(2021年整理)九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(學(xué)生講義)的全部?jī)?nèi)容。19 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 【考綱要求】1。理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)

2、及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2。命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形,建立數(shù)學(xué)模型,然后用解直角三角形的知識(shí)解決問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在rtabc中，c90，a所對(duì)的邊bc記為a，叫做a的對(duì)邊，也叫做b的鄰邊，b所對(duì)的邊ac記為b,叫做b的對(duì)邊,也是a的鄰邊，直角c所對(duì)的邊ab記為c，叫做斜邊銳角a的對(duì)邊與斜邊的比叫做a的正弦，記作sina，即;銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦，記作cosa，即;銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正切，記作tana

3、，即。同理;；要點(diǎn)詮釋：(1）正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí),比值也隨之變化（2)sina，cosa，tana分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào),是一個(gè)整體，不能寫成，,，不能理解成sin與a,cos與a，tan與a的乘積書(shū)寫時(shí)習(xí)慣上省略a的角的記號(hào)“”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角（如aef），其正切應(yīng)寫成“tanaef”，不能寫成“tanaef”；另外，、常寫成、（3）任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在(4）由銳角三角函數(shù)的定義知:當(dāng)角度在0a90之間變化時(shí)，,，

4、tana0考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義,可求出0、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值，歸納如下： 要點(diǎn)詮釋:（1)通過(guò)該表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角函數(shù)值,它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角（2）仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn): 、的值依次為0、1，而、的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為:當(dāng)角度在0a90之間變化時(shí)， 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減?。┒龃?或減小） 余弦值隨銳角度數(shù)的增大（或減小)而減?。ɑ蛟龃?考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在rtabc

5、中，c=90（1)互余關(guān)系：，;(2）平方關(guān)系：；(3）倒數(shù)關(guān)系：或；（4)商數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外）求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在rtabc中,c=90，a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）。銳角之間的關(guān)系：a+b=90。邊角之間的關(guān)系：,，,。，h為斜邊上的高.要點(diǎn)詮釋：(1）直角三角形中有一個(gè)元素為定值(

6、直角為90)，是已知的值.(2）這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系).(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點(diǎn)五、解直角三角形的常見(jiàn)類型及解法已知條件解法步驟rtabc兩邊兩直角邊(a，b）由求a,b=90a，斜邊，一直角邊(如c，a)由求a，b=90a，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊（如a，b）b=90a，,銳角、對(duì)邊(如a，a)b=90a，斜邊、銳角（如c，a)b=90a，要點(diǎn)詮釋:1在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí),最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先確定銳角、再確定它的

7、對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算。2若題中無(wú)特殊說(shuō)明,“解直角三角形即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊?？键c(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.解這類問(wèn)題的一般過(guò)程是：(1）弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型。（2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.（3）根據(jù)直角三角形（或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形）元素(邊、角）之間的關(guān)系解有關(guān)的直

8、角三角形.(4）得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.拓展：在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度,用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.（2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向pa，pb，pc的方位角分別為是40,135，245.（4)方向角:指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫

9、做方向角,如圖中的目標(biāo)方向線oa，ob,oc，od的方向角分別表示北偏東30，南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算,去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問(wèn)題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來(lái)解.例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義)，然后正確畫出示意圖,進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)

10、1(1)如圖所示,在abc中，若c90，b50,ab10，則bc的長(zhǎng)為（ ) a10tan50 b10cos50 c10sin50 d（2)如圖所示，在abc中，c90，sina，求cosa+tanb的值(3)如圖所示的半圓中，ad是直徑,且ad3，ac2，則sinb的值等于_【思路點(diǎn)撥】（1）在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊 (2)直角三角形中,某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小,可以用比例系數(shù)k表示各邊 (3）要求sinb的值，可以將b轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中【總結(jié)升華】 已知一個(gè)角的某個(gè)三

11、角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí),常用的方法是：利用定義，根據(jù)三角函數(shù)值,用比例系數(shù)表示三角形的邊長(zhǎng)； （2)題求cosa時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin2 a+cos2 a1，讀者可自己嘗試完成舉一反三：【變式】rtabc中，c=90，a、b、c分別是a、b、c的對(duì)邊，那么c等于（ ）(a） （b） （c） (d) 類型二、特殊角的三角函數(shù)值2解答下列各題： （1)化簡(jiǎn)求值:; (2）在abc中，c90，化簡(jiǎn)【總結(jié)升華】由第（2)題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：12sincos=(sincos）2例如，若設(shè)sin+cost，則舉一反三：【變式】若,，(2,為銳角)，求的

12、值。3 (1)如圖所示，在abc中，acb105，a30，ac8，求ab和bc的長(zhǎng)； (2)在abc中，abc135，a30，ac8，如何求ab和bc的長(zhǎng)?（3）在abc中,ac17,ab26，銳角a滿足,如何求bc的長(zhǎng)及abc的面積？若ac3，其他條件不變呢？ 【思路點(diǎn)撥】 第(1)題的條件是“兩角一夾邊”由已知條件和三角形內(nèi)角和定理，可知b45；過(guò)點(diǎn)c作cdab于d,則rtacd是可解三角形,可求出cd的長(zhǎng)，從而rtcdb可解，由此得解；第(2）題的條件是“兩角一對(duì)邊”；第(3）題的條件是“兩邊一夾角”，均可用類似的方法解決類型三、解直角三角形及應(yīng)用4如圖所示，d是ab上一點(diǎn)，且cdac于

13、c，,ac+cd18，求tana的值和ab的長(zhǎng)專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識(shí)性專題專題1:銳角三角函數(shù)的定義 【專題解讀】 銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主 例1 如圖28123所示,在rtabc中，acb90，bc1，ab2，則下列結(jié)論正確的是 （ ) asin a btan a ccosb dtan b 例2 在abc中，c90，cosa,則tan a等于 ( ) a b c d 專題2 特殊角的三角函數(shù)值 【專題解讀】 要熟記特殊角的三角函數(shù)值 例4 計(jì)算|32cos 45（1)0 例5 計(jì)算（1）2007cos 60 例6 計(jì)算（cos 60tan 30）0 例7 計(jì)算（3。14)

14、0|1tan 60。 專題3 銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用 【專題解讀】 銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來(lái)運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 例8 如圖28124所示,在abc中,ad是bc邊上的高,e為ac邊的中點(diǎn)，bc14，ad12，sin b (1)求線段dc的長(zhǎng)； (2）求tanedc的值. 例9 如圖28125所示,在abc中，ad是bc邊上的高,tan bcosdac。 （1）求證acbd; （2)若sin c，bc12，求ad的長(zhǎng) 例10 如圖28126所示,在abc中，b45，c30，bc3030，求ab的長(zhǎng) 專題4 用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 【專題解讀】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與

15、實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題逐步成為命題的熱點(diǎn),其主要類型有輪船定位問(wèn)題、堤壩工程問(wèn)題、建筑測(cè)量問(wèn)題、高度測(cè)量問(wèn)題等，解決各類應(yīng)用問(wèn)題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法 例13 如圖28131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量沱江流經(jīng)我市某段的河寬小凡同學(xué)在點(diǎn)a處觀測(cè)到對(duì)岸c點(diǎn),測(cè)得cad45，又在距a處60米遠(yuǎn)的b處測(cè)得cba30,請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位） 例14 如圖28132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的a點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)

16、海中的b點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救1號(hào)救生員從a點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線）向前跑到c點(diǎn)再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離b點(diǎn)最近的d點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米秒,在水中游泳的速度都是2米/秒若bad45,bcd60，三名救生員同時(shí)從a點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)b(參考數(shù)據(jù)1.4，1。7) 例15 如圖28133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從a處運(yùn)往正東方向的m處，在點(diǎn)a處測(cè)得某島c在它的北偏東60方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)b處，此時(shí)再測(cè)得該島在它的北偏東30方向上；已知在c島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗

17、礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)?試說(shuō)明理由 例16 如圖28134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌cd，甲、乙兩人分別在相距8米的a，b兩處測(cè)得d點(diǎn)和c點(diǎn)的仰角分別為45和60,且a，b，f三點(diǎn)在一條直線上，若be15米,求這塊廣告牌的高度（1.73,結(jié)果保留整數(shù)） 例17 如圖28135所示，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬ad2.5m,壩高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1。5，求壩底寬bc。 例18 如圖28136所示，山頂建有一座鐵塔,塔高cd30m，某人在點(diǎn)a處測(cè)得塔底c的仰角為20，塔頂d的仰角為23，求此人距cd的水平距離ab(參考數(shù)據(jù):sin 2

18、00。342，cos 200.940,tan 200。364，sin 230.391，cos 230。921，tan 230。424）二、規(guī)律方法專題專題5 公式法 【專題解讀】 本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 例19 當(dāng)090時(shí),求的值 三、思想方法專題 專題6 類比思想 【專題解讀】 求方程中未知數(shù)的過(guò)程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形，因此對(duì)解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素 例20 在rtabc中，c90，a，b,c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，解這個(gè)直角三角形 專題7 數(shù)形結(jié)合思想 【專題解讀】由“數(shù)思“形”,由“形”想“數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用,是解決幾何問(wèn)題常用的方法之一 例21 如圖28137所示,已知的終邊opab，直線ab的方程為yx，則cos等于 ( ） a b c d 專題8 分類討論思想 【專題解讀】 當(dāng)結(jié)果不能確定