高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 選考部分 14.2 不等式選講 第2課時 不等式的證明教師用書 理 新人教版(2021年最新整理)

1、2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 選考部分 14.2 不等式選講 第2課時 不等式的證明教師用書 理 新人教版2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 選考部分 14.2 不等式選講 第2課時 不等式的證明教師用書 理 新人教版 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 選考部分 14.2 不等式選講 第2課時 不等式的證明教師用書 理 新人教版）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這

2、將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 選考部分 14.2 不等式選講 第2課時 不等式的證明教師用書 理 新人教版的全部內(nèi)容。10第2課時不等式的證明1不等式證明的方法(1）比較法：作差比較法：知道abab0，ababb只要證明ab0即可，這種方法稱為作差比較法作商比較法:由ab01且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時,要證明ab，只要證明1即可，這種方法稱為作商比較法(2)綜合法：從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種

3、證明方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒?3）分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法即“執(zhí)果索因”的方法（4)反證法和放縮法：先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立，這

4、種方法稱為放縮法(5）數(shù)學(xué)歸納法:一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：證明當(dāng)nn0時命題成立；假設(shè)當(dāng)nk （kn，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2幾個常用基本不等式（1）柯西不等式：柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b,c，d都是實數(shù)，則(a2b2）(c2d2)（acbd）2(當(dāng)且僅當(dāng)adbc時,等號成立)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1,x2，

5、y2，x3，y3r，則?？挛鞑坏仁降囊话阈问?設(shè)a1，a2，a3，an，b1,b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)（bbb)(a1b1a2b2anbn）2,當(dāng)且僅當(dāng)bi0 (i1，2，n)或存在一個數(shù)k,使得aikbi （i1,2,，n）時,等號成立(2)算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2,an為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立1設(shè)a，b，m，nr，且a2b25,manb5,求的最小值解根據(jù)柯西不等式(manb）2（a2b2)（m2n2)，得255（m2n2)，m2n25，的最小值為.2若a，b，c（0,）,且abc1,求的最大值解(）2（111)2（121212）(abc）3。當(dāng)且僅當(dāng)

6、abc時，等號成立()23。故的最大值為.3設(shè)x0,y0,若不等式0恒成立，求實數(shù)的最小值解x0，y0,原不等式可化為（）(xy)2。2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立min4，即4，4.題型一用綜合法與分析法證明不等式例1（1)已知x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3；（2）設(shè)a，b，c0且abbcca1，求證：abc。證明(1）因為x0，y0，xy0，2x2y2（xy）(xy）(xy)33，所以2x2y3。(2）因為a，b，c0,所以要證abc，只需證明（abc）23。即證：a2b2c22(abbcca)3,而abbcca1，故需證明：a2b2c22（abbcca)3(abbcca）即證

7、：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2（當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立）成立所以原不等式成立思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見,分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路，開闊視野設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1,證明：(1）abbcac；（2）1。證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca。由題設(shè)得(abc）21，即a2

8、b2c22ab2bc2ca1。所以3（abbcca）1，即abbcca。（2)因為b2a，c2b，a2c，故（abc)2(abc），即abc。所以1。題型二放縮法證明不等式例2若a,br，求證：.證明當(dāng)ab|0時，不等式顯然成立當(dāng)|ab0時,由0ab|a|b|，所以.思維升華（1)在不等式的證明中，“放”和“縮是常用的推證技巧常見的放縮變換有:變換分式的分子和分母，如，。上面不等式中kn*，k1；利用函數(shù)的單調(diào)性；真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0ab，m0,則”（2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮均需把握一個度設(shè)n是正整數(shù)，求證:0,當(dāng)取得最小值時，求a的值解由于ab2，所以,由于b0，|a0,所以21

9、，因此當(dāng)a0時，的最小值是1；當(dāng)a0時,的最小值是1.故的最小值為，此時即a2.3設(shè)a、b、c是正實數(shù),且abc9，求的最小值解（abc)()2（)2(）2218。2.的最小值為2.4設(shè)x，y，zr，且滿足：x2y2z21，x2y3z，求xyz。解由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232）（x2y3z）2，即（x2y3z)214，因此x2y3z。因為x2y3z，所以x,解得x，y,z，于是xyz.5已知abc的三邊長分別為a，b，c.求證：abc.證明因為(bca）（cab)(abc)(abc)2,又abc0，所以abc（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）6已知a，b，cr，且2a2bc8，求(a1）2

10、（b2)2（c3）2的最小值解由柯西不等式得（441）(a1)2(b2）2(c3）22(a1)2(b2）c32，9（a1）2(b2)2（c3）2（2a2bc1）2。2a2bc8,(a1)2（b2)2（c3）2，當(dāng)且僅當(dāng)c3時等號成立，(a1）2(b2）2(c3）2的最小值是.7(2015湖南）設(shè)a0，b0，且ab。證明：(1）ab2；（2)a2a2與b2b2不可能同時成立證明由ab，a0，b0，得ab1。(1）由基本不等式及ab1，有ab22,即ab2。（2）假設(shè)a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立8

11、(2016全國甲卷）已知函數(shù)f(x），m為不等式f（x)2的解集（1）求m；(2）證明:當(dāng)a，bm時，ab1ab|.（1）解f(x)當(dāng)x時，由f(x）2得2x2,解得x1，所以,1x；當(dāng)x時，f（x）2;當(dāng)x時，由f(x）2得2x2，解得x1,所以，x1。所以f（x)2的解集mx1x1(2)證明由（1）知，當(dāng)a，bm時，1a1,1b1，從而(ab）2(1ab）2a2b2a2b21(a21)（1b2）0，即(ab)2（1ab)2，因此ab1,即a的取值范圍是（1,)（2）由柯西不等式，得42（）222()2(）2(）2(42)2(xyz)2,即251（xyz)2。5|xyz|，5xyz5。xyz的取值范圍是5,510已知a，b（0，)，ab1,x1，x2（0,）（1)求的最小值；(2）求證:(ax1bx2)(ax2bx1）x1x2.(1）解因為a，b(0,），ab1,x1,x2（0，），所以33336,當(dāng)且僅當(dāng)且ab，即ab且x1x21時，有最小值6.(2)證明方法一由a，b（0,)，ab1，x1，x2(0，）,及柯西不等式可得：(ax1bx2)（ax2bx1)()2（)2()2）2(）2（ab）2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1x2時取得等號