高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)理念：

新課標(biāo)指出，學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)

律出發(fā)，以學(xué)生活動為主線，在原有知識的基礎(chǔ)上，建構(gòu)新的知識體

系。因此，教師的責(zé)任關(guān)鍵在于教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)一個“數(shù)學(xué)活動”環(huán)

境，讓學(xué)生通過這個環(huán)境的相互作用，利用自身的知識和經(jīng)驗構(gòu)建自

己的理解，獲得知識，從而培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)自己的能力。

二、教材分析

1、本節(jié)教材的地位、作用分析

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用是人教A版高中數(shù)學(xué)新教材選

修2-2第一章第三節(jié)的內(nèi)容。其中函數(shù)單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化

的一個最基本的性質(zhì)，雖然學(xué)生已經(jīng)能夠使用定義判定在所給

區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，但在判斷較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性時，使用

定義法局限性較大。而通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能役好的解決這一

難題，能夠使學(xué)生充分體驗到導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)單調(diào)性的工

具，其有效性和優(yōu)越性。另一方面，在高考中常利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性，并求單調(diào)區(qū)間、極值、最值、利用導(dǎo)數(shù)解決生

活中的優(yōu)化問題，同時對研究不等式等問題起著重要作用。所

以，學(xué)習(xí)本節(jié)課既加深了學(xué)生對前面所學(xué)知識之間的聯(lián)系，也

為后繼學(xué)習(xí)做好了鋪墊，學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，能加深學(xué)生對函數(shù)性

質(zhì)的理解，進一步體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的數(shù)

學(xué)思想，能在高考中起到四兩撥千斤的作用。在高考中，常將

導(dǎo)數(shù)與向量、不等式、集合一樣作為工具與其他知識相綜合考

查。

2、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)：

（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求

函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)

間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（二）過程與方法目標(biāo)：

（1）通過本節(jié)的復(fù)習(xí)，掌握用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值中

的方法；

（2）培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、概括的能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思

想、分類討論的數(shù)學(xué)思想

（三）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

（1）在教學(xué)過程中讓學(xué)生養(yǎng)成多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié)的習(xí)

慣；

（2）培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，感受成功的樂趣。

3.教學(xué)重難點

教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及求函

數(shù)極值、最值步驟；

教學(xué)難點：探求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的問題，以及解決與不等式、方

程相結(jié)合等問題。

三、學(xué)情學(xué)況分析

本課是高考的熱點并且相關(guān)聯(lián)的知識點較多，難度相對較

大，但經(jīng)過扎實的訓(xùn)練，大部分學(xué)生是可以在高考中得分的。

由于學(xué)生剛剛接觸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，所以他們在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性，極值與最值的水平和自覺性上都還有一定的差距。

學(xué)生已有的基礎(chǔ)是會解不等式和對一元二次函數(shù)及其

他基本初等函數(shù)圖象和性質(zhì)的了解，之前還學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概

念、計算、幾何意義等內(nèi)容。所以，在知識儲備方面，學(xué)生已

經(jīng)具備足夠的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此要充分利用這些知識，結(jié)合相關(guān)

數(shù)學(xué)思想方法，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的相關(guān)的性質(zhì)。在課題復(fù)

習(xí)和練習(xí)中鼓勵學(xué)生參與，要讓學(xué)生親自體驗發(fā)現(xiàn)知識、應(yīng)用

知識的快樂，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)的主動性和有效性。

四、教法學(xué)法分析

教法分析：為了體現(xiàn)學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體，本節(jié)課我主要采取通

過展示真題導(dǎo)入復(fù)習(xí)課，激發(fā)學(xué)生自主探究的熱情，運用發(fā)現(xiàn)式、啟

發(fā)式、合作探究的教學(xué)方法，采取講練結(jié)合、教師輛助引導(dǎo)的教學(xué)方

式，借助多媒體，通過層層遞進的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生主動的復(fù)習(xí)，

培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。

學(xué)法分析：合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，合作交流，共同探討問

題。學(xué)生通過親身參與教學(xué)活動，探究學(xué)習(xí)，發(fā)揮主觀能動性，主動

探索新知，可以收獲更好的學(xué)習(xí)效果。

五、教學(xué)過程設(shè)計

為了達到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，我把教學(xué)過

程分為以下幾個階段：真題展示一一考點梳理一一典例解析一一課堂

練習(xí)一一復(fù)習(xí)小結(jié)一一課后練習(xí)。

環(huán)節(jié)一:真題展示，導(dǎo)入教學(xué)內(nèi)容

y=—x2-Inx

1.(2012遼寧高考)函數(shù).2的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1]B.(0,1]

C.(1,+8)D.(0,+oc)

2.(2014課表全國H)若函數(shù)f(x)=kx-lnx,在區(qū)間(1,+8)

上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()

A.(-°0,-2]B.(-°0,-1]

C.2,+8)D.1,+8)

3.(2015山東卷)設(shè)函數(shù)/(幻=ln(X+l)+〃(%2一X),其中4￡尺.

⑴討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

⑵若VQ0J3之0成立，求的取值范圍.

設(shè)計意圖：展示高考題，簡要介紹本節(jié)內(nèi)容在高考中的地位，激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣和重視程度，選題時，以基礎(chǔ)題為主，增強學(xué)生學(xué)好本

節(jié)內(nèi)容的信心。

環(huán)節(jié)二：考點梳理

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：

(1)定義法：適用于證明函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性，但是在求函數(shù)單調(diào)

區(qū)間時對確定單調(diào)區(qū)間的端點是個難點.

(2)導(dǎo)數(shù)法:對于在區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，若>0,則f(x)在

這個區(qū)間上單調(diào)遞增；若<0,則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減.

2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：

(1)求函數(shù)定義域；

(2)解不等式f'(x)>0(或者f'(x)<0);

(3)將(2)中解集與定義域求交集，即可得到單調(diào)增區(qū)間(或單調(diào)

減區(qū)間).

3.由單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)：

(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f'(x)20;

(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減，則f'(x)W0.

4.求函數(shù)極值步驟

5.求函數(shù)最值步驟

一般地，求連續(xù)函數(shù)/(此在［a.b］上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求/(x)在(凡人)內(nèi)的極值；

⑵將f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值，得出函數(shù)在口，句上的最值

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)舊知，為解決單調(diào)性等相關(guān)題型做知識鋪墊，提高課

堂效率。

環(huán)節(jié)三：典例分析

第一部分：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

題型一：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性

例1:高考真題1(不含參數(shù))

變式1(含參數(shù))：已知函數(shù)f(x)=Inx+x+ax?

⑴若函數(shù)f(x)在x=l處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

題型二：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例2.高考真題2

變式2：已知函數(shù)f(x)=(a-l)lnx+1+ax2

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

號>2>O,總備'(產(chǎn))__/<>)32

⑵如果對任意的一多一天，求a的取值范

圍.

【綜合點評】恒成立問題的兩種常見解題思路：①參變分離；②構(gòu)造函數(shù).

題型三：利用單調(diào)性比較大小

例3.定義在(吟上的函數(shù)f(x),f'(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有

f(x)<f(x)-tanx成立則

()

/(l)<2/(f)sinl

A.鬲圖〉后停)D.

71

~4

C.D同周(喑)

構(gòu)造函麴(幻=這

sinx

變式3.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，下列四個選項中正確的是

()

A.若f(x)>f'(x)對x￡R恒成立，則ef⑴<f(2)

B.若f(x)<f'(x)對x￡R恒成立,則f(-l)>f(l)

C若f(x)+f'(x)>0對x￡R恒成立,則ef(2)<f(l)

D.若f(x)+f'(x)<0對x￡R恒成立，則f(-1)>f(l)

第二部分：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值的應(yīng)用

題型一：求函數(shù)極值

例4：已知函數(shù)/(尤)=%3一力2一務(wù)的圖像與軸切于(1,0),則/⑺的極大值、極小值分別

為()

4444

A.-----、0B、0,-------C、—、0D、0,---------

27272727

變式.已知函數(shù)/(%)=爐+儂2+佃+6)工+1既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)〃z的取

值范圍是___________

題型二：求函數(shù)最值

例5.已知/(了)=2丁?6/+加(陽為常數(shù))在-2,2］上有最大值為3,那么此函數(shù)在-2,2］上的

最小值為：------

A、0B、-5C、-10D、-37

變式.已知函數(shù)/(》)=■?+3/一”+1,若“X)在區(qū)間卜,2］上的最大值為28,則實數(shù)的取

值范圍為

A、［-3,+8)B、(-3,+8)C、(-00,3)D、(-8,-31

第三部分：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

例6.已知函數(shù)/(x)=/-l,g(x)=?+x,其中是自然對數(shù)的底數(shù)

(1)證明：函數(shù)=/(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;

⑵求方程/Cr)=g(x)的根的個數(shù)，并說明理由。

變式.已知函數(shù)f(x)=x2-(a+4)x-2a2+5a+3(aeR).

⑴當(dāng)a=3時，求函數(shù)f(x)的零點；

⑵若方程/(幻=0的兩個實根都在區(qū)間(-1,3)上，求實數(shù)a的取值范圍.

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

例7.已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax?￡7?)。

(1)如果不等式f(x)<-x恒成立，求實數(shù)的取值范圍;

(2)求證：ln(2x3x?..x2015)鬧<2015.

yQ

變式已知函數(shù)/(x)=lnx--+—,^(x)=-x2-2ox+4,若對任意的％￡(0,2],存在

X2€[1,2],使得/(X[)2g(x2)成立，則的取值范圍是

51「1115

一,+ooIB、—,+ocC、D、-00,-----

A.U)L8)844

課堂處置：此階段每一例題由老師在黑板上簡略寫出方法，學(xué)生嘗試,

然后用幻燈片展示過程，學(xué)生進行對比，同桌互評

總體設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)時不能把目標(biāo)僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方

法、解題思想上深入下去，通過應(yīng)用加深對及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題

上的重要作用的理解。

環(huán)節(jié)四：課堂演練

1、求函數(shù)7一丁的單調(diào)區(qū)間.

2、已知函數(shù)f(x)=ln(ex+l)—ax(a>0).

(1)若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求a的值；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

3、已知函數(shù)/@)=上巫，

X

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+2)上存在極值，求正實數(shù)a的取值范

圍.

⑵若當(dāng)在1時，不等式/(幻之上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

x+1

課堂處置：學(xué)生合作探究，個別展示，學(xué)生點評，總結(jié)，出現(xiàn)的個別

情況單獨處理，普遍問題黑板上集中講解。

設(shè)計意圖：主要是為了檢測學(xué)生對該知識點掌握情況，選擇有目的、

有爭對性的習(xí)題練習(xí)，及時鞏固并反饋學(xué)生復(fù)習(xí)效果督促學(xué)生熟練掌

握解決問題的思路和方法。

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課你的收獲？

知識點總結(jié)，思想方法總結(jié)

進一步掌握相關(guān)的解題方法和解題思想，由學(xué)生自己總結(jié)，老師

加以補充和概括。

環(huán)節(jié)六：課后練習(xí)

1.設(shè)函數(shù)/*0)=0-1次72(其中4e7?).

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2,設(shè)函數(shù)32,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的

切線方程為y=L

(1)求b,c的值；

(2)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)函數(shù)晨x)=f(x)+2x,且g(x)在區(qū)間(—2,—1)內(nèi)存在單調(diào)遞

減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.

3,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的x￡R,都有2f'(x)>f(x)

成立，則()

A.3f(21n2)>2f(21n3)B.3f(21n2)<2f(21n3)

C.3f(21n2)=2f(21n3)D.3f(21n2)與2f(21n3)的大小不確定

4、已知函數(shù)/(x)=ln>@,e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f(x)在l,e］上的

X

最小值為3,求a的值.

2

設(shè)計意圖：課后學(xué)生進行雙基、拓展訓(xùn)練，熟練掌握解決問題的思路和方

法，自我檢測，自我完善，設(shè)置基礎(chǔ)訓(xùn)練題，綜合訓(xùn)練題，拓展訓(xùn)練

題，使各層次的學(xué)生得到相應(yīng)的提高。

六、教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容是高考必考內(nèi)容，由于覆蓋面廣，容量大，難度較大，而我

們教學(xué)對象是普高學(xué)生，所以在實施學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究這種教

學(xué)方法時，有些難度，容易出現(xiàn)時間緊的不夠現(xiàn)象。故有以下幾點反

思：

1、夯實基礎(chǔ)，注重落實，強化重點

2、教師要采用循序漸進的教學(xué)原則，克服學(xué)生的畏難情緒

3、注重方法整理，數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)，訓(xùn)練思維，突破難點

4、倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，師生平等對話，生生互

動，滿足了學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

板書設(shè)計

因為課堂教學(xué)容量較大，故借助多媒體展示

《概率與統(tǒng)計》復(fù)習(xí)課

通過對《概率》的復(fù)習(xí)讓學(xué)生進一步認(rèn)識到概率是研究和揭示統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)

學(xué)工具，對決策的制定有重要的作用。是我們認(rèn)識世界、征服世界的工具。同時

讓學(xué)生深刻體會概率中必然與偶然對立統(tǒng)一的辯證思想。已成為近幾年高考的一

大亮點和熱點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎。與湖北卷相比，全國卷重

視數(shù)據(jù)處理能力得到了很好地體現(xiàn)。

一.2016年考試大綱全國卷1與湖北卷相比較：

全國卷(1)

知識內(nèi)容

要求

簡單隨機抽樣理解

隨機抽樣

分層抽樣和系統(tǒng)抽樣了解

概率

頻率分布表、直方圖、頻率折線圖、莖葉圖理解

與統(tǒng)統(tǒng)計

樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、理解

計用樣本估計總體

平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)及其意義

用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的理解

基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征

相關(guān)關(guān)系和散點圖理解

變量的相關(guān)性最小二乘法了解

線性回歸方程理解

隨機事件的關(guān)系與運算了解

事件與概率隨機事件的概率了解

兩個互斥事件的概率加法公式了解

古典概型理解

計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件理解

概率

古典概型發(fā)生的概率（理科）

用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件了解

數(shù)及事件發(fā)生的概率（文科）

隨機數(shù)與幾幾何隨機數(shù)了解

概型幾何概型了解

取有限個值的離散型隨機變量及其分布列理解

超幾何分布了解

概率

條件概率了解

與統(tǒng)

事件的獨立性了解

計概率與統(tǒng)計（僅

n次獨立重復(fù):試驗?zāi)Ｐ图岸椃植祭斫?/p>

（僅限理科）

取有限個值的離散型隨機變量均值、方差理解

限理

正態(tài)分布了解

科）

回歸思想了解

獨立性檢驗了解

對比前幾年的的考試大綱，全國卷1變化非常小

二.近四年全國卷1中本專題的考試特點與命題規(guī)律:

難易難易

全國理全國文

程度程度

選擇題3：考查古典概型及概率計

選擇題4：考查幾何概型易易

算公式（列舉法）

2016年

解答題19：考查直方圖，數(shù)字

難解答題19：考查頻率分布直方圖；難

特征和分布列；

選擇題4：考查獨立重復(fù)試驗；選擇題4：考查古典概型

易易

互斥事件和概率公式（列舉法）

2015年解答題19：考查非線性擬合；解答題19：考查非線性擬合；線

線性回歸方程求法；利用回歸難性回歸方程求法；利用回歸方程進難

方程進行預(yù)報預(yù)測；行預(yù)報預(yù)測；

選擇題5：考查古典概型，互填空題13：考查古典概型

中等容易

2014年斥事件，對立事件（列舉法）

解答題18：考查直方圖，數(shù)字解答題18：考查直方圖，

中等較易

特征和正態(tài)分布數(shù)字特征，

2013年選擇題3：考查抽樣方法容易選擇題3：考查古典概型容易

（列舉法）

解答題18：考查莖葉圖，用樣本

解答題19：考查條件概率，相難度

的基本數(shù)字特征估計總體的基本較易

互獨立事件，互斥事件較大

數(shù)字特征

（1）題型與分值均不變

從近四年全國卷1看：無論文理題型都穩(wěn)定為一大一小兩道題，分值17分，占比

約11%0

（2）考查內(nèi)容不變

這四年中僅有2013年的理數(shù)卷是小題考查統(tǒng)計（抽樣方法），大題考查概率（條

件概率）。其余五卷均與之相反，都是小題考查概率，大題考查統(tǒng)計知識。

（3）密切聯(lián)系教材，重視對基礎(chǔ)知識和基本技能考查

試題通常是通過對常見題型進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的整合、變式和拓展，從

而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧的實際問題.

（4）重點考察本單元知識在實際生活中的應(yīng)用

文科小題一般主要考查古典概型，難度較小。解答題以對統(tǒng)計的考查為主，幾乎

所有的統(tǒng)計考點都有所涉及，應(yīng)用性和開放性都越來越強，對學(xué)生的能力要求越

來越高。

（5）試題的文字、數(shù)據(jù)和圖形的信息量大

由此預(yù)計這些特點2017年依然會延續(xù)下去。

三.專題知識體系構(gòu)建的方法與總體構(gòu)思（復(fù)習(xí)計劃）

1.指導(dǎo)思想

以基礎(chǔ)知識為明線，數(shù)學(xué)思想作喑線，突出主線（解題方法，思維能力）

2.課時安排

本單元包括6講和1個120分鐘標(biāo)準(zhǔn)單元能力檢測卷，每講連課時訓(xùn)練一起2

課時，試卷2課時，共需14課時完成.

3.單元知識體系

已隨機事件及其概率

L事件與概率一

」隨機事件概率的基本性質(zhì)

廣基本事件

概率一＞古典概型—古典概型的定義及特征

卜古典概型的計算公式

」隨機數(shù)的含義

廣幾何概型的定義及特征

f幾何概型一

」幾何概型的計算公式

L筒單隨機抽樣

一隨機抽樣一系統(tǒng)抽樣

「分層抽樣

用樣本的數(shù)字特征估

計總體的數(shù)字特征

統(tǒng)計用樣本估計總體一

二用樣本的頻率分

f布估計總體分布

一變量間的相關(guān)關(guān)系-H可歸分析

Ll可歸分析的基本思想及應(yīng)用

統(tǒng)計案例一

―獨立性檢驗的基本思想及應(yīng)用

四.重點知識強化策略包括常見題型和解題方法，難點突破

策略。

教學(xué)重點

1.基本概念和基本公式。如等可能性事件的概率、互斥事件的概率、對立事件的

概率、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗。

2.常見題型的解題方法。如抽樣方法，頻率分布表和頻率分布直方圖，離散型隨

機變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差。

3.知識的應(yīng)用。如預(yù)測問題，決策問題等。

難點突破

二、事件之間的關(guān)系即確定概率類型

三、閱讀圖表，處理數(shù)據(jù)，運算求解

四、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即建模

五、理解概率的或然與必然的思想本質(zhì)

教法學(xué)法分析

采用“引導(dǎo)”“點拔”等教學(xué)方法，學(xué)生通過獨立思考、自主解題、合作交流

等學(xué)習(xí)方式，熟練知識，發(fā)展能力。

常見題型——概率

突破點1互斥事件、對立事件的概率

一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12個小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球,

1個綠球，從中隨機取出1球，求：

(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；

⑵取出的小球是紅球或黑球或白球的概率.

解析：記事件A=｛任取1球是紅球｝;

B=｛任取1球是黑球｝;C=｛任取1球是紅球｝;

D=｛任取1球是綠球｝.

5421

則P(A)=萬，P(B)=五；P(C)=萬；P(D)=^.

(1)取出1球是紅球或黑球的概率為

543

P尸P(A)+P(B)=j^+五=木

(2)解法一取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P2=P(A)+

P(B)+P(C)=^+^+^=||.

解法二P2=1-P(D)=1-^=!1.

-規(guī)律方法

(1)當(dāng)所求事件情況較復(fù)雜時，一般要分類計算，這就要用到互斥事件的概率加法

公式或考慮其對立事件.

(2)當(dāng)所求事件中含有“至少”“至多”或分類情況較多時，可考慮其對立事件.

突破點2古典概型的概率問題

如圖，從Ai(l,0,0),A2(2,0,0),Bi(0,1,0),B2(0,2,0),Ci(0,0,1),

C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點.

(1)求這3點與原點0恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；

(2)求這3點與原點0共面的概率.

解析:從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果是:x軸上取2個點，有A1A2BpA1A2B2,

入伍25,AjA2c之，共4種；

y軸上取2個點,有BjBzA],B]B2AB]B2c2,共4種；

z軸上取2個點,有qCzA],C]C2A2，共4種;

CABC

所選取的3個點在不同坐標(biāo)軸上，有AFiCyA1B1C2,A1％,A1B2C2?^1V212?

AgBgCJtA?B2c2，共8種.

因此，從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果為20種.

(1)選取的這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的所有

可能結(jié)果有：A2B2C2,共2種，因此，這3個點與原點O

恰好是正三棱錐的四個頂點的概率為巴=4=白.

(2)選取的這3個點與原點O共面的所有可能結(jié)果有AIAZBI，

A1A2B2，AiAzG，A】A2c2，B1B2A”2A2，B[B2c2，B1B2G，CiCiAp

GC2A2,CiQBpC1C2B2,共12種,因此這3個點與原點O共面的

概率為p?=lH?

/畫L律方出

(1)有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù).

(2)在用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助于“樹狀圖”列

舉.

I突破點3幾何概型的概率問題

例1：如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以0A,0B為直徑作兩個半圓.在扇形OAB

內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()

解析：此題明顯可見是幾何概型問題，設(shè)圓0半徑為2；總基本

事件為環(huán)陰影部分面積為"一2.

答案：A

例2：小明和小雪約了星期天下午在月牙塘公園見面，由于龍泉路最近在修路，可能會堵車小

明說他大概4:00—5:00會到，小雪說這次她大概5:00—6:00就會到了，這次他們約定先到

的等半個小時另一個還沒來就可以先走，假設(shè)他們在自己估計時間內(nèi)到達的可能性相等，問

他們兩個能相遇的概率有多大？

分析：如果在一維坐標(biāo)軸中表示他們相遇的可能性則種類太多，表達不清，又因為小明

到達的時間在4點至5點間，小雪到達的時間在5點到6點間，屬于兩個變量的情形，所以

我們采用二維的坐標(biāo)系來構(gòu)建這個題的數(shù)學(xué)模型。設(shè)小明到達的時間為x,小雪到達時間為y,

那么4WxW55<y<6

約定先到的等半個小時另一個還沒來就可以先走則他們兩個要相遇需要滿足?“x十0.5

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為

C={(x,y)/4<x<5,5<}?<6}

事件A構(gòu)成的區(qū)域為

A=1(x,y)/j<x+0.5,4<x<5,5<y<6}

w1111P(A}=^=-

S=XX=

A777Q"八S"8

由圖可知2228,則3。*所以小明和小雪相遇的概率為1/8

c"霞律方法

(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求

解；

(2、利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有

時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.

(3)幾何概型中約會問題利用二位坐標(biāo)系來解決，是高考中的?？碱}型，不可忽視。

常見題型一概率

|突破點1隨機抽樣|

某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表所示.已知在全校學(xué)生中隨機

抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)

生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為()

?年級二年級三年級

女生373y

男生3773704

A.24B.18C.16D.12

思路點撥：本題可以先根據(jù)概率求出二年級女生人數(shù)，然后算出

三年級的總?cè)藬?shù)，最后算出在三年級抽取的人數(shù).

解析：由系S=0?19，得x=380,

.*.y+z=2000—373—377—380—370=500,

64

???三年級抽取的人數(shù)為”^X500=16.

答案：c

規(guī)律方法

⑴解決此類題目首先要深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍，如分層抽樣,

適用于數(shù)目較多且各部分之間具有明顯差異的總體.

(2)系統(tǒng)抽樣中編號的抽取和分層抽樣中各層人數(shù)的確定是高考重點考查的內(nèi)容.

突破點2頻率分布直方圖或頻率分布表

某地區(qū)為了解70?80歲老人的日平均睡眠時間（單位：力），隨機選擇了50位老人

進行調(diào)查，下表是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表.

（開始）

s=o

睇泮?—牛--------

價粗刮1巾僖?敕渝1

匕儂/T,

嫡睡眠:破向的或

q3AW/福入G.H/

[4㈤QyB蒼爸_______________________________1_

yiIIS=S+G,：其

【馬靖》.g.5\N

?［以涉好,R邠

4?？俲.w通"/"I出./

\

3距34.隊。必Q結(jié)束）

在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析目3一部分計算見算法流程圖，則輸出的s的值是________.

解析：由算法流程圖知:

S=Gi?F1+G2?F2+G3?F3+G4?F4+G5?Fs

=4.5X0.12+5.5X0.2+6.5X0.4+7.5X0.2+8.5X0.08

=6.42.

答案：6.42

規(guī)律方法

（1）解決該類問題時應(yīng)正確理解圖表中各個量的意義，從圖表中掌握信息是解決該

類問題的關(guān)鍵.

（2）本題中S實際上是樣本的近似平均數(shù).我們可以根據(jù)頻率分布表或頻率分布直

方圖來大致求出樣本的平均數(shù)，具體做法是，用頻率分布直方圖中每個小矩形的

面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

突破點3眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差

隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：cm）,獲得身高數(shù)

據(jù)的莖葉圖如下圖所示.

甲班乙班

2181（￡）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較

局；

9910

（2）計算甲班的樣本方差；

8832⑶現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名

身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176

8cm的同學(xué)被抽中的概率.

解析：（1）由莖葉圖可知：甲班身高集中于160?179cm之間，而乙班身高集中于

170?180c垃之間.因此乙班平均身高高于甲班.

(2)x=(158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)4-10=170.

甲班的樣本方差為：

[(158—170)2+(162—170)2+(163—170)2+(168—170)2+

(168—170)2+(170—170)24-(171—170)24-(179—170)24-(179—170)2

4-(182—170)2]=57.2.

(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A.

從乙班1。名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有

173)(181,176)(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,

173)(178,176)(176,173)共10個基本事件，而事件A含有4個基本

42

事件，/.P(A)=Y^=g.

-規(guī)律方展

(1)本題考查了莖葉圖的識圖問題和平均數(shù)的計算，其中從莖葉圖中讀出數(shù)據(jù)是關(guān)

鍵，為此，首先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么.

(2)要熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法.

突破點4線性回歸方程

(2014.新課標(biāo)II卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的

數(shù)據(jù)如下表：

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入》2.93.33.64.44.85.25.9

(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；

(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入

的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入。

附：W1歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分

—-y)

別為：b=~—=-----------,a=y-bt

?(小一力2

解析：(1)由題意知，T=4,y=4.3,所以6=

3X1.44-24-0.74-04-0.5+1.8+3X1.6

=0.5,所以1=丁-6"T=4.3

9+4+1+0+1+4+9

-0.5X4=23,所以線性回歸方程為，=0.5t+2.3.

(2)由(1)中的線性回歸方程可知，b>0,所以在2007至2013年

該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增中，平均每年增加0.5千元.

令1=9得：y=0.5X9+23=6.8,故預(yù)測該地區(qū)在2015年農(nóng)村

居民家庭人均純收入為6.8千元.

思路點撥：本題第⑴問，由給出的6與合公式求出6與從而求

出回歸直線方程；對第⑵問，由第⑴問求出的回歸直線方程進行預(yù)

測，令t=9,可得y的近似值.

(1)正確作出散點圖，由散點圖可知兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性

相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值.

(2)正確記憶求b,a的公式和準(zhǔn)確地計算，是解題的保證.

突破點5獨立性檢驗

為考察是否喜歡飲酒與性別之間的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取290

人，得到如下2X2列聯(lián)表：

喜歡飲酒不喜歡飲酒總計

男10145146

女12420144

總計22565290

利用2X2列聯(lián)表的獨立性檢驗判斷是否喜歡飲酒與性別有

無關(guān)系.

解析：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得:

2

22290X(101X20-124X45)

KQ)=146X144X225X65-^11.95>6.635,

所以我們有99%的把握認(rèn)為“是否喜歡飲酒與性別有關(guān)”.

3才規(guī)律方法

(1)獨立性檢驗的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地計算K?(X2),在計算時，要充分

利用2X2列聯(lián)表.

⑵學(xué)習(xí)相關(guān)和無關(guān)的判定一定要結(jié)合實際問題，從現(xiàn)實中尋找例子,

從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

五.訓(xùn)練試題的選擇及其意圖。

概率與統(tǒng)計六大易混易錯點：

1、混淆“相互獨立事件的概率”與“互斥事件的概率”而致誤

2、混淆”條件概率”與“相互獨立事件的概率”而致誤

3、混淆“二項分布”與“超幾何分布”而致誤

4、忽視正態(tài)分布的圖像而致誤

5、線性回歸方程的性質(zhì)不熟練而致誤

6、不理解獨立性檢驗的思想而致誤

針對這些易錯點，結(jié)合學(xué)生實際(任教班級的學(xué)情)，可以設(shè)置一些小題組，

進行實戰(zhàn)演練、強化訓(xùn)練，從而提高教學(xué)的針對性和有效性。

類型一“非等可能”與“等可能”混同

例1擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率.

錯解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2,3,4,…，12共11種基本事件，所以概率

為PJ

II

剖析以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(L1),而點數(shù)之和為

6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共