方程a 2b21(ab 0)a2b2y 軸上

2、心在原點，焦點在x 軸上中心在原點，焦點在圖形范圍x a，y bx b，y aA1， 、A2，、A2，頂點a 0a 0A1 0 a0 a，、B2，B1， 、B2，B1 0 b0 bb 0b 0x 軸、 y 軸；x 軸、 y 軸；對稱軸長軸長 2a ，短軸長 2b ；長軸長 2a ，短軸長 2b ；焦點在長軸上焦點在長軸上焦點F1c，0 、F2c，0F1 0， c 、F20，c焦距F1 F22 (0)F1 F22c(c0)c c離心率ec (0e1)ec (0 e1)aa準(zhǔn)線xa2ya2cc參數(shù)方程x2y21的參數(shù)方程為y 2x21的參數(shù)方程為a2b2a2b2與普通方xa cosya cos程為

3、參數(shù)為參數(shù)yb sinxb sin3. 焦半徑公式：橢圓上的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點在x 軸上時，設(shè) F1、 F2 分別是橢圓的左、右焦點，P x0，y0是橢圓上任一點，則 PF1 aex0 ， PF2a ex0 。推導(dǎo)過程： 由第二定義得PF1e（d1 為點 P 到左準(zhǔn)線的距離） ，d1a2ex0 aa ex0 ；同理得 PF2 a ex0 。則 PF1 ed1 e x0c簡記為：左“”右“”。由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。x2y21； 若 焦 點 在 y 軸 上 ， 則 為y2x21。有時為了運算方便，設(shè)a2b2a2b2mx2

4、ny 21(m 0, m n) 。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識要點：1 定義（ 1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1、 F2 的距離之差的絕對值等于定長2a（小于 |F1 F2 |）的點的軌跡叫雙曲線。說明： |PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|時無軌跡。設(shè) M是雙曲線上任意一點，若 M點在雙曲線右邊一支上，則|MF1|MF 2|，|MF 1|-|MF 2 |=2a；若 M 在雙曲線的左支上，則 |MF 1|1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線L 叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2 雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21(a 0,b 0)y2x21(a 0,b 0)a2b2a2b2圖形焦點F1（

5、-c， 0）， F2（ c， 0）F1（ 0， -c）， F2（0， c）頂點A 1 （ a， 0）， A2（ -a， 0）A1（ 0， a）， A 2（ 0， -a）對稱軸實軸2a，虛軸 2b，實軸在 x 軸上，實軸 2a，虛軸 2b，實軸在 y 軸上，222222c =a +bc =a +b離心率ec|MF2 |ec| MF2|a|MD |a|MD |l1 : xa 2, l 2 : xa2l1 : ya 22 : ya2cc,lc準(zhǔn)線方程c2a2準(zhǔn)線間距離為 2a 2準(zhǔn)線間距離為cc漸近線方程xy0, xy0xy0, xy0ababbaba3 幾個概念（ 1）等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙

6、曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=x，離心率為 2 。（ 2）共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：x 2y21的共軸雙曲線是x 2y 21。a 2b2a 2b 2 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F為拋物線的焦點，定直線l 為拋物線的準(zhǔn)線。注： 定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點設(shè)為M ；一定點 F （即焦點）；一定直線 l（即準(zhǔn)線）；一定值

7、1（即動點 M 到定點 F 的距離與它到定直線l 的距離之比1） 定義中的隱含條件：焦點F 不在準(zhǔn)線 l 上。若 F 在 l 上，拋物線退化為過F 且垂直于l 的一條直線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點F 和定直線 l 的距離之比為常數(shù) e 的點的軌跡，當(dāng) 0 e 1時，表示橢圓；當(dāng) e 1 時，表示雙曲線；當(dāng) e 1 時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離 （稱焦半徑） 與動點到準(zhǔn)線距離互化， 與拋物線的定義聯(lián)系起來， 通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點

8、，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系， 這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性， 而且曲線過原點， 方程不含常數(shù)項， 形式更為簡單，便于應(yīng)用。2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y22 px p0 ，x 22 py p0 ，其中： 參數(shù) p 的幾何意義：焦參數(shù) p 是焦點到準(zhǔn)線的距離，所以 p 恒為正值； p 值越大，張口越大； p 等于焦點到拋物線頂點的距離。2標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的

9、開口方向，即對稱軸為 x 軸時，方程中的一次項變量就是x ， 若 x 的一次項前符號為正，則開口向右， 若 x 的一次項前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為y 軸時，方程中的一次項變量就是y ， 當(dāng) y 的一次項前符號為正，則開口向上，若y 的一次項前符號為負(fù)，則開口向下。三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時， 要依據(jù)題設(shè)條件， 弄清拋物線的對稱軸和開口方向， 正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 . 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù) p ，因此要做到“先定位，再定值” 。注：當(dāng)求頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為y 2ax 或

10、x 2ay ，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線 y22 px p 0焦點范圍對稱性頂點離心率準(zhǔn)線通徑性質(zhì)px 0關(guān)于 x原點e 1xpF,02 p2軸對稱2注： 焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的1 ；4 對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題x 或 y 化得形1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立

11、方程組，消去如 ax 2 bx c 0 （ * ）的式子： 當(dāng) a 0 時，（ * ）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合； 當(dāng) a 0 時，若 0（ * ）式方程有兩組不同的實數(shù)解直線與拋物線相交；若 =0（ * ）式方程有兩組相同的實數(shù)解直線與拋物線相切；若 0（ * ）式方程無實數(shù)解直線與拋物線相離 .2直線與拋物線相交的弦長問題A x1 , y1, B x2 , y2，則AB1k AB2 弦長公式：設(shè)直線交拋物線于x A xB或 AB11yAyB .k 2,借助于焦半徑公式處理： 若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時拋物線 y 22 px p 0上一點 M x0 , y0的焦半徑長是MFx0p ，拋物線p2x 22 py p0上一點 Mx0 , y0的焦半徑長是MFy02六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè) AB 為過拋物線 y22px p0 焦點的弦， 設(shè) A x1 , y1, B x2 , y2，直線 AB 的傾斜角為，則 x1 x2p2, y1 y2p 2 ；4AB2px1 x2p ；sin 2以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；弦兩端點與頂點所成三角形的面積S AOBp 2；2 sin112FAFB；p 焦點F對 A 、 B 在準(zhǔn)線上射影的張角